1.2.2 圆的一般方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 2.2　圆的一般方程 (教师独具内容) 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点． 教学难点：根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题． 核心素养：通过推导圆的一般方程并运用方程解决问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养． 知识点　　圆的一般方程 (1)圆的一般方程的定义 ①当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为； ②当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点； ③当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． (2)对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0而言，圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时，其在代数结构上的典型特征： ①x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0； ②不含xy这样的二次项，即C＝0． 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件． 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点P(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点P在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 点P在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点P在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程2x2＋y2－7y＋5＝0表示圆．(　　) (2)方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0表示圆．(　　) (3)方程x2＋y2＋2x＋1＝0表示圆．(　　) (4)方程3x2＋3y2＋3ax－3ay＝0(a≠0)表示圆．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________． (2)过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为________． (3)方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________． (4)若直线3x＋y＋a＝0经过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则实数a的值为________． 答案　(1)(2，－3)　(2)x2＋y2－3x－4y＝0 (3)m<1　(4)1 题型一　圆的一般方程的定义 　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解]　(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<， 故实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成圆的标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 感悟提升　二元二次方程与圆的关系 (1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆． (2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式r＝求出半径． 　下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解　(1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程(1)不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程(2)表示点(－a，0)． (3)两边同除以2，得 x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0， ∴D2＋E2－4F＝2a2>0， ∴方程(3)表示圆，它的圆心为， 半径r＝＝|a|. 题型二　求圆的一般方程 　已知Rt△ABC的顶点A(8，5)，直角顶点为B(3，8)，顶点C在y轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)Rt△ABC外接圆的一般方程． [解]　(1)设顶点C(0，m)，由题意得 kAB·kBC＝－1， 且kAB＝＝－， 所以kBC＝＝， 解得m＝3， 所以顶点C(0，3)． (2)解法一：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知 解得 所以Rt△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－8y＋15＝0. 解法二：因为Rt△ABC的斜边AC的中点为圆心，边AC为直径，所以圆心坐标为(4，4)， 半径为r＝＝， 所以所求方程为(x－4)2＋(y－4)2＝17， 即x2＋y2－8x－8y＋15＝0. 感悟提升　应用待定系数法求圆的方程的选择 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F. 　根据下列条件求圆的一般方程． (1)已知A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求△ABC外接圆的一般方程； (2)已知圆C的圆心在直线x－2y＝1上，且经过原点和A(2，1)，求圆C的一般方程． 解　(1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知 解得 ∴△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. (2)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知解得 ∴圆C的一般方程为x2＋y2－x－y＝0. 1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为(　　) A．(0，－1) B．(1，－1) C．(－1，－1) D．(0，1) 答案　A 解析　把圆的方程化为标准方程，得＋(y＋1)2＝1－k2，r2＝1－k2，∴S＝πr2＝π＝π，∴k＝0，∴圆心坐标为(0，－1)． 2．(多选)已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的直线的方程是(　　) A．4x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0 C．4x＋y－1＝0 D．2x＋y－1＝0 答案　BC 解析　圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝2，圆心坐标为(1，－3)，经检验B，C中直线过圆心． 3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是________． 答案　 解析　D＝1，E＝m－1，F＝m2，∵r＝，∴4r2＝1＋(m－1)2－2m2＝－(m＋1)2＋3≤3，∴r2≤，∴S＝πr2≤，最大面积为. 4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案　(－2，－4)　5 解析　方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心坐标为(－2，－4)，半径为5. 5．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M. (1)求BC边的中线AD所在直线方程的一般式； (2)求圆M的一般方程． 解　(1)解法一：由B(2，0)，C(0，－4)， 知BC的中点D的坐标为(1，－2)． 