高二数学期中模拟卷01（新高考地区专用，空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期中模拟考试

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得：，设其倾斜角为，， 所以斜率， 故倾斜角为， 故选：C 2．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】， ， ，， ， ， ，． ， ． 故选：C. 3．直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为， 过点作于，由到直线的距离为, 则, 故的面积为. 故选：B. 4．设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆，可得， 所以，所以椭圆的离心率， 又，所以双曲线的离心率为， 又双曲线，所以， 所以，解得. 故选：B. 5．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得或（舍去）， 则． 故选：B． 6．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故，设直线与平面所成角为， 则，所以. 故选：D 7．设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线C：, 可得，∴. ∵, ∴. 假设在双曲线右支上， 则两边平方得， ∴， 又∵ 的面积为 3， ∴，即. 故选：A. 8．已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆的离心率，可得， 所以，即，可得， 则点，右焦点，所以， 由题意可得直线的斜率， 所以，即， 由题意设直线的方程为， 直线的方程为， 设直线与直线的交点为， 联立，可得，， 则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线， 即，， 的周长为，可得， 所以，， 所以椭圆的方程为：. 故选：C． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】BD 【详解】对于A，向量与不共线，平面与不平行，A错误； 对于B，由，，得，与垂直，B正确； 对于C，，，则或，C错误； 对于D，，由是平面的法向量， 得，解得，D正确. 故选：BD 10．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大值为4 【答案】BC 【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：BC 11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【详解】对选项A，因为，由定义知，故A正确； 对选项B，点在上， 则， 化简得，所以，，B错误； 对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与， 则，又，所以， 故，所以，C正确； 对选项D，设，则， 因为，则，又， 所以，化简得，故，所以，故1，所以，故D正确， 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则 ． 【答案】 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又为双曲线的一条渐近线， 所以， 设双曲线的半焦距为，因为为其一个焦点， 所以，又， 所以， 所以. 故答案为：. 13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是 ． 【答案】/ 【详解】由题知，又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 故答案为：. 14．已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为 ，直线的方程为 . 【答案】 【详解】的标准方程为，其圆心为，半径为2.如图，    由题意可知，则， 所以当最小时，最小，此时与直线垂直， 所以直线的方程为，即. 联立，解得， 所以点的坐标为，. 在Rt中，，同理. 以为圆心，为半径作圆，如图，则线段为与的公共弦，   的方程为，即， 两圆方程相减得，即直线的方程为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为，.............................................................3分 联立方程，解得，.....................................................................................5分 即圆心，， 所以，圆的方程为..............................................................................................7分 （2）因为直线被曲线截得弦长为， 则圆心到直线的距离，...............................................................................................10分 由点到直线的距离公式可得，解得...........................................................13分 16．（15分）已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为. 所以，解得，从而，即，...................................3分 所以右焦点为，从而，解得， 抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，..........................6分 （2）    由题意直线，它过抛物线的焦点， 联立抛物线方程得，化简并整理得， 显然，， 所以，.................................................................................10分 点到直线的距离为，.....................................................................12分 所以，即的面积为.............................................15分 17．（15分）在四棱锥中，，，平面平面，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：过作于， 因为，所以与相交， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，...........................................................................................................2分 因为平面，所以， 因为，与相交，平面， 所以平面；.......................................................................................................4分 （2）取的中点，连接， 因为，，所以， 因为，所以为等边三角形，， 所以，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直，.....................................................................................................6分 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以，...............................................................................8分 因为，，，平面 所以平面，所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 .......................................................................................................11分 （3）因为， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则，...........................................13分 设平面的法向量为，则 ，令，则，.................................................15分 所以， 因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为...............................................................................17分 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 的周长为，所以， 所以， 故的方程为．..........................................................................................4分 （2）易知的斜率不为0，设， 联立，得， 所以．........................................................................6分 所以， 由， 解得， 所以的方程为或．.................................................................10分 （3）由（2）可知，...................12分 因为的斜率是的斜率的2倍，所以， 得．.....................................................................................................14分 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为．.............................................................................................17分    19．（17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【详解】（1），.............................1分 ， ；.........................................................4分 （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、．................................................................6分 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得；.................8分 ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为．..............................................................12分 （3）易知，设，则..............14分 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和．.........................................................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$学易金卷 精创试卷 #R 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 2 6 7 8 C 。 B 6 B , C 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 10 11 BD BC ACD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 ### 12.7 13. 14.(10):x-y1=0 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 则线段....................分 1y-x+1 解得 二-1 联立方程{ 2x-y+2=0' 即圆心C(-1,0),,=CA-2, 所以,...............1分.. (2)因为直线x=av+3被曲线C截得弦长为23 则圆.,到...................-.分 a2+1 16.(15分) _ 原创精品资源学科网独家享有版权, D 侵权必究! 学易金卷 精创试 卷 R 精品频道·倾力推荐 【详解】(1)因为双曲线E的渐近线方程为x土3y=0. 所以右焦点为(20), 从而=2,解得p-4, 2 抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为y^{}=8x, (2) 1 /:-x-2 由题意直线/:y=x-2,它过抛物线的焦点(2.0); [y2=8x 联立抛物线方程得 l=x-2' 化简并整理得x-12x+4-0 显然A=12^}-4x4=1280,x+=12 所以为 B......4..1..1. ........................-.1.分 12+1 -12x16=82,即 A0B的面积为8、2. 所以So= 2 ......................... 17.(15分) 【详解】(1)证明:过C作CEIAB于E, 因为ZBAD=120{*,所以CE与AD相交. 因为平面PAB1平面ABCD,平面PABo平面ABCD=AB,CEc平面ABCD. 所以.-....9............. 因为P4c平面P4B,所以CE1PA 因为PA1AD,CE与AD相交,CE,ADC平面ABCD. 所以PA1平面ABCD;.... 2 原创精品资源学科网独家享有版权, # 侵权必究! 学易金卷 精创试卷 R 精品频道·倾力推荐 (2)取BC的中点F,连接AF, 因为BC//AD,$ BAD=120$$,所以 ABC=6 0^$, 因为AB=BC=2,所以 ABC为等边三角形,AF=3.BF=CF=1 所以AF1BC,因为BC//AD,所以AF1AD. 因为PA1平面ABCD,AF一平面ABCD,所以PA1AF; 所以以A为原点,AF,AD.AP所在的直线分别为×.y,*轴建立空间直角坐标系 所以A(0.0.0).F(3.0.0).B(3.-1.0)P(0.0.2). 所以PB=(3.-1.-2)AF=(3.0.0) ........ 因为PA1AF,AF1AD,PAoAD=4:PA.ADC平面PAD 所以AF1平面PAD,所以AF为平面PAD的一个法向量 设直线PB与平面PAD所成角为0,则 .#6 3+1+4x3=4 (3)因为B(3.-1.0).P(0.0.2).C(3.1.0).D(0,4.0). 所以PC=(3.1.-2).CD=(-3.3.0)BC=(0.2.0). 设平面PBC的法向量为n=(x,y,),则 [PC-3x+y-22=0 ,令x=2,则m-(2.0.3). l:BC=2y=0 ................... 设平面PCD的法向量为i=(X,y,z),则 [n.PC-3x+y-22,=0 ,令y=1,则i-(3.1.2). ln.CD--3x+3y=0 ............................. n 原创精品资源学科网独家享有版权, 侵权必究! 学易金卷 精创试 卷 R 精品频道·倾力推荐 23+23 · 所以cos(i,n)= 42 4+3x3+1+4 7 因为二面角B-PC-D为钝角, , 18.(17分) 【详解】(1)设固的半焦距为c(c>0),由题意知2c=2,所以c=1; AFAB的周长为AF|+AF+BFl+BF =4a=42,所以a= 所以b2-a}-c2=1, 故C的方程为 (2)易知乙的斜率不为0,设1:x=my+1.Ax.V.Bxy. [x=ny+1 联立{ #lr*+2y-2=0' 得(m+2)y}+2my-1=0. -2m 所以y,+y= ##_-# 所以ly,-yl(vy:)-4yy: 22(m+1) m2+2 m+2 3 解得n=士1, 所以的方程为x-y-1=0或x+y-1=0 ...... 因为乙的斜率是乙的斜率的2倍,所以m;0, 原创精品资源学科网独家享有版权, 侵权必究! 学易金卷 精创试卷 #R 精品频道·倾力推荐 得{M-2V(1-4-). ....................................14分 2m+5m}+2 4+5 3. 当且仅当n三计1时,等号成立: 2 所以MN-AB的最大值为 . ................................17分 3 19.(17分) 5 755 5 ............... 3 8 cos(A.B)=cos(OA.OB)- OA.OB O4OB 5x1 ,. e(4AB)=1-cos(4.B)=1- 5-# 5 5 (2)设N(x.y),由题意得:d(M,M)2-x|+ll-v=1, 即x-2+|v-l-1,而x-2|+|y-1=1表示的图形是正方形ABCD V 其中4.1. ...1 (.................6.1分 即点N在正方形ABCD的边上运动,OM=(2.1),0N=(x.y). 可知:当cos(M.N)=cos<OM.ON>取到最小值时,<OM.ON>最大,相应的e(M,N)有最大值 因此,点N有如下两种可能 5 原创精品资源学科网独家享有版权, D 侵权必究! 学易金卷 精创试卷 R 精品频道·倾力推荐 42V5 ①点N为点A,则ON=(2.0),可得cos(M.N)=cos<OM.ON- 2x5 ②点N在线段CD上运动时,此时ON与DC=(1.1)同向,取ON=(1.1) 则cos(M,N)=cos<OM.ON-330 x#2300 因为3025. 10 # 5 -.......................1.... l1- (3)易知D(O.P) n k+1' ,设P(x,kx-k+1),则d(o,P)=(x)=x+ kx-k+1l......14分 当k=0时,d(0,P)=h(x)xl+l1l,则d(0,P)=1,D(0,P)=1,满足题意 由分段函数性可知a(0 P) mino),(s1). 011(-) 恒成立,当且仅当k=1时等号成立. 综上,满...........................-1.分 _ 原创精品资源学科网独家享有版权, 侵权必究!………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆+圆锥曲线。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 3．直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 4．设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（    ） A．2 B．3 C． D． 8．已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 10．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大值为4 11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则 ． 13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是 ． 14．已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为 ，直线的方程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 16．（15分）已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 17．（15分）在四棱锥中，，，平面平面，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值． 19．（17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆+圆锥曲线。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．直线3 3 5 0x y   的倾斜角为（ ） A． π 6 B． π 4 C． 2π 3 D． 3π 4 2．设 ,x yR ，向量  ,1,1a x ，  1, ,1b y  ，  2, 4,2c   ，且a b  ， / /b c   ，则 a b  等于（ ） A．2 2 B． 10 C．3 D．4 3．直线 : 1 0l x y   与圆 2 2: 2 3 0C x y x    交于 ,A B两点，则 ACB 的面积为（ ） A． 3 B．2 C．2 2 D． 3 2 4．设双曲线 2 2 1 2 : 1( 0) x C y a a    ，椭圆 2 2 2 : 14 x C y  的离心率分别为 1 2,e e ，若 1 22 3e e ，则a （ ） A． 2 8 B． 2 4 C． 2 2 D． 6 3 5．已知抛物线 2: 8C x y 的焦点为 ,F P是抛物线C上的一点，O为坐标原点， 4 3OP  ，则 PF （ ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E是 1CC的中点，则直线 BE 与平面 1B BD所成角的余弦值为 （ ） A． 2 5 5 B． 10 5 C． 2 3 5 D． 15 5 7．设双曲线C：   2 2 2 2 1 0 3 4 x y aa a    的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，B为双曲线C上一点，且 1 2BF BF ，若 1 2BF F△ 的面积为 3，则a （ ） A．2 B．3 C． 2 D． 3 8．已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b     的上顶点为 P，离心率为 1 2 ，过其左焦点倾斜角为 30°的直线 l交椭圆 E于A ， B两点，若 PAB 的周长为 16，则E的方程为（ ） A． 2 2 1 4 3 x y   B． 2 2 1 12 9 x y   C． 2 2 1 16 12 x y   D． 2 2 1 36 27 x y   二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．以下命题正确的是（ ） A．平面 ，  的法向量分别为 1 (0,1,3)n   ，  2 1,2,6n   ，则 / /  B．直线 l的方向向量为 (1, 1, 2)a    ，直线m的方向向量为 1 (2,1, ) 2 b    ，则 l与m垂直 C．直线 l的方向向量为 (0,1, 1)a    ，平面 的法向量为 (1, 1, 1)n     ，则 l / /  D．平面 经过三点 (1,0, 1)A  ， (0,1,0)B ， ( 1, 2,0)C  ，向量 (1, , )n u t  是平面 的法向量，则 1u t  10．已知直线 : 0  l kx y k ，圆  2 2 0 0: 6 5 0, ,C x y x P x y    为圆C上任意一点，则下列说法正确的是 （ ） A． 2 20 0x y 的最大值为 5 B． 0 0 y x 的最大值为 2 5 5 C．直线 l与圆C相切时， 3 3 k   D．圆心C到直线 l的距离最大值为 4 11．如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点  1 2,0F  与到点  2 2,0F 的距离之积为 4，则下 列结论正确的是（ ） A．点  2 2,0D 在曲线C上 B．点  ,1 ( 0)M x x  在C上，则 1 2 2MF  C．点Q在椭圆 2 2 1 6 2 x y   上，若 1 2FQ FQ ，则Q C D．过 2F 作 x轴的垂线交C于 ,A B两点，则 2AB  试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．若双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的一个焦点  5,0F ，一条渐近线方程为 3 4 y x ，则a b  ． 13．在空间直角坐标系中，点 (2,0,0)A 为平面 外一点，点 (0,1,1)B 为平面 内一点．若平面 的一个法向 量为 (1,1, 2) ，则点A 到平面 的距离是 ． 14．已知 2 2: 2 4 1 0M x y x y     ，直线 : 1 0,l x y P   为 l上的动点.过点 P作 M 的切线 ,PA PB，切 点分别为 ,A B，当 PM AB 最小时，点 P的坐标为 ，直线 AB的方程为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）在平面直角坐标系 xOy中，圆C经过点  1,0A 和点  1,2B  ，且圆心在直线2 2 0x y   上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线 3x ay  被圆C截得弦长为2 3，求实数a的值. 16．（15 分）已知抛物线 C：𝑦 = 2𝑝𝑥(𝑝 > 0)的焦点与双曲线 E： 2 2 2 1 3 x y b   的右焦点重合，双曲线 E的 渐近线方程为 3 0x y  . (1)求抛物线 C的标准方程和双曲线 E的标准方程. (2)斜率为 1 且纵截距为−2的直线 l与抛物线 C交于 A、B两点，O为坐标原点，求 AOB 的面积 17．（15 分）在四棱锥P ABCD 中，BC AD∥ ，PA AD ，平面PAB 平面 ABCD， 120BAD  ，且 1 2 2 PA AB BC AD    . (1)求证：PA 平面 ABCD； (2)求直线 PB与平面PAD所成角的正弦值； (3)求二面角 B PC D  的余弦值. 18．（17 分）已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，且 1 2 2FF  ，过点 2F 作两条直 线 1 2,l l ，直线 1l 与C交于 ,A B两点， 1F AB 的周长为4 2 ． (1)求C的方程； (2)若 1F AB 的面积为 4 3 ，求 1l 的方程； (3)若 2l 与C交于 ,M N 两点，且 1l 的斜率是 2l 的斜率的 2 倍，求 MN AB 的最大值． 19．（17 分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之 间的相似度，常用测量距离的方式有 3 种．设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则欧几里得距离    2 21 2 1 2( , )D A B x x y y    ；曼哈顿距离 1 2 1 2( , )d A B x x y y    ，余弦距离 ( , ) 1 cos( , )e A B A B  ， 其中cos( , ) cos ,A B OA OB     （O为坐标原点）． (1)若 ( 1,2)A  ， 3 4 , 5 5 B      ，求A ， B之间的曼哈顿距离 ( , )d A B 和余弦距离 ( , )e A B ； (2)若点 (2,1)M ， ( , ) 1d M N  ，求 ( , )e M N 的最大值； (3)已知点 P，Q是直线 : 1 ( 1)l y k x   上的两动点，问是否存在直线 l使得 min min( , ) ( , )d O P D O Q ，若存在， 求出所有满足条件的直线 l的方程，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．直线3 3 5 0x y   的倾斜角为（ ） A． π 6 B． π 4 C． 2π 3 D． 3π 4 2．设 ,x yR ，向量  ,1,1a x ，  1, ,1b y  ，  2, 4,2c   ，且a b  ， / /b c   ，则 a b  等于（ ） A．2 2 B． 10 C．3 D．4 3．直线 : 1 0l x y   与圆 2 2: 2 3 0C x y x    交于 ,A B两点，则 ACB 的面积为（ ） A． 3 B．2 C．2 2 D． 3 2 4．设双曲线 2 2 1 2 : 1( 0) x C y a a    ，椭圆 2 2 2 : 14 x C y  的离心率分别为 1 2,e e ，若 1 22 3e e ，则a （ ） A． 2 8 B． 2 4 C． 2 2 D． 6 3 5．已知抛物线 2: 8C x y 的焦点为 ,F P是抛物线C上的一点，O为坐标原点， 4 3OP  ，则 PF （ ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E是 1CC的中点，则直线 BE 与平面 1B BD所成角的余弦值为（ ） A． 2 5 5 B． 10 5 C． 2 3 5 D． 15 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 7．设双曲线C：   2 2 2 2 1 0 3 4 x y aa a    的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，B为双曲线C上一点，且 1 2BF BF ，若 1 2BF F△ 的面积为 3，则a （ ） A．2 B．3 C． 2 D． 3 8．已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b     的上顶点为 P，离心率为 1 2 ，过其左焦点倾斜角为 30°的直线 l交椭圆E 于A ， B两点，若 PAB 的周长为 16，则E的方程为（ ） A． 2 2 1 4 3 x y   B． 2 2 1 12 9 x y   C． 2 2 1 16 12 x y   D． 2 2 1 36 27 x y   二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．以下命题正确的是（ ） A．平面 ，  的法向量分别为 1 (0,1,3)n   ，  2 1,2,6n   ，则 / /  B．直线 l的方向向量为 (1, 1, 2)a    ，直线m的方向向量为 1 (2,1, ) 2 b    ，则 l与m垂直 C．直线 l的方向向量为 (0,1, 1)a    ，平面 的法向量为 (1, 1, 1)n     ，则 l / /  D．平面 经过三点 (1,0, 1)A  ， (0,1,0)B ， ( 1, 2,0)C  ，向量 (1, , )n u t  是平面 的法向量，则 1u t  10．已知直线 : 0  l kx y k ，圆  2 2 0 0: 6 5 0, ,C x y x P x y    为圆C上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． 2 20 0x y 的最大值为 5 B． 0 0 y x 的最大值为 2 5 5 C．直线 l与圆C相切时， 3 3 k   D．圆心C到直线 l的距离最大值为 4 11．如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点  1 2,0F  与到点  2 2,0F 的距离之积为 4，则下 列结论正确的是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A．点  2 2,0D 在曲线C上 B．点  ,1 ( 0)M x x  在C上，则 1 2 2MF  C．点Q在椭圆 2 2 1 6 2 x y   上，若 1 2FQ FQ ，则Q C D．过 2F 作 x轴的垂线交C于 ,A B两点，则 2AB  第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．若双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的一个焦点  5,0F ，一条渐近线方程为 3 4 y x ，则a b  ． 13．在空间直角坐标系中，点 (2,0,0)A 为平面 外一点，点 (0,1,1)B 为平面 内一点．若平面 的一个法向 量为 (1,1, 2) ，则点A 到平面 的距离是 ． 14．已知 2 2: 2 4 1 0M x y x y     ，直线 : 1 0,l x y P   为 l上的动点.过点 P作 M 的切线 ,PA PB，切 点分别为 ,A B，当 PM AB 最小时，点 P的坐标为 ，直线 AB的方程为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）在平面直角坐标系 xOy中，圆C经过点  1,0A 和点  1,2B  ，且圆心在直线2 2 0x y   上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线 3x ay  被圆C截得弦长为2 3，求实数a的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 16．（15 分）已知抛物线 C：𝑦 = 2𝑝𝑥(𝑝 > 0)的焦点与双曲线 E： 2 2 2 1 3 x y b   的右焦点重合，双曲线 E的渐 近线方程为 3 0x y  . (1)求抛物线 C的标准方程和双曲线 E的标准方程. (2)斜率为 1 且纵截距为−2的直线 l与抛物线 C交于 、A B两点，O为坐标原点，求 AOB 的面积 17．（15 分）在四棱锥P ABCD 中，BC AD∥ ，PA AD ，平面PAB 平面 ABCD， 120BAD  ，且 1 2 2 PA AB BC AD    . (1)求证：PA 平面 ABCD； (2)求直线 PB与平面PAD所成角的正弦值； (3)求二面角 B PC D  的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 18．（17 分）已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，且 1 2 2FF  ，过点 2F 作两条直线 1 2,l l ，直线 1l 与C交于 ,A B两点， 1F AB 的周长为4 2 ． (1)求C的方程； (2)若 1F AB 的面积为 4 3 ，求 1l 的方程； (3)若 2l 与C交于 ,M N 两点，且 1l 的斜率是 2l 的斜率的 2 倍，求 MN AB 的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 19．（17 分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间 的相似度，常用测量距离的方式有 3 种．设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则欧几里得距离    2 21 2 1 2( , )D A B x x y y    ；曼哈顿距离 1 2 1 2( , )d A B x x y y    ，余弦距离 ( , ) 1 cos( , )e A B A B  ， 其中cos( , ) cos ,A B OA OB     （O为坐标原点）． (1)若 ( 1,2)A  ， 3 4 , 5 5 B      ，求A ， B之间的曼哈顿距离 ( , )d A B 和余弦距离 ( , )e A B ； (2)若点 (2,1)M ， ( , ) 1d M N  ，求 ( , )e M N 的最大值； (3)已知点 P，Q是直线 : 1 ( 1)l y k x   上的两动点，问是否存在直线 l使得 min min( , ) ( , )d O P D O Q ，若存在， 求出所有满足条件的直线 l的方程，若不存在，请说明理由． 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 3．直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 4．设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（    ） A．2 B．3 C． D． 8．已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 10．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大值为4 11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则 ． 13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是 ． 14．已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为 ，直线的方程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 16．（15分）已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 17．（15分）在四棱锥中，，，平面平面，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值． 19．（17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．直线3 3 5 0x y   的倾斜角为（ ） A． π 6 B． π 4 C． 2π 3 D． 3π 4 【答案】C 【详解】由3 3 5 0x y   得： 5 33 3 y x   ，设其倾斜角为 ，  0, π  ， 所以斜率 3 tank    ， 故倾斜角为 2π 3   ， 故选：C 2．设 ,x yR ，向量  ,1,1a x ，  1, ,1b y  ，  2, 4,2c   ，且a b  ， / /b c   ，则 a b  等于（ ） A．2 2 B． 10 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 / /b c   ， 2 4 1y    ， 2y   ，  1, 2,1b    ， a b  ，  1 1 2 1 0a b x          ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 1x  ，  1,1,1a  ．  2, 1,2a b     ，  22 22 1 2 3a b        ． 故选：C. 3．直线 : 1 0l x y   与圆 2 2: 2 3 0C x y x    交于 ,A B两点，则 ACB 的面积为（ ） A． 3 B．2 C．2 2 D． 3 2 【答案】B 【详解】 如图，由圆 2 2: 2 3 0C x y x    配方得， 2 2( 1) 4x y   ，知圆心为 (1,0)C ,半径为2， 过点 (1,0)C 作CD AB 于D，由 (1,0)C 到直线 : 1 0l x y   的距离为 2 | | 2 2 CD   , 则 2 2| | 2 | | 2 2 ( 2) 2 2AB AD    , 故 ACB 的面积为 1 1| | | | 2 2 2 2 2 2 AB CD     . 故选：B. 4．设双曲线 2 2 1 2 : 1( 0) x C y a a    ，椭圆 2 2 2 : 14 x C y  的离心率分别为 1 2,e e ，若 1 22 3e e ，则a （ ） A． 2 8 B． 2 4 C． 2 2 D． 6 3 【答案】B 【详解】由椭圆 2 2 2 : 14 x C y  ，可得 22 2, 1a b  ， 所以 2 4 1 3c    ，所以椭圆的离心率 2 3 2 e  ， 又 1 22 3e e ，所以双曲线的离心率为 1 3e  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 又双曲线 2 2 1 2 : 1( 0) x C y a a    ，所以 2 1c a  ， 所以 2 1 3 a a   ，解得 2 4 a  . 故选：B. 5．已知抛物线 2: 8C x y 的焦点为 ,F P是抛物线C上的一点，O为坐标原点， 4 3OP  ，则 PF （ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】抛物线 2: 8C x y 的焦点为  0,2F ，准线方程为 2y   ， 设   , 0P m n n  ，则 2 2 2 8 , 4 3, m n m n      ，解得 4n  或 12n   （舍去）， 则 2 6PF n   ． 故选：B． 6．在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E是 1CC的中点，则直线 BE 与平面 1B BD所成角的余弦值为（ ） A． 2 5 5 B． 10 5 C． 2 3 5 D． 15 5 【答案】D 【详解】以D为坐标原点，DA为 x轴，DC为 y 轴， 1DD 为 z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 1(0,0,0), (2,2,0), (2,2,2), (0,2,1)D B B E ， 1( 2, 2,0), (0,0, 2), ( 2,0,1)BB BEBD          ， 设平面 1B BD的法向量为 ( , , )n x y z  ， 则 1 2 2 0 2 0 n BD x y n BB z             ，令 1y  ，得 1, 0x z   ，所以 ( 1,1,0)n    ， 故 10 cos , 5 BE n BE n BE n         ，设直线 BE 与平面 1B BD所成角为 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 则 10 sin 5   ，所以 2 15cos 1 sin 5     . 故选：D 7．设双曲线C：   2 2 2 2 1 0 3 4 x y aa a    的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，B为双曲线C上一点，且 1 2BF BF ，若 1 2BF F△ 的面积为 3，则a （ ） A．2 B．3 C． 2 D． 3 【答案】A 【详解】由双曲线 C：   2 2 2 2 1 0 3 4 x y a a a    , 可得 2 23 4 b a ，∴ 2 2 7 4 c a . ∵ 1 2BF BF , ∴ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 7BF BF F F c a    . 假设 B在双曲线右支上， 则 1 2 2BF BF a  ，两边平方得， 2 2 2 1 1 2 22 4 ，BF BF BF BF a   ∴ 21 22 3BF BF a ， 又∵ 1 2BFF 的面积为 3， ∴ 21 2 1 3 · 3 2 4 BF BF a  ，即𝑎 = 2. 故选：A. 8．已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b     的上顶点为 P，离心率为 1 2 ，过其左焦点倾斜角为 30°的直线 l交椭圆E 于A ， B两点，若 PAB 的周长为 16，则E的方程为（ ） A． 2 2 1 4 3 x y   B． 2 2 1 12 9 x y   C． 2 2 1 16 12 x y   D． 2 2 1 36 27 x y   【答案】C 【详解】因为椭圆的离心率 1 2 c e a   ，可得 2a c ， 所以 2 24a c ，即 2 2 24b c c  ，可得 3b c ， 则点 (0, 3 )P c ，右焦点 2( ,0)F c ，所以 2 3 0 3 0PF c k c      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 由题意可得直线 AB的斜率 3 tan 30 3 k    ， 所以 2 1PFk k   ，即 2PF AB ， 由题意设直线 AB的方程为 3 ( ) 3 y x c  ， 直线 2PF 的方程为 3 3y x c   ， 设直线 AB与直线 2PF 的交点为M ， 联立 3 ( ) 3 3 3 y x c y x c         ，可得 2 x c  ， 3 2 y c ， 则 3 ( , ) 2 2 c M c ，可得M 为 2PF 的中点，所以直线 AB为线段 2PF 的中垂线， 即 2| | | |PA AF ， 2| | | |PB BF ， PAB 的周长为 2 2| | | | | | | | | | | | 4 16PA PB AB AF AB BF a       ，可得 4a  ， 所以 1 2 2 c a  ， 3 2 3b c  ， 所以椭圆的方程为： 2 2 1 16 12 x y   . 故选：C． 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．以下命题正确的是（ ） A．平面 ，  的法向量分别为 1 (0,1,3)n   ，  2 1,2,6n   ，则 / /  B．直线 l的方向向量为 (1, 1, 2)a    ，直线m的方向向量为 1 (2,1, ) 2 b    ，则 l与m垂直 C．直线 l的方向向量为 (0,1, 1)a    ，平面 的法向量为 (1, 1, 1)n     ，则 l / /  D．平面 经过三点 (1,0, 1)A  ， (0,1,0)B ， ( 1, 2,0)C  ，向量 (1, , )n u t  是平面 的法向量，则 1u t  【答案】BD 【详解】对于 A，向量 1 (0,1,3)n   与  2 1,2,6n   不共线，平面 与  不平行，A 错误； 对于 B，由 (1, 1, 2)a    ， 1 (2,1, ) 2 b    ，得 1 1 2 1 1 2 ( ) 0 2 a b          ， l与m垂直，B 正确； 对于 C， 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0a n           ， / /a   ，则 l  或 / /l  ，C 错误； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 对于 D， (1, 1, 1), ( 1,1,0)BA BC       ，由 (1, , )n u t  是平面 的法向量， 得 1 0 1 0 BA n u t BC n u                 ，解得 1u t  ，D 正确. 故选：BD 10．已知直线 : 0  l kx y k ，圆  2 2 0 0: 6 5 0, ,C x y x P x y    为圆C上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． 2 20 0x y 的最大值为 5 B． 0 0 y x 的最大值为 2 5 5 C．直线 l与圆C相切时， 3 3 k   D．圆心C到直线 l的距离最大值为 4 【答案】BC 【详解】圆C的方程可化为  2 2 23 2x y   ，所以圆C的圆心为  3,0C ，半径 2r  . 3OC  ，𝑃(𝑥 , 𝑦 )是圆上的点， 所以 2 2 0 0x y 的最大值为   2 3 2 25  ，A 选项错误. 如图所示，当直线OP的斜率大于零且与圆相切时， 0 0 y x 最大， 此时 3, 2, 5OC PC OP   ，且 2 2 5 tan 55 OPk POC    ，B 选项正确. 直线 : 0  l kx y k ，即  1y k x  ，过定点  1,0 ， 若直线 l与圆C相切，则圆心  3,0C 到直线 l的距离为2， 即 2 3 2 1 k k k    ，解得 3 3 k   ，所以 C 选项正确. 圆心  3,0C 到直线 l的距离 2 2 3 4 1 1 k k k d k k      ， 当 0k  时， 0d  ， 当 0k  时， 2 2 4 4 4 11 1 k d k k      ，所以 D 选项错误. 故选：BC 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 11．如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点  1 2,0F  与到点  2 2,0F 的距离之积为 4，则下 列结论正确的是（ ） A．点  2 2,0D 在曲线C上 B．点  ,1 ( 0)M x x  在C上，则 1 2 2MF  C．点Q在椭圆 2 2 1 6 2 x y   上，若 1 2FQ FQ ，则Q C D．过 2F 作 x轴的垂线交C于 ,A B两点，则 2AB  【答案】ACD 【详解】对选项 A，因为    1 2 2 2 2 2 2 2 4DF DF     ，由定义知D C ，故 A 正确； 对选项 B，点  ,1 ( 0)M x x  在C上， 则 2 21 2 ( 2) 1 ( 2) 1 4MF MF x x            ， 化简得 4 26 9 0x x   ，所以 3x  ， 21 ( 3 2) 1 2 2MF     ，B 错误； 对选项 C，椭圆 2 2 1 6 2 x y   上的焦点坐标恰好为  1 2,0F  与  2 2,0F ， 则 1 2 2 6FQ F Q  ，又 1 2FQ FQ ，所以 2 2 1 2 16FQ F Q  ， 故    2 2 21 2 1 2 1 2 42 FQ F Q FQ F Q FQ F Q       ，所以Q C ，C 正确； 对选项 D，设  2,A y ，则 2AB y ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 因为 A C ，则 1 4 AF y  ，又 2 2 1 16AF y  ， 所以 2 2 16 16 y y   ，化简得 4 216 16 0y y   ，故 2 4 5 8y   ，所以 2 1 4 5 9 0y     ，故 y  1，所以 2AB  ， 故 D 正确， 故选：ACD 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．若双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的一个焦点  5,0F ，一条渐近线方程为 3 4 y x ，则a b  ． 【答案】7 【详解】双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   的渐近线方程为 b y x a   ， 又 3 4 y x 为双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   的一条渐近线， 所以 3 4 b a  ， 设双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   的半焦距为c，因为  5,0F 为其一个焦点， 所以 5c  ，又 2 2 2a b c  ， 所以 4, 3a b  ， 所以 7a b  . 故答案为：7 . 13．在空间直角坐标系中，点 (2,0,0)A 为平面 外一点，点 (0,1,1)B 为平面 内一点．若平面 的一个法向 量为 (1,1, 2) ，则点A 到平面 的距离是 ． 【答案】 6 2 / 1 6 2 【详解】由题知 ( 2,1,1)AB    ，又平面 的一个法向量为 (1,1, 2)n    ， 所以点A 到平面 的距离为 2 1 2 6 21 1 4 AB n d n             ， 故答案为： 6 2 . 14．已知 2 2: 2 4 1 0M x y x y     ，直线 : 1 0,l x y P   为 l上的动点.过点 P作 M 的切线 ,PA PB，切 点分别为 ,A B，当 PM AB 最小时，点 P的坐标为 ，直线 AB的方程为 . 【答案】 (1,0) 1 0x y   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【详解】 M 的标准方程为 2 2( 1) ( 2) 4x y    ，其圆心为  1,2M  ，半径为 2.如图， 由题意可知 PM AB ，则 21 2 2 2 4 2PAMB PAM S PM AB S PA AM PA PM      ， 所以当 PM 最小时， PM AB 最小，此时PM 与直线 l垂直， 所以直线PM 的方程为  2 1y x    ，即 1 0x y   . 联立 1 0 1 0 x y x y        ，解得 1 0 x y    ， 所以点 P的坐标为(1,0)，    2 21 1 2 0 2 2PM       . 在 Rt PAM△ 中， 2 2| | 2AP PM AM   ，同理 2BP  . 以 P为圆心， AP 为半径作圆 P，如图，则线段 AB为 M 与 P 的公共弦， P 的方程为 2 2( 1) 4x y   ，即 2 2 2 3 0x y x    ， 两圆方程相减得 1 0x y   ，即直线 AB的方程为 1 0x y   . 故答案为：(1,0)； 1 0x y   四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）在平面直角坐标系 xOy中，圆C经过点  1,0A 和点  1,2B  ，且圆心在直线2 2 0x y   上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线 3x ay  被圆C截得弦长为2 3，求实数a的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【详解】（1）因为  1,0A ，  1,2B  的中点为  0,1E ，且直线 AB的斜率 2 0 1 1 1AB k       ， 则线段 AB的垂直平分线所在直线的方程为 1y x  ，.............................................................3 分 联立方程 1 2 2 0 y x x y       ，解得 1 0 x y     ，.....................................................................................5 分 即圆心  1,0C  ， 2r CA  ， 所以，圆C的方程为  2 21 4x y   ..............................................................................................7 分 （2）因为直线 3x ay  被曲线C截得弦长为2 3， 则圆心到直线的距离 4 3 1d    ，...............................................................................................10 分 由点到直线的距离公式可得 2 1 0 3 1 1 a a       ，解得 15a   ...........................................................13 分 16．（15 分）已知抛物线 C：𝑦 = 2𝑝𝑥(𝑝 > 0)的焦点与双曲线 E： 2 2 2 1 3 x y b   的右焦点重合，双曲线 E的渐 近线方程为 3 0x y  . (1)求抛物线 C的标准方程和双曲线 E的标准方程. (2)斜率为 1 且纵截距为−2的直线 l与抛物线 C交于 、A B两点，O为坐标原点，求 AOB 的面积 【详解】（1）因为双曲线 E的渐近线方程为 3 0x y  . 所以 2 2 3 1 3 3 3 b         ，解得 2 1b  ，从而 2 3 1 4c    ，即 2c  ，...................................3 分 所以右焦点为(2,0)，从而 2 2 p  ，解得 4p  ， 抛物线 C的标准方程和双曲线 E的标准方程依次分别为 2 8y x ， 2 2 1 3 x y  ..........................6 分 （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 由题意直线 : 2l y x  ，它过抛物线的焦点(2,0)， 联立抛物线方程得 2 8 2 y x y x      ，化简并整理得 2 12 4 0x x   ， 显然 212 4 4 128 0      ， 1 2 12x x  ， 所以 1 2 4 12 16AB p x x      ，.................................................................................10 分 点O到直线 l的距离为 2 2 | 2 | 2 1 1 d     ，.....................................................................12 分 所以 1 2 16 8 2 2OAB S     ，即 AOB 的面积为8 2 .............................................15 分 17．（15 分）在四棱锥P ABCD 中，BC AD∥ ，PA AD ，平面PAB 平面 ABCD， 120BAD  ，且 1 2 2 PA AB BC AD    . (1)求证：PA 平面 ABCD； (2)求直线 PB与平面PAD所成角的正弦值； (3)求二面角 B PC D  的余弦值. 【详解】（1）证明：过C作CE AB 于E， 因为 120BAD  ，所以CE与 AD相交， 因为平面PAB 平面 ABCD，平面PAB平面 ABCD AB ，CE 平面 ABCD， 所以CE 平面PAB，...........................................................................................................2 分 因为PA平面PAB，所以CE PA ， 因为PA AD ，CE与 AD相交， ,CE AD 平面 ABCD， 所以PA 平面 ABCD；.......................................................................................................4 分 （2）取BC的中点F ，连接 AF ， 因为BC AD∥ ， 120BAD  ，所以 60ABC  ， 因为 2AB BC  ，所以 ABC 为等边三角形， 3, 1AF BF CF   ， 所以 AF BC ，因为BC AD∥ ，所以 AF AD ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 因为PA 平面 ABCD， AF 平面 ABCD，所以PA AF ， 所以 , ,AF AD AP两两垂直，.....................................................................................................6 分 所以以A 为原点， , ,AF AD AP所在的直线分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 因为 1 2 2 PA AB BC AD    ， 所以 (0,0,0), ( 3,0,0), ( 3, 1,0), (0,0, 2)A F B P ， 所以 ( 3, 1, 2), ( 3,0,0)PB AF      ，...............................................................................8 分 因为PA AF ， AF AD ，PA AD A  ， ,PA AD 平面PAD 所以 AF 平面PAD，所以 AF  为平面PAD的一个法向量， 设直线 PB与平面PAD所成角为 ，则 sin cos , PB AF PB AF PB AF         3 6 43 1 4 3      .......................................................................................................11 分 （3）因为 ( 3, 1,0), (0,0,2), ( 3,1,0), (0,4,0)B P C D ， 所以 ( 3,1, 2), ( 3,3,0), (0, 2,0)PC CD BC        ， 设平面PBC 的法向量为 1 1 1( , , )m x y z  ，则 1 1 1 1 3 2 0 2 0 m PC x y z m BC y             ，令 1 2x  ，则 (2,0, 3)m   ，...........................................13 分 设平面 PCD的法向量为 2 2 2( , , )n x y z  ，则 2 2 2 2 2 3 2 0 3 3 0 n PC x y z n CD x y               ，令 2 1y  ，则 ( 3,1, 2)n   ，.................................................15 分 所以 2 3 2 3 42 cos , 74 3 3 1 4 m n m n m n               ， 因为二面角 B PC D  为钝角， 所以二面角 B PC D  的余弦值为 42 7  ...............................................................................17 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 18．（17 分）已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，且 1 2 2FF  ，过点 2F 作两条直线 1 2,l l ，直线 1l 与C交于 ,A B两点， 1F AB 的周长为4 2 ． (1)求C的方程； (2)若 1F AB 的面积为 4 3 ，求 1l 的方程； (3)若 2l 与C交于 ,M N 两点，且 1l 的斜率是 2l 的斜率的 2 倍，求 MN AB 的最大值． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为 ( 0)c c  ，由题意知2 2c  ，所以 1c  ， 1F AB 的周长为 1 2 1 2 4 4 2AF AF BF BF a     ，所以 2a  ， 所以 2 2 2 1b a c   ， 故C的方程为 2 2 1 2 x y  ．..........................................................................................4 分 （2）易知 1l 的斜率不为 0，设    1 1 1 2 2: 1, , , ,l x my A x y B x y  ， 联立 2 2 1 2 2 0 x my x y       ，得  2 22 2 1 0m y my    ， 所以 1 2 1 22 2 2 1 , 2 2 m y y y y m m        ．........................................................................6 分 所以    22 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 4 2 m y y y y y y m        ， 由   1 2 1 2 1 2 2 2 2 11 4 2 2 3F AB m S F F y y m      △ ， 解得 1m   ， 所以 1l 的方程为 1 0x y   或 1 0x y   ．.................................................................10 分 （3）由（2）可知  22 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 m AB m y y m m            ，...................12 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 因为 1l 的斜率是 2l 的斜率的 2 倍，所以 0m  ， 得 2 1 2 2 1 4 2 MN m      ．.....................................................................................................14 分 所以 2 2 2 4 2 1 1 3 2 2 2 2 4 2 2 5 2 m MN AB m m m m           2 2 3 2 3 2 2 2 4 5 32 5m m      ， 当且仅当 1m   时，等号成立， 所以 MN AB 的最大值为 2 3 ．.............................................................................................17 分 19．（17 分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间 的相似度，常用测量距离的方式有 3 种．设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则欧几里得距离    2 21 2 1 2( , )D A B x x y y    ；曼哈顿距离 1 2 1 2( , )d A B x x y y    ，余弦距离 ( , ) 1 cos( , )e A B A B  ， 其中cos( , ) cos ,A B OA OB     （O为坐标原点）． (1)若 ( 1,2)A  ， 3 4 , 5 5 B      ，求A ， B之间的曼哈顿距离 ( , )d A B 和余弦距离 ( , )e A B ； (2)若点 (2,1)M ， ( , ) 1d M N  ，求 ( , )e M N 的最大值； (3)已知点 P，Q是直线 : 1 ( 1)l y k x   上的两动点，问是否存在直线 l使得 min min( , ) ( , )d O P D O Q ，若存在， 求出所有满足条件的直线 l的方程，若不存在，请说明理由． 【详解】（1） 3 4 8 6 14 ( , ) 1 2 5 5 5 5 d A B         ，.............................1 分 3 8 55 5cos( , ) cos , 55 1 OA OB A B OA OB OA OB               ，     5 5 5, 1 cos , 1 5 5 e A B A B       ；.........................................................4 分 （2）设 ( , )N x y ，由题意得： ( , ) | 2 | |1 | 1d M N x y     ， 即 | 2 | | 1 | 1x y    ，而 | 2 | | 1 | 1x y    表示的图形是正方形 ABCD， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 其中  2,0A 、  3,1B 、  2,2C 、  1,1D ．................................................................6 分 即点N 在正方形 ABCD的边上运动， (2,1)OM   ， ( , )ON x y  ， 可知：当cos( , ) cos ,M N OM ON     取到最小值时， ,OM ON    最大，相应的 ( , )e M N 有最大值． 因此，点N 有如下两种可能： ①点N 为点A ，则 (2,0)ON   ，可得 4 2 5 cos( , ) cos , 52 5 M N OM ON       ；.................8 分 ②点N 在线段CD上运动时，此时ON  与 (1,1)DC   同向，取 (1,1)ON   ， 则 3 3 10 cos( , ) cos , 105 2 M N OM ON       ． 因为 3 10 2 5 10 5  ，所以 ( , )e M N 的最大值为 2 5 1 5  ．..............................................................12 分 （3）易知 min 2 1 ( , ) 1 k D O P k    ，设 ( , 1)P x kx k  ，则 ( , ) ( ) | | | 1 |d O P h x x kx k     ..............14 分 当 0k  时， ( , ) ( ) | | |1 |d O P h x x   ，则 min( , ) 1d O P  ， min( , ) 1D O P  ，满足题意； 当 0k  时， 1 ( , ) ( ) 1 k d O P h x x kx k x k x k           ， 由分段函数性质可知 min 1 ( , ) min (0), k d O P h h k          ， 又 2 |1 | (0) |1 | 1 k h k k      且 2 11 1 1 kk k h k k k          恒成立，当且仅当 1k  时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条， : 1l y  和 y x ．.........................................................................17 分