第六章 概率 章末总结-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第六章　概率 章末总结 知识系统整合 规律方法收藏 学科素养培优 目录 知识系统整合 堵点自记： ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识系统整合 4 规律方法收藏 规律方法收藏 6 规律方法收藏 7 规律方法收藏 8 X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 规律方法收藏 9 规律方法收藏 10 规律方法收藏 11 规律方法收藏 12 规律方法收藏 13 规律方法收藏 14 规律方法收藏 15 学科素养培优 在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中特别注意事件AB的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．在计算时，在事件A发生的前提下缩减基本事件总数，求出其包含的基本事件数，再在这些基本事件中，找出事件A发生的条件下，事件B包含的基本事件数，然后利用古典概型公式求得条件概率． 一、条件概率 学科素养培优 17 学科素养培优 18 解 学科素养培优 19 二、相互独立事件 学科素养培优 20 学科素养培优 21 解 学科素养培优 22 解 学科素养培优 23 三、离散型随机变量的分布列及均值、方差 学科素养培优 24 学科素养培优 25 次数 [0，3) [3，6) [6，9) [9，12) [12，15) [15，18) 男同学人数 7 15 11 12 2 1 女同学人数 5 13 20 9 3 2 学科素养培优 26 学科素养培优 27 解 学科素养培优 28 解 学科素养培优 29 解 学科素养培优 30 解 学科素养培优 31 解 学科素养培优 32 四、有关正态分布的问题 学科素养培优 33 解 学科素养培优 34 五、数形结合思想在正态分布中的应用 学科素养培优 35 解 学科素养培优 36 六、分类讨论思想在分布列求解中的应用 学科素养培优 37 解 学科素养培优 38 解 学科素养培优 39 解 学科素养培优 40 　　　　　　　　　　　　　 R 1．条件概率与全概率公式 (1)条件概率：设A，B是两个事件，且P(A)>0，则称P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率． (2)条件概率的性质 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)； ③设eq \o(B,\s\up16(－))和B互为对立事件，则P(eq \o(B,\s\up16(－))|A)＝1－P(B|A)． (3)乘法公式：由条件概率的计算公式P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)可知，P(AB)＝P(A)P(B|A)(其中P(A)>0)．同理，P(AB)＝P(B)P(A|B)(其中P(B)>0)． (4)相互独立事件：事件A与事件B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)． (5)全概率公式：设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝(Bi)P(A|Bi)．称上式为全概率公式． (6)*贝叶斯公式：设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，则P(Bi|A)＝称上式为贝叶斯(Bayes)公式． 2．离散型随机变量的分布列 (1)分布列 一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意i∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xi)＝pi都是已知的，则称X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列． 离散型随机变量分布列的性质： ①pi>0，i＝1，2，…，n，…； ②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1. (2)两点分布 两点分布又称0－1分布或伯努利分布，它只有两个试验结果0和1，其分布列为 X 1 0 P p q 其中0<p<1，q＝1－p. (3)二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p(0<p<1)，且n重伯努利试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n.这时称X服从二项分布，简记为X～B (n，p)． (4)超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝k,M)eq \f(CCeq \o\al(n－k,N－M),Ceq \o\al(n,N)) ，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋，这时称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布． 3．离散型随机变量的均值与方差 (1)均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)；DX＝E(X－EX)2＝eq \o(∑,\s\up16(n),\s\do4(i＝1)) (xi－EX)2pi为随机变量X的方差． (2)两点分布与二项分布的均值与方差 ①若随机变量X服从两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)； ②若随机变量X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)． (3)超几何分布的均值 若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX＝eq \f(nM,N). 4．正态分布 (1)正态分布：由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布． (2)正态分布的3σ原则：如果随机变量X～N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝0.5， P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6826， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9544， P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9974. 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则． 有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求： (1)第一次抽到次品的概率； (2)第一次和第二次都抽到次品的概率； (3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率． 