2.2.1 双曲线及其标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 2.1　双曲线及其标准方程 (教师独具内容) 课程标准：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 教学重点：双曲线的定义及标准方程． 教学难点：双曲线标准方程的推导． 核心素养：1.通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养.2.通过求解双曲线的标准方程，提升数学运算素养． 知识点一　双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距． 知识点二　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c，0)；F2(c，0) F1(0，－c)；F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 1．双曲线的定义中一定要注意的几点 (1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了． (2)不可漏掉定义中的常数小于|F1F2|，否则，当2a＝|F1F2|时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；当||PF1|－|PF2||>2a时，不表示任何图形． (3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支． 2．求双曲线的标准方程时应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置． (2)设出标准方程后，再运用定义法或待定系数法求解． 3．双曲线的焦点三角形 设双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左、右焦点，P为双曲线上一点，如图所示，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，构成的三角形称为焦点三角形，其中PF1，PF2，F1F2为三角形的三边，且||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c.解决与焦点三角形有关的问题要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理．若∠F1PF2＝α，则S△PF1F2＝. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)在双曲线的标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b.(　　) (3)双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB<0)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)若双曲线－＝1上一点M到左焦点的距离为8，则点M到右焦点的距离为________． (2)双曲线x2－4y2＝1的焦距为________． (3)已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________． (4)若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是____________． 答案　(1)4或12　(2)　(3)－＝1或－＝1　(4)(－1，＋∞) 题型一　双曲线的定义及标准方程 　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的两个焦点分别是F1(－2，0)，F2(2，0)，且过点P(2，3)； (2)焦点在坐标轴上，且过M，N两点． [解]　(1)解法一：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由双曲线的定义可得2a＝||PF1|－|PF2||＝|－|＝2，所以a＝1，又c＝2，则b＝＝，因此双曲线的标准方程为x2－＝1. 解法二：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，代入点P(2，3)得－＝1， 又a2＋b2＝4，可得a2＝1，b2＝3， 所以双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)解法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 因为M，N在双曲线上， 所以 解得(舍去)． 当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 因为M，N在双曲线上， 所以解得 即a2＝9，b2＝16. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． 因为M，N在双曲线上， 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为－＋＝1， 即－＝1. 感悟提升　双曲线的标准方程的求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法 ①定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能； ②设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)； ③寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组； ④得方程：解方程组，将a，b，c(或m，n)代入所设方程即为所求． 　根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)； (2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上． 解　(1)∵椭圆＋＝1的焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)， ∴设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题意，知解得 故双曲线的标准方程为－＝1. (2)∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(其中0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5，2)， ∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 题型二　与双曲线有关的轨迹问题 　如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指出其表示什么曲线． [解]　如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(－2，0)，B(2，0)． 由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝. ∵2sinA＋sinC＝2sinB， ∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|， 从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|. ∴由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支且不包括与x轴的交点． ∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6. ∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>0且x≠)， 故顶点C的轨迹为双曲线的右支且除去点(，0)． 感悟提升　用定义法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立直角坐标系，结合图形确定动点满足的几何条件； (2)依据几何条件和曲线方程的定义确定轨迹的形状； (3)确定曲线方程中的参数并直接写出方程； (4)验证所求方程(检查是否有要去掉的点)． 　某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图所示的P处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA，PB运送到矩形灾民区ABCD中去，已知|PA|＝100 km，|PB|＝150 km，|BC|＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程． 解　灾民区ABCD中的点可分为三类，第1类沿道路PA送药较近，第2类沿道路PB送药较近，第3类沿道路PA和PB送药一样近．依题意，知界线是第3类点的轨迹． 设M为界线上的任一点， 则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|， 即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)． 因为|AB|＝＝50>50， 所以界线是以A，B为焦点的双曲线右支的一部分．如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． 设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 因为a＝25，c＝25， 所以b2＝c2－a2＝3750. 故双曲线的标准方程为－＝1. 注意到点C的坐标为(25，60)， 故y的最大值为60，此时x＝35. 故界线的曲线方程为－＝1(25≤x≤35，0≤y≤60)． 题型三　双曲线定义的应用 　如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． [解]　双曲线的标准方程为－＝1， 故a＝3，b＝4，c＝＝5. (1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6， 解得x＝10或x＝22. 由于c－a＝5－3＝2，10>2，22>2，故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ ＝＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 感悟提升　双曲线定义的两种应用 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)． (2)双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因为|F1F2|＝2c，所以有 ①定义：|r1－r2|＝2a； ②余弦公式：4c2＝r＋r－2r1r2cosθ； ③面积公式：S△PF1F2＝r1r2sinθ. 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决． 　(1)已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|的值． 解　由双曲线方程－＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图形可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2，因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33. (2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解　由－＝1， 得a＝3，b＝4，c＝5. 由双曲线的定义和余弦定理得 |PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， 则S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2 ＝×64×＝16. 1．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　) A．(－，0)，(，0) B．(－5，0)，(5，0) C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－)，(0，) 答案　B 解析　由双曲线的标准方程可知a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，故c＝5.又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(－5，0)，(5，0)． 2．若θ是第三象限角，则方程x2＋y2sinθ＝cosθ表示的曲线是(　　) A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆 答案　A 解析　曲线方程可化为＋＝1，因为θ是第三象限角，则cosθ<0，>0，所以该曲线是焦点在y轴上的双曲线．故选A. 3．已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为(　　) A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m 答案　B 解析　∵A，B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，∴|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a，∴|BF1|＋|AF1|＝4a＋m，∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m. 4．焦点在y轴上，a＝3，c＝5的双曲线方程为________． 答案　－＝1 解析　∵b2＝c2－a2＝52－32＝16，又焦点在y轴上，∴双曲线方程为－＝1. 5．已知定点A(3，0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆与圆C外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程． 解　设点P的坐标为(x，y)． ∵圆P与圆C外切且过点A，∴|PC|－|PA|＝4. ∵|AC|＝＝6＞4， ∴点P的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的右支， ∵a＝2，c＝3，∴b2＝c2－a2＝5. ∴动圆圆心P的轨迹方程为－＝1(x>0)． 一、选择题 1．已知F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 答案　D 解析　依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线．故选D. 2．已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　) A. B. C．4 D. 答案　C 解析　∵椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，∴a2－9＝7，∴a＝4.故选C. 3．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(　　) 答案　C 解析　方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从B，D中的两个椭圆看，a，b∈(0，＋∞)，但由B中直线可知a<0，b<0，矛盾，应排除B；由D中直线可知a<0，b>0，矛盾，应排除D；再由A中双曲线可知a<0，b>0，与直线中a>0，b>0矛盾，应排除A；由C中的双曲线可知a>0，b<0，和直线中a>0，b<0一致．故选C. 4．如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且·＝0，则|＋|＝(　　) A．4 B．6 C．2 D．4 答案　B 解析　由双曲线方程得a2＝4，b2＝5，c2＝9，即c＝3，则焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)．∵点P在双曲线C的右支上，且·＝0，∴△F1PF2为直角三角形．则|＋|＝2||＝|F1F2|＝2c＝6.故选B. 5．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　D 解析　如图所示，因为a＝3，b＝4，c＝5，所以F1(－5，0)，F2(5，0)，因为|PN|≥|PF2|－|NF2|，所以－|PN|≤－|PF2|＋|NF2|，又|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|PM|≤|PF1|＋|MF1|，所以|PM|－|PN|≤|PF1|＋|MF1|－|PF2|＋|NF2|＝6＋2＋1＝9. 二、填空题 6．若双曲线－＝1的右焦点坐标为(3，0)，则m＝________． 答案　6 解析　由已知a2＝m，b2＝3，∴m＋3＝9，∴m＝6. 7．已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是________． 答案　 解析　不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2.又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝2，两式联立，得|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|＝4，根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2＝. 8．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|＝6，则双曲线E的标准方程是________． 答案　－＝1 解析　如图，由题意得|AB|＝3，|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝＝＝.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，即a2＝.而2c＝|MN|＝2，从而c＝1，b2＝.所以双曲线E的标准方程是－＝1. 三、解答题 9．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线上，且·＝0，求点M到x轴的距离． 解　如图所示，不妨设点M在双曲线的右支上，点M到x轴的距离为h，则由·＝0可得MF1⊥MF2， 设|MF1|＝m，|MF2|＝n， 由双曲线的定义知，m－n＝2a＝8，　① 又m2＋n2＝(2c)2＝80，　 ② 由①②得mn＝8， 所以S△MF1F2＝mn＝4＝|F1F2|·h， 所以h＝. 10．已知双曲线的两个焦点F1，F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程． 解　若以线段F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题意得2a＝24，2c＝26. ∴a＝12，c＝13，b2＝132－122＝25. ∴双曲线的方程为－＝1； 若以线段F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴建立平面直角坐标系． 则双曲线的方程为－＝1. 故双曲线的方程为－＝1或－＝1. 1．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状． 解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝， 故设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 则有解得a2＝3，b2＝2， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)不妨设点M在双曲线的右支上， 则有|MF1|－|MF2|＝2， 又|MF1|＋|MF2|＝6， 解得|MF1|＝4，|MF2|＝2. 又|F1F2|＝2， 因此在△MF1F2中，边MF1最长， 因为cos∠MF2F1＝<0， 所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形． 2．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角． 解　如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，2)． 因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上． 设敌炮阵地的坐标为(x，y)， 因为kBC＝－，BC的中点为D(－4，)， 所以直线lPD：y－＝(x＋4)．① 又|PB|－|PA|＝4<6，故P在以A，B为焦点的双曲线右支上． 所以a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5， 则双曲线方程为－＝1(x>0)．② 联立①②，得x＝8，y＝5， 所以点P的坐标为(8，5)． 因此kPA＝＝. 故炮击的方向角为北偏东30°. 97 学科网（北京）股份有限公司 $$