1.2.1 圆的标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 2.1　圆的标准方程 (教师独具内容) 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 教学重点：1.圆的标准方程的特点.2.用待定系数法求圆的标准方程． 教学难点：用数形结合法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题． 核心素养：通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养． 知识点一　圆的标准方程 (1)圆的几何要素：圆的几何要素是圆心和半径． (2)圆的标准方程：圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C为(a，b)，半径为r(r>0)． 知识点二　点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)．设所给点为P(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 |PC|＝r⇔点P在圆C上 点P(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 |PC|<r⇔点P在圆C内 点P(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 点在圆外 |PC|>r⇔点P在圆C外 点P(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 知识点三　圆x2＋y2＝r2的简单几何性质 由圆的方程x2＋y2＝r2　①，可得圆的简单几何性质： (1)范围 由方程①可得圆上任意一点P(x，y)都满足不等式|x|≤r，|y|≤r．这说明圆上的所有点都在两条平行直线x＝－r，x＝r和两条平行直线y＝－r，y＝r围成的正方形之间(如图所示)． (2)对称性 根据方程①的结构特点，可以发现：若点P的坐标(x，y)满足方程①，则点P分别关于x轴、y轴和原点O对称的点P1(x，－y)，P2(－x，y)，P3(－x，－y)的坐标也都满足方程①. 这说明圆①既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形． 1．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 圆的标准方程 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2>0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r>0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 2.求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心． (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径． (4)圆心与切点的连线必与切线垂直． 3．与圆有关的最值问题 已知点P(x，y)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，求圆上的点P到定点M(m，n)的距离d＝的最值问题的处理方法如下： (1)求圆心O(a，b)与定点M(m，n)的距离dMO. (2)根据圆的几何性质知： ①当M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r； ②当M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1，2)，半径是4.(　　) (4)点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为(　　) A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4 C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－3)2＋y2＝4 (2)若圆的圆心坐标为(－1，3)，半径为，则此圆的标准方程为____________________． (3)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝(－5)2，则圆的圆心坐标为________，半径为____________． (4)已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝2，则点A(1，0)与圆的位置关系是____________． 答案　(1)A　(2)(x＋1)2＋(y－3)2＝3 (3)(－2，2)　5　(4)点A在圆上 题型一　对圆的标准方程的理解 　(1)圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心、半径分别是(　　) A．(1，－2)，4 B．(1，－2)，2 C．(－1，2)，4 D．(－1，2)，2 [解析]　圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1，2)，半径r＝2.故选D. [答案]　D (2)若(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2是圆的标准方程，则m的取值范围是________． [解析]　由m2－m－2>0，得m>2或m<－1. [答案]　(－∞，－1)∪(2，＋∞) 感悟提升　充分理解圆的定义以及圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中r>0，(a，b)为圆心，r为半径． 　若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A. B．－ C．1 D．－1 答案　A 解析　由题意可知，圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A. 题型二　求圆的标准方程 　(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为________． [解析]　设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. [答案]　x2＋(y－2)2＝1 (2)求过点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的标准方程． [解]　解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程， 于是有 解此方程组，得 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 解法二：因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0. 同理，得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0. 由得圆心的坐标为(－3，1)． 又圆的半径r＝＝5， 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 感悟提升　求圆的方程的两种方法 (1)确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，即建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷． (2)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法． 　已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于C，D两点，且|CD|＝4. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的标准方程． 解　(1)直线AB的斜率k＝1，线段AB的中点坐标为(1，2)，故直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)， 则由P在CD上得a＋b－3＝0.① 连接PA，∵直径|CD|＝4， ∴|PA|＝2，∴(a＋1)2＋b2＝40.② 由①②解得或 ∴圆心为P(－3，6)或P(5，－2)， 故圆P的标准方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 题型三　点与圆的位置关系 　(1)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 [解析]　由题意，得a＋b＝1，ab＝－，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，∴点P在圆C内．故选A. [答案]　A (2)已知点A(1，2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围． [解]　∵点A在圆C的内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2<2a2且a≠0， ∴a<－且a≠0， ∴实数a的取值范围是. 感悟提升　 1．判断点与圆的位置关系的方法 (1)只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可． (2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 2．求解参数范围 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． 　若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，求实数a的取值范围． 解　∵点(1，1)在圆的外部，则点(1，1)到圆心(a，－a)的距离大于半径2， ∴>2， 解得a>1或a<－1. ∴实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 题型四　与圆有关的最值问题 　(1)已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，点P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值为________． [解析]　由于82＋(－6)2＝100>25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为－5＝10－5＝5. [答案]　5 (2)已知x，y满足(x＋1)2＋y2＝，求x2＋y2的最大值和最小值． [解]　据题意知，x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值． 原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝. 因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. 【变式探究】在本例(2)条件不变的情况下，如何求x2＋y2－2x的最大值和最小值？ 解　令t＝x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1，故t表示圆上的点到点(1，0)距离的平方减1，而圆心C(－1，0)，故t的最大值为，最小值为. 