解　记“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B. (1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝eq \f(5,20)＝eq \f(1,4). (2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝eq \f(5,20)×eq \f(4,19)＝eq \f(1,19). (3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝eq \f(\f(1,19),\f(1,4))＝eq \f(4,19). 若A，B为相互独立事件，则eq \o(A,\s\up16(－))与B，A与eq \o(B,\s\up16(－))，eq \o(A,\s\up16(－))与eq \o(B,\s\up16(－))分别相互独立，则有P(eq \o(A,\s\up16(－))B)＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))·P(B)，P(Aeq \o(B,\s\up16(－)))＝P(A)P(eq \o(B,\s\up16(－)))，P(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)))＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))·P(eq \o(B,\s\up16(－)))；若A1，A2，A3，…，An相互独立，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． (1,3) 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为eq \f(1,2)，且各次投篮互不影响．求： (1)乙获胜的概率； (2)投篮结束时，乙只投了2个球的概率． [解]　设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝eq \f(1,3)，P(Bk)＝eq \f(1,2)(k＝1，2，3)． (1)记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(eq \o(A,\s\up16(－))1B1)＋P(eq \o(A,\s\up16(－))1eq \o(B,\s\up16(－))1eq \o(A,\s\up16(－))2B2)＋ P(eq \o(A,\s\up16(－))1eq \o(B,\s\up16(－))1eq \o(A,\s\up16(－))2eq \o(B,\s\up16(－))2eq \o(A,\s\up16(－))3B3) ＝P(eq \o(A,\s\up16(－))1)P(B1)＋P(eq \o(A,\s\up16(－))1)P(eq \o(B,\s\up16(－))1)P(eq \o(A,\s\up16(－))2)P(B2)＋P(eq \o(A,\s\up16(－))1)P(eq \o(B,\s\up16(－))1)P(eq \o(A,\s\up16(－))2)P(eq \o(B,\s\up16(－))2)P(eq \o(A,\s\up16(－))3)P(B3) ＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(13,27). (2)记“投篮结束时，乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 P(D)＝P(eq \o(A,\s\up16(－))1eq \o(B,\s\up16(－))1eq \o(A,\s\up16(－))2B2)＋P(eq \o(A,\s\up16(－))1eq \o(B,\s\up16(－))1eq \o(A,\s\up16(－))2eq \o(B,\s\up16(－))2A3) ＝P(eq \o(A,\s\up16(－))1)P(eq \o(B,\s\up16(－))1)P(eq \o(A,\s\up16(－))2)P(B2)＋P(eq \o(A,\s\up16(－))1)P(eq \o(B,\s\up16(－))1)P(eq \o(A,\s\up16(－))2)P(eq \o(B,\s\up16(－))2)P(A3) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＝eq \f(4,27). 均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛． 离散型随机变量的均值与方差是概率统计知识的延伸，在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在高考中是一个热点问题．求离散型随机变量X的均值与方差的步骤： (1)理解X的意义，写出X可能的全部取值； (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)； (3)写出X的分布列； (4)由分布列和均值的定义求出EX； (5)由方差的定义，求DX. 某调查机构用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下表： 若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”． (1)将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人； (2)从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动． (ⅰ)设A为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率； (ⅱ)用X表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量X的分布列及均值． 解　(1)样本中社会实践次数不低于12次的学生有8人， ∴该校学生中“社会实践标兵”有1600×eq \f(8,100)＝128人． (2)8名“社会实践标兵”中有男同学3人，女同学5人． (ⅰ)由题意可知eq \o(A,\s\up16(－))为“抽取的4位同学全是女同学”，则 P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝4,5)eq \f(C,Ceq \o\al(4,8)) ＝eq \f(1,14)， ∴P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝1－eq \f(1,14)＝eq \f(13,14). (ⅱ)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝0,3)eq \f(CCeq \o\al(4,5),Ceq \o\al(4,8)) ＝eq \f(1,14)，P(X＝1)＝1,3)eq \f(CCeq \o\al(3,5),Ceq \o\al(4,8)) ＝eq \f(3,7)， P(X＝2)＝2,3)eq \f(CCeq \o\al(2,5),Ceq \o\al(4,8)) ＝eq \f(3,7)，P(X＝3)＝3,3)eq \f(CCeq \o\al(1,5),Ceq \o\al(4,8)) ＝eq \f(1,14). 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,14) eq \f(3,7) eq \f(3,7) eq \f(1,14) EX＝0×eq \f(1,14)＋1×eq \f(3,7)＋2×eq \f(3,7)＋3×eq \f(1,14)＝eq \f(3,2).