精品解析：甘肃省张掖市甘州区某校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷

九年级数学练习 一、选择题．（每小题3分，共30分．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. m≠-1 B. m=-1 C. m≥-1 D. m≠0 4. 有下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形．其中对角线一定相等的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①④ D. ①②③④ 5. 用配方法解下列方程，配方正确的是（　　） A. 2y2﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）2=4 B. x2﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）2=8 C. x2+8x﹣9=0可化为（x+4）2=16 D. x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4 6. 下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（ ） A. 对角线互相平分的四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 无法判定 9. 某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（　　） A. 512（1+x%）2=800 B. 800（1﹣2x%）=512 C. 800（1﹣x%）2=512 D. 800﹣2x%=512 10. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_________. 12. 一个口袋中装有4个白球，2个红球，6个黄球，摇匀后随机从中摸出一个球是红球的概率是_______． 13. 一个菱形的一条对角线长，周长是，则这个菱形的面积是_______． 14. 设、是方程的两根，则__________． 15. 已知是方程的一个根，则________，另一个根为________． 16. 如下图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第5个矩形的面积为_______． 三、解答题（本大题共6小题，共96分） 17. 解下列一元二次方程 （1） （2） （3） （4） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 21. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 22. 如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米． （1）若，求S关于x的函数表达式及x的取值范围． （2）在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？ 23. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 24. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 25. 张掖市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 26. 如图，在中，，，点M从点A开始沿以的速度向点C运动（到点C时停止），过点M作，交与点N，并设点M的运动时间为． （1）当t为何值时，的面积为？ （2）若，求t的值． 27. 分别是三角形的边的中点，是所在平面上的动点，连接，点分别是的中点，顺次连接点 （1）如图，当点在的内部时，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，则与应满足怎样的关系？若四边形是矩形，则与应满足怎样的关系？(直接写出答案，不需要说明理由) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 一、选择题．（每小题3分，共30分．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，利用一元二次方程定义进行解答即可．关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，当，时，是一元一次方程，故此选项不合题意； C、，即，是一元一次方程，故此选项不合题意； D、，含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 2. 下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：平行四边形，是中心对称图形，而不是轴对称图形，故A符合题意； 矩形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故B不符合题意； 菱形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故C不符合题意； 正方形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. m≠-1 B. m=-1 C. m≥-1 D. m≠0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】根据一元二次方程的定义可得：m+1≠0， 解得：m≠-1， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 4. 有下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形．其中对角线一定相等的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质，根据矩形和正方形的性质即可求解，掌握矩形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形，对角线相等是矩形和正方形， 故选：． 5. 用配方法解下列方程，配方正确的是（　　） A. 2y2﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）2=4 B. x2﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）2=8 C. x2+8x﹣9=0可化为（x+4）2=16 D. x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4 【答案】D 【解析】 【详解】A. 2y2−4y−4=0可化为(y−1)2=5，故选项错误； B. x2−2x−9=0可化为(x−1)2=10，故选项错误； C. x2+8x−9=0可化为(x+4)2=25，故选项错误； D. x2−4x=0可化为(x−2)2=4，故选项正确． 故选D. 6. 下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（ ） A. 对角线互相平分的四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，不能判定是菱形，不符合题意； B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，符合题意； C.对角线相等的四边形不能判定是菱形，不符合题意； D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，不能判定是菱形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、四条边均相等的四边形是菱形；4、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；5、两条对角线分别平分每组对角的四边形是菱形；6、有一对角线平分一个内角的平行四边形是菱形． 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 8. 根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 无法判定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：A． 9. 某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（　　） A. 512（1+x%）2=800 B. 800（1﹣2x%）=512 C. 800（1﹣x%）2=512 D. 800﹣2x%=512 【答案】C 【解析】 【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），再由增长率公式，即可列出方程． 【详解】当商品第一次降价x%时，根据题意得： 800（1﹣x%）2=512． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于512即可． 10. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图作轴于F，x轴于E，先证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】解：如图作轴于F，轴于E． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵A的坐标为， ∴， ∴点C坐标， 故选：A． 【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和点的坐标，掌握正方形的性质和构造全等三角形的方法是解决此题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_________. 