又A(－3，0)， 所以直线AD的方程为＝， 即BC边的中线AD所在直线方程的一般式为x＋2y＋3＝0. 解法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5， 则△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC. 因为直线BC的斜率kBC＝2， 所以直线AD的斜率kAD＝－， 由直线方程的点斜式，得直线AD的方程为y－0＝－(x＋3)，即BC边的中线AD所在直线方程的一般式为x＋2y＋3＝0. (2)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 将A(－3，0)，B(2，0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程，得解得 所以圆M的一般方程是x2＋y2＋x＋y－6＝0. 一、选择题 1．方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1表示的几何图形是(　　) A．圆 B．直线 C．点 D．以上都不对 答案　A 解析　方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1可化为x2＋y2＋2x＋3y－＝0，则D＝2，E＝3，F＝－，所以D2＋E2－4F＝22＋32－4×＝15>0，所以方程表示圆．故选A. 2．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心在y轴上且过原点，则(　　) A．D＝0，E＝0，F≠0 B．F＝0，D≠0，E≠0 C．D＝0，F＝0，E≠0 D．E＝0，F＝0，D≠0 答案　C 解析　由于过原点(0，0)，代入圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，得F＝0.又圆心在y轴上，∴圆心的横坐标为0，即－＝0，∴D＝0.由D2＋E2－4F>0，可得E2>0，∴E≠0.故选C. 3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 答案　C 解析　直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由得C(－1，2)．所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0. 4．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r的圆，所以a2＋(－2a)2－4(2a2＋3a)＝－3a2－12a>0，即a(a＋4)<0，所以－4<a<0.又该圆的圆心坐标为，所以圆心位于第四象限． 5．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝(　　) A．135° B．45° C．120° D．90° 答案　A 解析　圆的半径r＝＝≤1，当圆的半径最大时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，∴直线的方程为y＝－x＋2，则tanα＝－1，又0°≤α<180°，∴α＝135°.故选A. 二、填空题 6．已知圆C：x2＋y2－2ax＋2ay＋2a2＋2a－1＝0的圆心到直线l：x－y－1＝0的距离为，则a的值为________． 答案　－ 解析　∵圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝1－2a，圆心(a，－a)，r＝.设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝，解得a＝或－，又1－2a>0，∴a＝－. 7．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b对称，则a－b的取值范围是________． 答案　(－∞，1) 解析　将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故圆心坐标为(－1，2)，半径为.由题意知，直线y＝2x＋b过圆心(－1，2)，∴2＝2×(－1)＋b，∴b＝4.∵此圆的半径为，∴a<5，∴a－b<1. 8．已知圆C：x2＋y2－4x－4y＝0与x轴交于A，B两点，则弦AB的长度为________，弦AB所对的圆心角为________． 答案　4　90° 解析　将圆C的方程化为标准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝8，令y＝0，得x＝0或x＝4，所以A(0，0)，B(4，0)，|AB|＝4.因为半径为2，所以|CA|＝|CB|＝2，所以|CA|2＋|CB|2＝|AB|2，因此弦AB所对的圆心角为90°. 三、解答题 9．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)． (1)若点P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值． 解　(1)由点P在圆C上，得 m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0， 解得m＝4. ∴点P的坐标为(4，5)． 故|PQ|＝＝2， kPQ＝＝. ∴线段PQ的长为2，直线PQ的斜率为. (2)由题意知|PQ|取得最大值和最小值时，P点为过Q与圆心C的直线与圆C的两个交点． 又圆心C(2，7)，半径R＝2，|QC|＝4， ∴|PQ|的最大值为|QC|＋R＝6，最小值为|QC|－R＝2. 10．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的一般方程． 解　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0， 所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， 所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E. 由题设，知x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2， 所以D＋E＝－2.① 又A(4，2)，B(－1，3)两点在圆上， 所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，② 1＋9－D＋3E＋F＝0，③ 由①②③，解得D＝－2，E＝0，F＝－12， 故所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0. 1．设△ABC的顶点分别为A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆． (1)求圆M的一般方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由． 解　(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． ∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)， ∴解得 ∴圆M的一般方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0. (2)当a变化时，圆M过定点(0，－3)．理由如下： 圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0， 由解得 ∴圆M过定点(0，－3)． 2．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． 解　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1， ∴r2＝－7t2＋6t＋1>0， 解得－<t<1. (2)由(1)知r＝ ＝， ∴当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是＋＝. (3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·4t2＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内， ∴8t2－6t<0， ∴0<t<. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$