(或∵X服从参数为N＝8，M＝3，n＝4的超几何分布，∴EX＝eq \f(nM,N)＝eq \f(4×3,8)＝eq \f(3,2).) 甲、乙两人掷一枚质地均匀的硬币，甲用这枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为ξ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为η. (1)分别求ξ与η的期望与方差； (2)规定：若ξ>η，则甲获胜；若ξ<η，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率． 解　(1)依题意，得ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))，η～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))， 所以Eξ＝3×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，Dξ＝3×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq \f(3,4)， Eη＝2×eq \f(1,2)＝1，Dη＝2×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq \f(1,2). (2)P(ξ＝0)＝Ceq \o\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,8)，P(ξ＝1)＝Ceq \o\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(3,8)， P(ξ＝2)＝Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(3,8)，P(ξ＝3)＝Ceq \o\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,8)； P(η＝0)＝Ceq \o\al(0,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，P(η＝1)＝Ceq \o\al(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,2)， P(η＝2)＝Ceq \o\al(2,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4). 甲获胜的情况有ξ＝1，η＝0；ξ＝2，η＝0，1；ξ＝3，η＝0，1，2， 所以甲获胜的概率为P1＝eq \f(3,8)×eq \f(1,4)＋eq \f(3,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,2)))＋eq \f(1,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,2)＋\f(1,4)))＝eq \f(1,2). 乙获胜的情况有η＝1，ξ＝0；η＝2，ξ＝0，1， 所以乙获胜的概率为P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,8)＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)＋\f(3,8)))＝eq \f(3,16). 对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求了解正态分布中的最基础的知识． 正态变量在(－∞，＋∞)内的取值的概率为1，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ]之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500，502)，请您判断考生成绩在(550，600]分的人数． 解　∵考生成绩X～N(500，502)， ∴μ＝500，σ＝50， ∴P(550<X≤600)＝eq \f(1,2)[P(500－2×50<X≤500＋2×50)－P(500－50<X≤500＋50)]≈eq \f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝0.1359. ∴考生成绩在(550，600]分的人数为2500×0.1359≈340. 在正态分布中，求随机变量在某区间上取值的概率可以利用数形结合思想，从而使问题更易于解决． 在一次测量中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0，2)内取值的概率为0.2，求： (1)X在(0，4)内取值的概率； (2)P(X>4)． 解　(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如下： ∵P(0<X<2)＝P(2<X<4)， ∴P(0<X<4)＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4. (2)P(X>4)＝eq \f(1,2)[1－P(0<X<4)]＝eq \f(1,2)×(1－0.4)＝0.3. 在分布列的求解中经常使用分类讨论思想，解决问题的关键是正确分类． 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响． (1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和数学期望； (2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率． 解　(1)三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)． 三个问题均答对，得10＋10＋20＝40(分)． 三个问题一对两错，包括两种情况： ①前两个问题一对一错，第三个问题错，得10＋0＋(－10)＝0(分)； ②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20(分)． 三个问题两对一错，也包括两种情况： ①前两个问题对，第三个问题错，得10＋10＋(－10)＝10(分)； ②第三个问题对，前两个问题一对一错，得20＋10＋0＝30(分)． 故ξ的所有可能取值为－10，0，10，20，30，40. P(ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016， P(ξ＝0)＝Ceq \o\al(1,2)×0.2×0.8×0.4＝0.128， P(ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256， P(ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024， P(ξ＝30)＝Ceq \o\al(1,2)×0.8×0.2×0.6＝0.192， P(ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384， 所以ξ的分布列为 ξ －10 0 10 20 30 40 P 0.016 0.128 0.256 0.024 0.192 0.384 Eξ＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40× 0.384＝24. (2)这位挑战者总得分不为负分的概率为 P(ξ≥0)＝1－P(ξ<0)＝1－0.016＝0.984. $$