6.5 正态分布-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第六章　概率 §5　正态分布 (教师独具内容) 课程标准：1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.2.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.3.了解正态分布的均值、方差及其含义． 教学重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义． 教学难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握其正态分布曲线所表示的意义． 核心素养：1.通过学习正态分布的概念和正态曲线的性质，培养数学抽象及直观想象素养.2.通过利用正态分布知识解决实际问题，培养数学建模及数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 分布密度函数 误差 核心素养形成 5 正态分布 正态曲线 误差 误差 核心概念掌握 6 曲边梯形面积 核心概念掌握 7 N(μ，σ2) μ σ2 上 不相交 x＝μ x＝μ 核心概念掌握 8 上升 下降 x μ μ x 矮胖 分散 高瘦 集中 核心概念掌握 9 0.6826 0.9544 0.9974 68.3% 95.4% 99.7% 0.3% (μ－3σ，μ＋3σ] 核心概念掌握 10 核心概念掌握 11 答案 × × √ 核心概念掌握 12 答案 0 ＜ ＜ 0.8 核心概念掌握 13 核心素养形成 答案 核心素养形成 15 解析 核心素养形成 16 解析 核心素养形成 17 感悟提升 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象实质性的两点：一是对称轴x＝μ，另一个是最值.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x)中便可求出相应的解析式． 核心素养形成 18 答案 核心素养形成 19 解析 核心素养形成 20 解 核心素养形成 21 解析 答案 核心素养形成 22 解析 答案 2 0.84 核心素养形成 23 感悟提升 求在某个区间内取值的概率的方法 (1)利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6826，0.9544，0.9974求解． (2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解． (3)熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等． 核心素养形成 24 解 核心素养形成 25 核心素养形成 26 解析 核心素养形成 27 感悟提升 解决正态分布应用题的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ，σ的值． (2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化． (3)利用上述区间求出相应的概率，从而解决实际问题． 核心素养形成 28 解 核心素养形成 29 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 答案 解析 ① ② ③ 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 课后课时精练 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 37 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 38 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 39 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 40 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 41 答案 解析 33 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 42 答案 解析 0.3413 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 43 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 44 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 46 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 47 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 48 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 49 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 50 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 51 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 52 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 53 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　连续型随机变量的概念 人们把具有eq \x(\s\up1(01))______________的随机变量称为连续型随机变量，最常见的一类连续型随机变量是由eq \x(\s\up1(02))______引起的． 知识点二　正态分布 (1)概念：由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象(如图)，对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝eq \x(\s\up1(01))________，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称eq \x(\s\up1(02))__________，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为eq \x(\s\up1(03))___________． 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画eq \x(\s\up1(04))_____分布的重要模型，因此也称为eq \x(\s\up1(05))______模型． (2)特点：如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X在区间(a，b]的概率可以用P(a<X≤b)来表示．它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a，b]对应的eq \x(\s\up1(06))_______________的值(如下图)． 知识点三　正态分布的均值与方差 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ>0)确定，记为X～eq \x(\s\up1(01))_____________．其中EX＝eq \x(\s\up1(02))_____，DX＝eq \x(\s\up1(03))_____． 