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】化为一般形式，然后根据一元二次方程的概念进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】原方程可化为：， 则二次项系数是，一次项系数是，常数项是. 故答案为；；. 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 12. 一个口袋中装有4个白球，2个红球，6个黄球，摇匀后随机从中摸出一个球是红球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，掌握概率公式是解题关键，根据概率等于所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：随机从中摸出一个球是红球的概率是， 故答案为：． 13. 一个菱形的一条对角线长，周长是，则这个菱形的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直且平分，面积等于对角线乘积的一半是解题关键．由题意可知，菱形的周长是，，利用勾股定理，得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，菱形的周长是，， ，，，， 在中，， ， 菱形的面积是， 故答案为：． 14. 设、是方程的两根，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 15. 已知是方程的一个根，则________，另一个根为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】可将该方程的已知根-1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出a值和方程的另一根． 【详解】解：设方程的也另一根为x1， 又∵x=-1是方程x2-ax+6=0的一个根， ∴ 解得x1=-6，a=-7． 故答案为:-7,-6 【点睛】此题也可先将x=-1代入方程x2-ax+6=0中求出a的值，再利用根与系数的关系求方程的另一根． 16. 如下图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第5个矩形的面积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，三角形中位线定理，图形类规律探索，根据相关知识找出一般规律是解题关键．标记各点，并连接对角线交于点，则四边形是矩形，根据矩形性质，得到是的中点，同理可得分别为的中点，再根据三角形中位线定理，得出第二个矩形的面积第一个矩形的面积的，进而推出第个矩形的面积第一个矩形的面积的，即可求解． 【详解】解：如图，标记各点，并连接对角线交于点，则四边形是矩形， 对角线、互相平分，即对角线、的交点为， 是的中点， 同理可得，分别为的中点， 又分别为的中点， 分别为的中位线， 、、、， 矩形的面积为， 即第二个矩形的面积第一个矩形的面积的， 同理可得，第三个矩形的面积第二个矩形的面积的第一个矩形的面积的， …… 观察发现，第个矩形的面积第一个矩形的面积的， 第一个矩形的面积为1， 第5个矩形的面积为， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共6小题，共96分） 17. 解下列一元二次方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）先整理，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解： ，，， ， ， 解得：，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 或， 解得：，； 【小问4详解】 解： ， ， 或， 解得：，． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项化简，最后带入计算求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根． 【答案】， 【解析】 【分析】根据几个非负数的和为零则它们都为零，可分别求得a、b、c的值，解方程即可求得方程的根． 【详解】∵，，，且 ∴，， ∴，， ∴a=1，b=－1，c=－3 故方程为 ∵ ∴ 即， 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，解一元二次方程，掌握非负数的性质是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵在方程中， ， ∴该方程有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，代入计算即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，求得，，再将其代入求得的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该方程的两个实数根分别为，， ∴①，②． ∵③， ∴联立①③，解得，． ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知相关公式是解题的关键． 21. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 【答案】 证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据正方形的性质利用证明即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． 22. 如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米． （1）若，求S关于x的函数表达式及x的取值范围． （2）在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？ 【答案】（1） （2）当为米时，鸡舍的面积为90平方米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． （1）设米，则米，根据矩形面积公式求出表达式，再结合墙长与门宽求出x的取值范围即可； （2）结合（1）所得表达式，列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设米，则米， 则， ，， ， 即S关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 则， 解得：，（舍）， 即当为米时，鸡舍的面积为90平方米． 23. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）概率公式：； （2）画树状图求概率． 【小问1详解】 解：恰好抽到B（滑板）的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率为：． 24. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明其有一个内角是直角即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，结合，利用勾股定理得，继而得到，再次使用勾股定理即可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 张掖市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】该品牌头盔每个售价应定为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解题关键．设该品牌头盔每个售价应定为元，则销量为件，根据利润单个利润数量，列出方程求解即可． 【详解】解：设该品牌头盔每个售价应定为元，则销量为件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔每个售价应定为元． 26. 如图，在中，，，点M从点A开始沿以的速度向点C运动（到点C时停止），过点M作，交与点N，并设点M的运动时间为． （1）当t为何值时，的面积为？ （2）若，求t的值． 【答案】（1）t为2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解题方法． （1）根据题意得出，根据三角形面积公式得出，求出t即可； （2）根据，，得出，求出t的值即可． 【小问1详解】 解：由题可知，， ∴， 解得，（舍）， ∴当t为2时，的面积为 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴ 可得，（舍）， ∴． 27. 分别是三角形的边的中点，是所在平面上的动点，连接，点分别是的中点，顺次连接点 （1）如图，当点在的内部时，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，则与应满足怎样的关系？若四边形是矩形，则与应满足怎样的关系？(直接写出答案，不需要说明理由) 【答案】 （1）分别是的中点. 分别是的中点 四边形是平行四边形. （2）OA=OB, 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE＝BC，GF∥BC且GF＝BC，从而得到DE∥GF，DE＝GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形,有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． 【详解】（1）略． 若四边形是菱形，则DG=GF, 由(1)中位线可知GF平行且等于BC,DG平行且等于AO ∴ 若四边形是矩形，则DG⊥GF, ∵DG∥AO,GF∥BC ∴ 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $