1.2.4 圆与圆的位置关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 2.4　圆与圆的位置关系 (教师独具内容) 课程标准：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学重点：圆与圆的五种位置关系及其判定方法． 教学难点：用坐标法探求圆与圆的位置关系的过程． 核心素养：通过判定圆与圆的位置关系及解决相关问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养． 知识点　　圆与圆的位置关系 (1)平面内两个不等的圆之间有下列五种位置关系： ①两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，此时叫作这两个圆外离(如图1)． ②两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，此时叫作这两个圆外切(如图2)．这个唯一的公共点叫作两个圆的切点． ③两个圆有两个公共点，此时叫作这两个圆相交(如图3)． ④两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，此时叫作这两个圆内切(如图4)．这个唯一的公共点叫作两个圆的切点． 两个圆外切和内切统称两个圆相切． ⑤两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，此时叫作这两个圆内含(如图5)． (2)当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情况(重合时两个圆被看成一个圆)． (3)如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的连心线．两个圆心之间的线段长叫作圆心距． (4)两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置关系有如下的对应关系： 两个圆外离⇔d>r1＋r2； 两个圆外切⇔d＝r1＋r2； 两个圆相交⇔|r1－r2|<d<r1＋r2； 两个圆内切⇔d＝|r1－r2|； 两个圆内含⇔d<|r1－r2|. 1．圆与圆的位置关系 几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题． 2．两圆相切 处理两圆相切问题的两个步骤： (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程．(　　) (4)若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，当d<|r1－r2|时，两圆内含．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 (2)若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　) A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定 (3)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是______________． (4)已知两圆的半径分别为1和5，若两圆外离，则圆心距d的取值范围是________． 答案　(1)B　(2)C　(3)x＋3y＝0 (4)(6，＋∞) 题型一　圆与圆的位置关系的判定 　(1)圆x2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 [解析]　由(x－2)2＋(y－1)2＝9得圆心坐标为A(2，1)，半径R＝3，由x2＋y2＝4得圆心为O(0，0)，半径r＝2，∴|AO|＝，R＋r＝5，R－r＝1，∴R－r<|AO|<R＋r，即两圆相交．故选B. [答案]　B (2)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，①圆C1与圆C2外切？②圆C1与圆C2内含？ [解]　对于圆C1、圆C2的方程，配方得 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. ①如果圆C1与圆C2外切，则有 ＝3＋2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，m2＋3m－10＝0， 解得m＝－5或m＝2. ②如果圆C1与圆C2内含，则有 <3－2， 即(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0， 解得－2<m<－1. 感悟提升　(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： ①化成圆的标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆圆心的距离d； ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系． (3)判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果． 　(1)圆C1：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的公共点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　圆C1：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心C1(－1，1)，半径r1＝1；圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝16，圆心C2(3，4)，半径r2＝4.两圆的圆心距|C1C2|＝5＝r1＋r2，所以两圆外切，公共点的个数为1.故选B. (2)当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 解　将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2＝(k<50)， 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切，所以当k＝34或14时两圆相切． 当|－1|<5<1＋，即k∈(14，34)时，两圆相交． 当1＋<5或|－1|>5， 即k∈(－∞，14)∪(34，50)时，两圆相离． 题型二　两圆相切的有关问题 　(1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为____________． [解析]　设所求圆的半径为r，则＝|8－r|，所以r＝3或r＝13，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169. [答案]　(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169 (2)求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． [解]　已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1， 则圆心为C(1，0)，半径为1. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． 由题意，可得 解得或 所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 感悟提升　两圆相切时常用的性质 (1)设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则两圆相切 (2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)． 　求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程． 解　设所求圆的圆心为P(a，b)， 所以＝1.① (1)若两圆外切，则有 ＝1＋2＝3.② 由①②，解得a＝5，b＝－1. 所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1； (2)若两圆内切，则有 ＝2－1＝1.③ 由①③，解得a＝3，b＝－1. 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1. 综上，可知所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1. 题型三　两圆相交的公共弦问题 　求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长． [解]　联立两圆的方程得方程组 两式相减得x－2y＋4＝0， 此即为两圆公共弦所在直线的方程． 解法一：设两圆相交于点A，B， 则A，B两点满足方程组 解得或 所以|AB|＝＝2， 即公共弦长为2. 解法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3. 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2， 即50＝(3)2＋l2，解得l＝， 故公共弦长2l＝2. 【结论探究】本例若求公共弦所在直线被圆(x－3)2＋(y－1)2＝9所截的弦长，如何求解？ 解　由例3可知公共弦所在直线的方程为 x－2y＋4＝0， ∴圆心C(3，1)到直线l的距离为 d＝＝. ∴弦长为2＝4. 感悟提升 1．圆系方程 一般地，过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，不包含圆C2)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 2．两圆相交时，公共弦所在直线的方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 3．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 　求过两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＝0的交点，且与直线x－y－6＝0相切的圆的方程． 解　设所求圆的方程为x2＋y2－1＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)， 整理，得x2＋y2－x－＝0， 配方，得＋y2＝， 因为圆与直线x－y－6＝0相切， 所以＝. 化简得11λ＋8＝0，λ＝－. 所以所求圆的方程为3x2＋3y2＋32x－11＝0. 经检验x2＋y2－4x＝0也与直线x－y－6＝0相切． 所以所求圆的方程为3x2＋3y2＋32x－11＝0或x2＋y2－4x＝0. 1．已知圆M：(x－2)2＋y2＝4，圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆M与圆N的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 答案　B 解析　根据题意，圆M：(x－2)2＋y2＝4，其圆心为M(2，0)，半径r＝2；圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为N(1，1)，半径R＝1，圆心距|MN|＝＝，有|R－r|<|MN|<R＋r，故两圆相交．故选B. 2．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是(　　) A．r<＋1 B．r>＋1 C．|r－|<1 D．|r－|≤1 答案　D 解析　由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤≤r＋1，∴－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1. 3．(多选)集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值可以为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 答案　BD 解析　∵A∩B中有且仅有一个元素，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．当两圆内切时，＝|2－r|，解得r＝7；当两圆外切时，＝2＋r，解得r＝3.故选BD. 4．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为__________，最大值为__________． 答案　1　5 解析　如图，线段OC与圆O交于P′，与圆C交于Q′，当P在P′处，Q在Q′处时，|PQ|最小，为|P′Q′|＝|OC|－1－1＝1.同理可得，|PQ|的最大值为|OC|＋1＋1＝5. 5．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1)． (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； (2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程． 解　(1)设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2. 由两圆外切，得|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)， 故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2. (2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r， 因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程4x＋4y＋r－8＝0.① 作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝，|O1H|＝＝， 由圆心O1(0，－1)到直线①的距离为＝， 得r＝4或r＝20， 故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 一、选择题 1．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的位置关系是(　　) A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 答案　B 解析　圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的圆心为C1(－2，2)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的圆心为C2(2，5)，半径为r2＝6，而|C1C2|＝＝5＝r2－r1，故两圆内切． 2．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．(x－5)2＋(y－7)2＝25 B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15 C．(x－5)2＋(y－7)2＝9 D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9 答案　D 解析　设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9. 3．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆圆心的距离|C1C2|＝(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 答案　C 解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝＝＝8. 4．两圆相交于A(1，3)，B(m，－1)两点，且两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是(　　) A．－1 B．2 C．3 D．0 答案　C 解析　由题意知，直线AB与直线x－y＋c＝0相互垂直，则有×1＝－1，∴m＝5，∴AB的中点为(3，1)．由圆的性质知，AB的中点在直线x－y＋c＝0上，即3－1＋c＝0，∴c＝－2，从而m＋c＝5－2＝3. 5．(多选)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.则下列结论正确的是(　　) A．当两圆外切时，m＝25＋10 B．当两圆内切时，m＝25－10 C．当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0 D．当m＝45时，两圆的公共弦长为 答案　ABC 解析　因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为，(m<61)．对于A，当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10，A正确；对于B，当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10，B正确；对于C，当m＝45时，两圆相交，由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，C正确；对于D，两圆的公共弦长为2＝2，D错误．故选ABC. 二、填空题 6．圆x2＋y2－16＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________． 答案　 解析　两圆的公共弦所在直线的方程为4x－4y－4＝0，即x－y－1＝0，圆x2＋y2－16＝0的圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.由勾股定理得，半弦长为＝，所以公共弦长为. 7．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________． 答案　(x－2)2＋(y－2)2＝2 解析　曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6，6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径为.设C2的坐标为(x0，x0)，则＝，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2. 8．设半径为4的两等圆O1，O2相交于A(2，1)和B(－2，－2)，则直线O1O2的斜率为________，圆心距|O1O2|＝________． 答案　－　 解析　如图所示，直线AB的斜率kAB＝＝，∵O1O2⊥AB，∴直线O1O2的斜率k＝－.设O1O2和AB的交点为M，∵O1O2平分AB，∴M是AB的中点，坐标为，故|MA|＝，连接O1A，则|O1M|2＝|O1A|2－|MA|2＝42－＝.∴|O1M|＝，同理|O2M|＝，∴圆心距|O1O2|＝|O1M|＋|O2M|＝. 三、解答题 9．求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． 解　解法一：设经过两圆交点的圆系方程为 x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)， 即x2＋y2－x－y－6＝0， 所以圆心坐标为. 又圆心在直线x－y－4＝0上， 所以－－4＝0，即λ＝－. 经检验，圆x2＋y2－4y－6＝0的圆心(0，2)不在直线x－y－4＝0上， 所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 解法二：由得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x， 由 解得或 所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3，3)，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y－1＝－(x－1)， 由得 所以所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为＝4， 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 10．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程． 解　设圆B的半径为r， ∵圆B的圆心在直线l：y＝2x上， ∴圆B的圆心可设为(t，2t)， 则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2， 即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0，① 圆A的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，② 由②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为 (2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0.③ 又圆B平分圆A的周长， ∴圆A的圆心(－1，－1)必在公共弦上， 将x＝－1，y＝－1代入方程③， 整理得r2＝5t2＋6t＋6＝5＋≥，∴当t＝－时，rmin＝. 此时，圆B的方程是＋＝. 1．已知圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝4，圆C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝25. (1)判断圆C1与圆C2的位置关系； (2)点A，B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y＝x上的动点，求|PA|＋|PB|的最小值． 解　(1)由已知得圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝4，其圆心C1(3，－2)，半径r1＝2， 圆C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝25，其圆心C2(5，－4)，半径r2＝5， 于是|C1C2|＝＝2， 又|r1－r2|＝3，∴|C1C2|＜|r1－r2|， ∴圆C1与圆C2的位置关系为内含． (2)易知直线y＝x与圆C1、圆C2均相离，所以对于直线y＝x上的任意一点P，求|PA|＋|PB|的最小值可转化为求|PC1|＋|PC2|－r1－r2＝|PC1|＋|PC2|－7的最小值， 由平面几何的知识易知C1关于直线y＝x对称的点为C(－2，3)，C与P，C2共线时，|PC1|＋|PC2|取得最小值， 即直线y＝x上一点到两定点C1，C2的距离之和取得最小值为|CC2|＝7， ∴|PA|＋|PB|的最小值为(|PC1|＋|PC2|－7)min＝|CC2|－7＝7－7. 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)． (1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； (2)设平行于OA的直线l与圆M交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程． 解　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5. (1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)． 因为圆N与x轴相切，与圆M外切， 所以0<y0<7， 于是圆N的半径为y0， 从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1. 因此圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)因为直线l∥OA， 所以直线l的斜率为＝2. 设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0， 则圆心M到直线l的距离d＝＝. 因为|BC|＝|OA|＝＝2， 而|MC|2＝d2＋， 所以25＝＋5， 解得m＝5或m＝－15. 故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. 97 学科网（北京）股份有限公司 $$