第七章 统计案例 章末总结-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 1．一元线性回归 (1)回归分析 ①概念：回归分析是对确定具有关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． ②回归分析的基本步骤 a．画出两个变量的散点图； b．求回归方程； c．用回归方程进行预测． (2)一元线性回归 在线性回归方程Y＝中， 其中＝xi，＝yi. 注意理解以下几点： ①线性回归方程的应用 利用线性回归方程可以对总体进行预测，虽然得到的结果不是准确值，但我们是根据统计规律得到的，因而所得结果的正确率是很大的，所以可以大胆地利用线性回归方程进行预测． ②借助散点图可以直观地看出两个变量之间是否具有线性关系．用最小二乘法思想建立的线性回归方程，能定量地描述两个变量的关系． 2．成对数据的线性相关性 (1)线性关系有两层含义：一是两变量有关系，但不是函数关系；二是两变量具有线性关系． (2)判断两变量是否具有线性关系的方法：①画散点图；②计算样本相关系数． 3．独立性检验问题 (1)独立性检验是对两变量之间是否有关进行检验．利用统计量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个变量有关联”的方法称为两个变量的独立性检验． (2)使用统计量χ2作2×2列联表的独立性检验的一般步骤 ①采集数据，列2×2列联表，并检查2×2列联表中的数据是否符合要求； ②根据公式χ2＝计算出χ2的值； ③比较上述χ2的值与相关的临界值，作出相应的判断． 一、一元线性回归 分析两个变量间的关系时，可以利用样本数据画散点图．利用散点图，如果这些点大致分布在一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性关系，这条直线称为回归直线． 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格Y和房屋的面积X的数据： 房屋面积X/m2 115 110 80 135 105 销售价格Y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格． 参考数据：xiyi＝12952，x＝60975. [解]　(1)数据对应的散点图如图所示． (2)从散点图可以看出，所有点都在一条直线附近波动，房屋面积与销售价格有比较好的线性相关关系，设所求线性回归方程为Y＝， 则＝＝≈0.1962， ≈23.2－109×0.1962＝1.8142， 故所求线性回归方程为 Y＝0.1962X＋1.8142. (3)当X＝150时，销售价格的估计值为 Y＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442(万元)． 二、成对数据的线性相关性 (1)散点图可以直观地分析出两变量之间是否存在线性关系． (2)样本相关系数主要是从量上分析两个变量之间线性关系的强弱，|r|值越接近于1，线性相关程度越强；|r|值越接近于0，线性相关程度越弱． (1)如图所示，给出了样本量均为7的A，B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组样本数据的相关系数为r2，则(　　) A．r1＝r2 B．r1<r2 C．r1>r2 D．无法判定 (2)在一次试验中，测得(X，Y)的四组值分别为(1，2)，(2，0)，(4，－4)，(－1，6)，则Y与X的样本相关系数为________． [解析]　(1)根据A，B两组样本数据的散点图知，A组样本数据几乎在一条直线上，且正相关，B组数据分散在一条直线附近，也正相关，∴相关系数r1，r2应满足r2<r1，即r1>r2.故选C. (2)因为＝1.5，＝1，x＝22，y＝56，xiyi＝－20，所以Y与X的样本相关系数 r＝＝－1. [答案]　(1)C　(2)－1 三、独立性检验问题 独立性检验的基本思想：要研究A，B两个变量彼此是否相关，通过2×2列联表构造统计量χ2.如果χ2的值较大，那么在一定程度上说明两个变量有较大把握相关． 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 机床 产品等级 一级品 二级品 总计 甲 150 50 200 乙 120 80 200 总计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：χ2＝. 90% 95% 99% χ2 >2.706 >3.841 >6.635 [解]　(1)设甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别为f1，f2，则f1＝＝0.75，f2＝＝0.6. (2)根据题表中的数据，得 χ2＝＝≈10.256. 因为10.256>6.635，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异． 某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票．按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表： 北京暴雨前后 投票情况 支持 不支持 总计 暴雨后 C D 50 暴雨前 20 30 50 总计 A B 100 已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持”的投票的概率为. (1)求列联表中的数据A，B，C，D的值； (2)绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的资金投入的态度？ (3)能够有多大把握认为北京暴雨与民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入有关？ 附：χ2＝. 90% 95% 99% χ2 >2.706 >3.841 >6.635 [解]　(1)设“从所有投票中抽取一个，取到不支持的投票”为事件E， 由已知得P(E)＝＝， 所以D＝10，B＝40，C＝40，A＝60. (2)由(1)知北京暴雨后支持率为＝， 不支持率为1－＝， 北京暴雨前支持率为＝， 不支持率为1－＝. 条形统计图如图所示： 由图可以看出，本次暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的资金投入的态度． (3)χ2＝＝≈16.7>6.635. 故有99%的把握认为北京暴雨与民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入有关． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$