3.2.1：单调性与最大（小）值【9大题型】-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

3.2.1：单调性与最大（小）值 【考点梳理】 · 考点一、定义法判断或证明函数的单调性 · 考点、求函数的单调区间 · 考点三、单调性的应用 · 命题点1 已知单调区间求参数 · 命题点2根据图像判断函数的单调性问题 · 命题点3 根据函数的单调性解不等式 · 考点四、利用函数的单调性求最值 · 考点五、根据函数的最值求参数问题 · 考点六：函数不等式恒（能）成立问题 · 考点七：函数单调性和最值综合问题 【知识梳理】 知识点一　增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点二　函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 知识点三　函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点四　求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 【例题详解】 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明： (1)函数在区间上是严格减函数； (2)函数，是严格增函数． 题型二、求函数的单调区间 4．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 6．（22-23高一上·广东深圳·期中）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型三、单调性的应用 命题点1 已知单调区间求参数 7．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·吉林·阶段练习）如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 命题点2根据图像判断函数的单调性问题 10．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 11．（2023高一·江苏·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 12．（23-24高一上·河北沧州·期中）如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（    ）    A． B． C． D． 命题点3 根据函数的单调性解不等式 13．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·河北石家庄·期中）是定义在上的递减函数，，则x取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四、利用函数的单调性求最值 16．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·广东江门·期中）函数，的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 题型五、根据函数的最值求参数问题 19．（24-25高一上·全国）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 21．（22-23高一上·安徽·期中）已知函数在区间上的最大值是4，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：函数不等式恒（能）成立问题 22．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2024高一上·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 24．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：函数单调性和最值综合问题 25．（23-24高一下·全国）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的值域 26．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围． 27．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知函数. (1)当时，求方程的解集； (2)设在的最小值为，求的表达式. 【高分演练】 一、单选题 28．（24-25高一上·全国）函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 29．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 30．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 33．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 35．（2024高三·全国·专题练习）若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（    ） A． B． C． D．5 36．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，在上单调递增，则实数的可能取值为（    ） A． B． C．0 D．3 37．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 38．（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数的定义域为R，对任意的实数，满足，下列结论正确的是（   ） A．函数在R上是单调递减函数 B． C． D．的解为 39．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、填空题 40．（24-25高一上·上海·开学考试）已知二次函数的最小值是2，最大值是6，则的取值范围 ． 41．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数的单调递增区间是，则实数a的值为 ． 42．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的值域为 ． 43．（23-24高一下·广东深圳·期末）若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为 . 44．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 四、解答题 45．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)若，试用定义法证明：为单调递增函数； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 46．（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值和最小值. 47．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 48．（21-22高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若，在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数在区间上的值域是（m、），求实数a的取值范围． 49．（23-24高一上·北京通州·期中）设函数，函数，，用表示，中的较大者，记为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知. 条件①：； 条件②：，恒成立. (1)求不等式的解集； (2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1：单调性与最大（小）值 【考点梳理】 · 考点一、定义法判断或证明函数的单调性 · 考点、求函数的单调区间 · 考点三、单调性的应用 · 命题点1 已知单调区间求参数 · 命题点2根据图像判断函数的单调性问题 · 命题点3 根据函数的单调性解不等式 · 考点四、利用函数的单调性求最值 · 考点五、根据函数的最值求参数问题 · 考点六：函数不等式恒（能）成立问题 · 考点七：函数单调性和最值综合问题 【知识梳理】 知识点一　增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点二　函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 知识点三　函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点四　求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 【例题详解】 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用函数单调性定义可判断得结果. 【详解】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由配凑法可得函数解析式； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ， 即， 所以在上单调递减. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明： (1)函数在区间上是严格减函数； (2)函数，是严格增函数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论 【详解】（1）任取，且， 则 ． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴函数在上是严格减函数． （2）任取， 则 ． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴函数在上是严格增函数． 题型二、求函数的单调区间 4．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，可得答案. 【详解】解析：，作出图象， 可以得到函数的单调递减区间是． 故选：B. 5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 6．（22-23高一上·广东深圳·期中）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，先判断函数的奇偶性，然后分段画出图像，即可读取单调减区间. 【详解】由已知，函数为偶函数， 当时，；当时，； 可画出函数图像，图下图所示： 所以函数的单调递减区间为、， 故选：A. 题型三、单调性的应用 命题点1 已知单调区间求参数 7．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 8．（23-24高一上·吉林·阶段练习）如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想函数在区间上单调递增，则需，解得， 故实数的取值范围是 故选：A 9．（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 命题点2根据图像判断函数的单调性问题 10．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 11．（2023高一·江苏·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象上升下降的情况判断即可. 【详解】函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的， 故该函数的减区间为． 故选：C. 12．（23-24高一上·河北沧州·期中）如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像判断单调性，解题时需注意单调区间不能用. 【详解】若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，的单调递减区间为和， 故选：C. 命题点3 根据函数的单调性解不等式 13．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性的定义求解即可. 【详解】由题意可得在上单调递减， 若可得. 故选：D. 14．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得， 解得，即， 故选：D 15．（23-24高一上·河北石家庄·期中）是定义在上的递减函数，，则x取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，把不等式转化为等价不等式组，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的递减函数， 则，等价于不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 题型四、利用函数的单调性求最值 16．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性求出值域. 【详解】， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的值域为. 故选：D 17．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数分离常数，再利用函数的单调性求解. 【详解】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，；当时，； 所以函数的值域为. 故选：D. 18．（23-24高一上·广东江门·期中）函数，的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先分离常数，再利用函数单调性求解最值即可. 【详解】， 而的图象由函数图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到， 所以在上单调递增， 所以当时，函数，有最大值为. 故选：B 题型五、根据函数的最值求参数问题 19．（24-25高一上·全国）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 20．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得函数的对称轴，对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，对称轴的方程为， 当时，则时，函数取得最大值，不满足题意； 当时，可函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 解得或（舍去）. 故选：C. 21．（22-23高一上·安徽·期中）已知函数在区间上的最大值是4，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，去掉绝对值分析函数的最大值，根据最大值为4即可得出的取值范围. 【详解】当时，， 当时，在上单调递减， 在上单调递增， 当或时，，满足题意； 当时，在上单调递增， ，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 故选：C 题型六：函数不等式恒（能）成立问题 22．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得. 【详解】令函数，显然在上单调递减，， 因为任意，不等式恒成立，于是， 所以. 故选：A 23．（2024高一上·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】法一：由题意，可以采用分离参数法．，分，，，结合进行讨论并求解不等即可得． 法二：构造函数法，构造关于的函数，，即，对于中的任意恒成立，从而求解不等式组即可得． 【详解】法一：由题意，恒成立， 等价于， 当时，即，，则恒成立， ，，解得：， 当时，即时，不等式不成立， 当时，即，，则， ，，解得：， 综上所述：的取值范围是或； 法二：由，即， 令函数， ，即，对于中的任意恒成立， 则有且，即，解得或， 所以的取值范围是或. 故选：D． 24．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，计算出函数的值域后，分、及计算出函数的值域，再借助子集定义计算即可得. 【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集， 当时，，即的值域为， 若，则，即的值域为，而，符合要求； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 综上所述，. 故选：B. 题型七：函数单调性和最值综合问题 25．（23-24高一下·全国）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的值域 【答案】(1)在上单调递减；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果； （2）利用单调性求最值，即可得到值域. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递减. （2）在上单调递减，所以 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 故值域为. 26．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果； （2）利用（1）中结果，即可建立不等式组，即可求出结果. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递减. （2）在上单调递减， 所以，可得，解得， 故实数m的取值范围是． 27．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知函数. (1)当时，求方程的解集； (2)设在的最小值为，求的表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把当时，解方程即得. （2）通过讨论a的取值，确定函数在区间的最小值为． 【详解】（1）当时，， 由，得，解得或，则或， 所以方程的解集为. （2）当时，， 当时，函数在上单调递减， 则，即； 当时，函数，其图象的对称轴为， 当时，函数在上单调递减， 则，即； 当，即时，函数在上单调递增， 则，即； 当，即时，，即； 当，即时，函数在上单调递减， 则，即， 综上所述：. 【高分演练】 一、单选题 28．（24-25高一上·全国）函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知函数在上单调递减，结合单调性求最值. 【详解】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 29．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 30．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时显然恒成立，当时参变分离可得恒成立，令，，根据单调性求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式对任意均成立， 当时，恒成立， 当时，恒成立， 令，， 因为与在上单调递增， 则在上单调递增，所以当时取得最大值， 即， 所以，则， 综上可得实数的取值范围为. 故选：D 31．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【详解】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 32．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【分析】利用函数单调性的定义即可判断. 【详解】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 33．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 由，有，即. 故选：A. 34．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 二、多选题 35．（2024高三·全国·专题练习）若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】BC 【分析】对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的值. 【详解】由题意可知：， 当时，二次函数图象的对称轴为直线， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以，，解得，合乎题意； 当时，二次函数图象的对称轴为直线， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，合乎题意. 故选：BC. 36．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，在上单调递增，则实数的可能取值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】ABC 【分析】由题意可知，分段函数每支都在对应的定义域上为增函数，且满足，据题意列出不等式即可求. 【详解】当时，若单调递增，则或，即， 当时，单调递增，则，即， 又函数在上单调递增，所以，解得， 综上，实数的取值范围为， 故选：ABC 37．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】由已知结合二次函数及分段函数的值域及单调性依次判断各选项即可得出结果. 【详解】当时，的值域为，当时，的值域不为，A正确，B错误. 若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确. 若在上单调递减，则的取值范围为D错误. 故选：AC 38．（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数的定义域为R，对任意的实数，满足，下列结论正确的是（   ） A．函数在R上是单调递减函数 B． C． D．的解为 【答案】BD 【分析】变形给定不等式，结合函数单调性定义确定单调性，再逐项判断即可. 【详解】由，得， 因此在上单调递增，A错误； 由，得，B正确； 不一定有，如在上为增函数，，C错误； 由，得，解得，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点睛：涉及抽象函数函数值大小比较问题，利用给定的不等式关系，结合函数单调性定义确定函数的单调性是解题的关键. 39．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】先得到的单调性，AB选项，变形得到，故，根据函数单调性得到不等式，求出解集；CD选项，由得，故，根据函数单调性得到不等式，求出解集. 【详解】，不妨设，故， 即，令，则， 故在上单调递减， AB选项，，不等式两边同除以得：， 因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上：，A错误，B正确； CD选项，由得， 因为，所以，即， 因为在上单调递减，所以，C正确，D错误 故选：BC 三、填空题 40．（24-25高一上·上海·开学考试）已知二次函数的最小值是2，最大值是6，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】由解析式配方可得，由条件可得，且时，，由此可求的范围. 【详解】函数解析式可化为， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取最小值，最小值为， 因为当时，函数的最小值是2，最大值是6， 且时，， 所以，且时，， 即，且， 所以. 所以的取值范围为. 故答案为：. 41．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数的单调递增区间是，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性即可求解. 【详解】函数的单调递增区间是， 由题意得，解得． 故答案为： 42．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得值域. 【详解】当时，单调递增，此时， 当时，单调递减，此时， 综上所述， 故答案为：. 43．（23-24高一下·广东深圳·期末）若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数得，令，求出函数在上的最大值即可求解. 【详解】，不等式 恒成立， 则，即，恒成立， 令，由图知在上单调递减，在上单调递增， 又，故，则. 故答案为： .      44．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，可求出，再由题意可得出，结合函数的定义域和单调性可得，解不等式即可得出答案. 【详解】令，则，则， 由可得：， 因为是定义在区间上的增函数， 所以，解得：. 则的取值范围为:. 故答案为：. 四、解答题 45．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)若，试用定义法证明：为单调递增函数； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据函数单调性的定义，分区间讨论即可得证； （2）由二次不等式的恒成立，列出不等式式组得解. 【详解】（1）证明：当时，， 当时， ， 由于，则，，， 则，，即； 当时，， 由于，则，则， ，即； 当时，， 由于，则， ，即； 综上，为单调递增函数； （2）①当时，恒成立，即恒成立， 或，解得； ②当时，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，则； 综上，实数的取值范围为． 46．（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)的最大值为，最小值为 【分析】（1）根据配凑法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）， 故 （2）由（1）可得，对称轴为， 故当时，，. 即的最大值为，最小值为. 47．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）去绝对值，写出分段函数，将不等式转化，即可求解； （2）分和对函数分段，然后由函数在上单调递增得到不等式组，求解不等式组得到实数的取值范围； （3）写出分段函数，不等式对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，然后求出函数在不同区间段内的最小值，求解不等式即可. 【详解】（1）当时，故有， 则，即为或，解得：或， ∴ 不等式的解集为 （2）， 若在上单调递增，则有 ， 解得， ∴ 若在上单调递增，则实数的取值范围为 （3）设 则 不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立． ， 当时，单调递减，其值域为， 由于，所以成立． 当时，由，知， 在处取最小值， 令，得，又，所以 综上，． 48．（21-22高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若，在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数在区间上的值域是（m、），求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由，在恒成立，采用分离参数求最值，即可求出实数a的取值范围；（2）因为函数在上为严格增函数，所以时左端点取得最小值，在右端点取得最大值，再借助一元二次函数根的分布列出不等式，从而求出实数a的取值范围． 【详解】（1）由可得：，即，在上恒成立， 又因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以. （2）因为函数在上为严格增函数， 所以当时，； 当时，， 即m、n为方程的两个不同的正根，也就是方程有两个不同的正根， 于是，解得． 49．（23-24高一上·北京通州·期中）设函数，函数，，用表示，中的较大者，记为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知. 条件①：； 条件②：，恒成立. (1)求不等式的解集； (2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择条件①代入计算即可求得值，再列出不等式解出即可；选择条件②根据二次函数的最值即可得到的值； （2）求出分段函数，再分离参数，利用基本不等式即可得到答案. 【详解】（1）若选择条件①因为， 所以，故. 所以， 因为，故， 解得或， 所以不等式解集为. 若选择条件②恒成立，故最小值为， 所以对称轴方程为，所以，故.以下同条件条件①. （2）不论是条件①或是条件②均可以得到， 因为， 根据（1）中条件①的同种方法即可得到当时，， 所以， 又因为当，不等式恒成立， 故当，不等式恒成立， 即恒成立，. 因为， 当且仅当时等号成立，故，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$