知识点四　正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的eq \x(\s\up1(01))___方，与x轴eq \x(\s\up1(02))________． (2)曲线是单峰的，关于直线eq \x(\s\up1(03))________对称． (3)曲线的最高点位于eq \x(\s\up1(04))________处． (4)当x<μ时，曲线eq \x(\s\up1(05))_____；当x>μ时，曲线eq \x(\s\up1(06))_____；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以eq \x(\s\up1(07))____轴为渐近线(如下图)． (5)当σ一定时，曲线的位置由eq \x(\s\up1(08))___确定，曲线随着eq \x(\s\up1(09))___的变化而沿eq \x(\s\up1(10))__轴平移． (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“eq \x(\s\up1(11))_____”，表示总体的分布越eq \x(\s\up1(12))_____；σ越小，曲线越“eq \x(\s\up1(13))_____”，表示总体的分布越eq \x(\s\up1(14))______． 知识点五　3σ原则 如图，正态分布随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ](σ>0)上取值的概率为阴影部分的面积． 特别地，P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈eq \x(\s\up1(01))_________，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈eq \x(\s\up1(02))_________，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈eq \x(\s\up1(03))___________． 因此，随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率分别约为eq \x(\s\up1(04))_________，eq \x(\s\up1(05))______，eq \x(\s\up1(06))_______．而随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ]外取值的概率只有eq \x(\s\up1(07))_____，通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件．因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间eq \x(\s\up1(08))________________之间的值，并称之为3σ原则． 正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1. ①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等； ②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)， 若b<μ，则P(X<μ－b)＝eq \f(\a\vs4\al(1－P（μ－b<X≤μ＋b）),2). 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　) (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　) (3)正态曲线可以关于y轴对称．(　　) 做一做 (1)已知正态分布密度函数为f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为____，标准差为____． (2)设两个正态分布N(μ1，σeq \o\al(2,1))(σ1＞0)和N(μ2，σeq \o\al(2,2))(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有μ1________μ2，σ1________σ2. (3)在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________． eq \r(2π) 题型一　正态曲线 INCLUDEPICTURE"例1.TIF" INCLUDEPICTURE "例1.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知三个正态分布密度函数φi(x)＝ (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则(　　) A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 C．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 解析　∵正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴μ1<μ2＝μ3，故排除B，C.∵σ越小，图象越“高瘦”，∴σ1＝σ2<σ3.故选D. (2)如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差． 解　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20 对称，最大值是eq \f(1,2\r(π))，所以μ＝20. 由eq \f(1,σ\r(2π))＝eq \f(1,2\r(π))，解得σ＝eq \r(2). 于是正态分布密度函数的解析式是 φ(x)＝ ，x∈(－∞，＋∞)． 总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝(eq \r(2))2＝2. [跟踪训练1]　(1)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N1(μ1，σeq \o\al(2,1))，N2(μ2，σeq \o\al(2,2))，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2＝1.99 解析　由图象可知，甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg，乙类水果的平均质量μ2＝0.8 kg，故A，C正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；乙图象纵坐标的最大值为1.99，故eq \f(1,σ2\r(2π))＝1.99，故D错误．故选ABC. 解　由于该正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称， 即μ＝0. 由eq \f(1,σ\r(2π))＝eq \f(1,4\r(2π))， 得σ＝4. 故该正态分布密度函数的解析式是 φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)． (2)若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq \f(1,4\r(2π)).求该正态分布密度函数的解析式． 解析　∵随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，∴μ＝0，∴其图象关于y轴对称，∴P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950. 题型二　利用正态分布求概率 　(1)若随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝(　　) A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 解析　∵ξ～N(4，σ2)且P(2<ξ≤6)≈0.6826，∴μ＝4，结合“3σ”原则可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＋σ＝6，,μ－σ＝2，))∴σ＝2.∴P(|ξ－2|<4)＝P(－2<ξ<6)＝eq \f(1,2)P(－2<ξ<10)＋eq \f(1,2)P(2<ξ<6)＝eq \f(1,2)[P(μ－3σ<ξ＜μ＋3σ)＋P(μ－σ<ξ＜μ＋σ)]≈eq \f(1,2)×(0.9974＋0.6826)＝0.84. (2)已知ξ～N(4，σ2)，且P(2<ξ≤6)≈0.6826，则σ＝________，P(|ξ－2|<4)＝________． 解　∵ξ～N(2，1)，∴μ＝2，σ＝1. (1)P(1<ξ≤3)＝P(2－1<ξ≤2＋1)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6826. (2)P(3<ξ≤4)＝eq \f([P（0<ξ≤4）－P（1<ξ≤3）],2) ＝eq \f(1,2)[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]≈eq \f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝0.1359. (3)P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝eq \f(1,2)[1－P(0<ξ＜4)]≈eq \f(1,2)×(1－0.9544)＝0.0228. eq \a\vs4\al([跟踪训练2])　设ξ～N(2，1)，试求： (1)P(1<ξ≤3)； (2)P(3<ξ≤4)； (3)P(ξ≤0)． 题型三　正态分布的应用 　某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，那么 (1)成绩不及格的学生人数约占总人数的多少？ (2)成绩在[80，90]分的学生人数约占总人数的多少？ 解析　(1)设学生的得分为随机变量X， 则X～N(70，102)，其中μ＝70，σ＝10. ∵成绩在[60，80]分的概率为 P(70－10≤X≤70＋10)≈0.6826， ∴成绩不及格的概率为eq \f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587， 即成绩不及格的学生人数约占总人数的15.87%. (2)∵P(70－20<X≤70＋20)≈0.9544， ∴成绩在[80，90]分的概率为eq \f(1,2)[P(50<X≤90)－P(60<X<80)]≈0.1359， 即成绩在[80，90]分的学生人数约占总人数的13.59%. 解　由于X服从正态分布N(4，0.52)，由正态分布的性质可知，正态分布N(4，0.52)在(4－3×0.5，4＋3×0.5]内的取值的概率约为0.9974，即在(2.5，5.5]之外的取值的概率只有0.0026. 而5.7∉(2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，因此可以认为该厂生产的这批零件是不合格的． eq \a\vs4\al([跟踪训练3])　某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.52)(单位：cm)，质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？ 1．设随机变量X服从正态分布，且相应的密度函数φ(x)＝，则(　　) A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2 C．μ＝2，σ＝eq \r(3) D．μ＝3，σ＝eq \r(3) 解析　由φ(x)＝，得μ＝2，σ＝eq \r(3).故选C. 2．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)＝(　　) A．a B．1－a C．2a D．1－2a 解析　因为X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝2对称，所以P(X>4－c)＝P(X<c)＝1－P(X>c)＝1－a. 3．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为(　　) A．(90，100] B．(95，125] C．(100，120] D．(105，115] 解析　∵X～N(110，52)，∴μ＝110，σ＝5，故eq \f(57,60)＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100<X≤120)． 4．如图是三个正态分布X～N(0，0.25)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应的曲线分别是图中的________，______，________． 解析　在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 解　设学生的数学成绩为X，共有n人参加数学考试， ∵X～N(60，100)，∴μ＝60，σ＝10. ∴P(X>90)＝eq \f(1,2)[1－P(30≤X≤90)]≈eq \f(1,2)×(1－0.9974)＝0.0013. 又P(X>90)＝eq \f(13,n)，∴eq \f(13,n)≈0.0013， ∴n≈10000， 即此次参加数学考试的学生约有10000人． 5．在某市组织的一次数学考试中，全体参加考试的学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知数学成绩在90分以上的学生有13人．试求此次参加数学考试的学生约有多少人？ 一、选择题 1．设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　解法一：由P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)可知2＝eq \f(（c＋1）＋（c－1）,2)，解得c＝2. 解法二：∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，∴正态曲线关于直线x＝c对称，又N(2，9)， ∴c＝2. 2．已知随机变量X～N(0，1)，则X在区间(－3，＋∞)内取值的概率约为(　　) A．0.8874 B．0.0026 C．0.0013 D．0.9987 解析　P(X>－3)＝eq \f(1,2)P(－3<X≤3)＋eq \f(1,2)≈0.9987. 3．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约是(　　) A．997 B．954 C．819 D．683 解析　由题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6826，从而属于正常情况的人数约是1000×0.6826≈683. 4．(多选)某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．三科总体的标准差相同 B．三科总体的平均数相同 C．丙科总体的平均数最小 D．甲科总体的标准差最小 解析　由图象知甲、乙、丙三科总体的平均数相同，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙．故选BD. 5．某地区一模考试数学成绩X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X≤70)＝0.2.从该地区参加一模考试的学生中随机抽取10名学生，数学成绩在(70，110]的人数记作随机变量ξ，则ξ的方差为(　　) A．2 B．2.1 C．2.4 D．3 解析　由正态分布知，每个人数学成绩在(70，110]的概率为2×(0.5－0.2)＝0.6，所以10名学生数学成绩在(70，110]的人数ξ服从二项分布B(10，0.6)，所以ξ的方差为10×0.6×(1－0.6)＝2.4.故选C. 二、填空题 6．某班同学共有48人，数学测验的分数服从正态分布，其平均分是80分，标准差是10分，则该班同学中成绩在(70，90)分的约有________人． 解析　依题意，得μ＝80，σ＝10，所以P(70<ξ<90)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.6826，所以48×0.6826≈33人，即该班同学中成绩在(70，90)分的约有33人． 解析　如图所示，因为P(ξ≤1)＝0.8413，所以P(ξ>1)＝1－0.8413＝0.1587，所以P(ξ≤－1)＝0.1587，所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.1587＝0.3413. 7．随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，如果P(ξ≤1)＝0.8413，则P(－1<ξ≤0)＝________． 8.某一部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________． 解析　设元件1，2，3的使用寿命超过1000小时的事件分别为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq \f(1,2)，∴该部件的使用寿命超过1000小时的事件为(Aeq \o(B,\s\up16(－))＋eq \o(A,\s\up16(－))B＋AB)C，∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)))×eq \f(1,2)＝eq \f(3,8). eq \f(3,8) 三、解答题 9．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8，22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？ 解　由于X～N(8，22)，根据正态分布的性质可知，正态分布N(8，22)在(8－3×2，8＋3×2]之外的取值概率仅约为0.26%，长度小于2米的钢筋不在(2，14]内，据此质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修． 10．某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩． (1)通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝66，σ2＝144，试估计初试成绩不低于90分的人数； (2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为eq \f(2,3)，多选题的正答率为eq \f(1,2)，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望． 附：P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6826, P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9974. 解　(1)∵学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝66，σ2＝144， ∴μ＋2σ＝66＋2×12＝90， ∴P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈eq \f(1,2)×(1－0.9544)＝0.0228， ∴估计初试成绩不低于90分的人数约为0.0228×5000＝114. (2)Y的所有可能取值为0，2，3，4，5，7， 则P(Y＝0)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,18)，P(Y＝2)＝Ceq \o\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,9)， P(Y＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,18)，P(Y＝4)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,9)， P(Y＝5)＝Ceq \o\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,9)，P(Y＝7)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,9)， ∴Y的分布列为 Y 0 2 3 4 5 7 P eq \f(1,18) eq \f(2,9) eq \f(1,18) eq \f(2,9) eq \f(2,9) eq \f(2,9) EY＝0×eq \f(1,18)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,18)＋4×eq \f(2,9)＋5×eq \f(2,9)＋7×eq \f(2,9)＝eq \f(25,6). 1．(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列结论正确的是(　　) (参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9974) A．EX＝100 B．DX＝100 C．P(X≥90)≈0.8413 D．P(X≤120)≈0.9987 解析　随机变量X服从正态分布N(100，102)，∴EX＝μ＝100，DX＝σ2＝102＝100，故A，B正确；根据题意可得P(90<X≤110)≈0.6826，P(80<X≤120)≈0.9544，∴P(X≥90)≈0.5＋eq \f(1,2)×0.6826＝0.8413，故C正确；P(X≤120)≈0.5＋eq \f(1,2)×0.9544＝0.9772，故D错误．故选ABC. 2．某学校的功能室统一使用某品牌的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布N(μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2. (1)求这种灯管的平均使用寿命； (2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少两支灯管需要更换的概率． 解　(1)因为ξ～N(μ，σ2)， P(ξ≥12)＝0.8，P(ξ≥24)＝0.2， 所以P(ξ<12)＝0.2， 显然P(ξ<12)＝P(ξ≥24)， 由正态分布密度函数的对称性可知 μ＝eq \f(12＋24,2)＝18， 即这种灯管的平均使用寿命是18个月． (2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2， 假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η，则η～B(4，0.2)， 故至少两支灯管需要更换的概率 P＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－Ceq \o\al(0,4)×0.84－Ceq \o\al(1,4)×0.83×0.2＝eq \f(113,625). $$