感悟提升　形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 　(1)已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求x2＋y2的最大值和最小值； (2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝，求的最大值和最小值． 解　(1)将实数x，y看作点P(x，y)的坐标，满足(x－2)2＋y2＝3的点P(x，y)组成的图形是以M(2，0)为圆心，为半径的圆． x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方， 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4， (x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. (2)可以看成圆x2＋(y－1)2＝上的点P(x，y)到点A(2，3)的距离． 圆心(0，1)到点A(2，3)的距离 d＝＝2. 由图可知，圆上的点P(x，y)到点A(2，3)的距离的最大值是2＋，最小值是2－， 即的最大值是2＋，最小值是2－. 1．点与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定 答案　C 解析　∵＋＝＋＝1>，∴点在圆外．故选C. 2．已知一圆的圆心为A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴、y轴上，则圆的方程是(　　) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 答案　B 解析　由题意可知直径两端点的坐标分别为(4，0)，(0，－6)，可得直径为2，则半径为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 3．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1，1)的圆的方程为__________________． 答案　(x－2)2＋(y＋3)2＝25 解析　因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 4．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________． 答案　2 解析　圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1，3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2. 5．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)． (1)求圆C的标准方程； (2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值． 解　(1)由题意，结合图①可知圆心C(3，0)，r＝2， 所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. (2)如图②所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为D. 由点到直线的距离公式可得|CD|＝＝2， 又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2， 结合图形易知，点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2. 一、选择题 1．已知A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116 答案　B 解析　圆心为AB的中点(1，－3)，半径为＝＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.故选B. 2．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 答案　D 解析　由题意，得即或 故原方程表示两个半圆． 3．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　B 解析　方程(x＋5)2＋(y－12)2＝142表示以(－5，12)为圆心，14为半径的圆，x2＋y2表示圆上的点到原点距离的平方，∵圆心到原点的距离为13，∴的最小值为14－13＝1，∴x2＋y2的最小值为1. 4．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　因为直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，所以a<0，b>0.因为(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心坐标为(－a，－b)，所以圆心的横坐标－a>0，纵坐标－b<0，即圆心位于第四象限．故选D. 5．(多选)圆心在x轴上，半径为5，且在y轴上截得的线段AB的长为8，则圆的标准方程可以是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝25 B．x2＋(y－3)2＝25 C．x2＋(y＋3)2＝25 D．(x－3)2＋y2＝25 答案　AD 解析　由题意，设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以 |AO|＝4，在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.如图所示，有两种情况： 故圆心C的坐标为(－3，0)或(3，0)，故所求圆的标准方程可以是(x＋3)2＋y2＝25，(x－3)2＋y2＝25.故选AD. 二、填空题 6．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________． 答案　[0，1) 解析　由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2<26，即26a<26，又a≥0，所以0≤a<1. 7．已知圆M的圆心坐标为(3，4)，且A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为________． 答案　(x－3)2＋(y－4)2＝25 解析　∵|MA|＝＝5，|MB|＝＝2，|MC|＝＝，∴|MB|<|MA|<|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. 8．已知圆过A(1，－2)，B(－1，4)两点，则周长最小的圆的方程为________，圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程为________． 答案　x2＋(y－1)2＝10　(x－3)2＋(y－2)2＝20 解析　当线段AB为圆的直径时，过A，B两点的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0，1)，半径r＝|AB|＝.则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则⇒ ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 三、解答题 9．已知圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的标准方程． 解　解法一：由圆心在直线2x－y－7＝0上，可设圆心坐标为(a，2a－7)，由题意得a2＋(2a－3)2＝a2＋(2a－5)2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，－3)， 圆C的半径r＝＝， 所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 解法二：圆C的圆心在弦AB的垂直平分线 y＝－3上， 由得 即圆C的圆心坐标为(2，－3)， 半径r＝＝， 所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 解法三：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则由条件可得 解得 所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 10．已知圆C的圆心坐标为(x0，x0)，且过点P(4，2)． (1)求圆C的标准方程(用含x0的方程表示)； (2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程． 解　(1)由题意，设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r>0)． ∵圆C过点P(4，2)， ∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2， ∴r2＝2x－12x0＋20，∴圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20. (2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小，此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2. 1．点P是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9，0)的对称点为Q，O为原点，线段OP绕原点O按逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR，当r为常数时，求|QR|的最小值与最大值． 解　设点P的坐标是(x，y)，则点Q的坐标是(18－x，－y)， ∵线段OR是由OP绕原点逆时针旋转90°后得到的， ∴由平面几何知识得，点R的坐标为(－y，x)， 则|QR|＝ ＝·. ∵P(x，y)为圆(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的点， ∴|QR|的几何意义为点M(9，－9)到圆上的点P(x，y)的距离的倍，如图所示， 当|PM|最小时，|QR|也最小； 当|PM|最大时，|QR|也最大． 而|PM|min＝||MC|－r| ＝|－r| ＝|2－r|， |PM|max＝||MC|＋r|＝2＋r， ∴|QR|min＝|2－r|， |QR|max＝(2＋r)． 2．有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的原则是运费和价格的总费用最低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？ 解　以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设A(－5，0)，则B(5，0)． 在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/km(a>0)， 则从B地运货到P地的运费为a元/km. 若P地居民选择在A地购买此商品， 则2a<a， 整理得＋y2<. 即点P在圆C：＋y2＝的内部． 也就是说，圆C内的居民应在A地购物． 同理可推得圆C外的居民应在B地购物． 圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$