1.1.5 两条直线的交点坐标-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 1.5　两条直线的交点坐标 (教师独具内容) 课程标准：能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标． 教学难点：两直线相交与二元一次方程组的关系． 核心素养：通过求解两直线的交点坐标，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养． 知识点　　直线的交点与直线的方程组解的关系 1．两直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l l：Ax＋By＋C＝0 点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0 直线l1与l2的交点是A 2.两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 1．过两直线交点的直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)． 2．对称问题 对称问题可根据中点坐标公式、两条直线的交点和线线垂直关系解决． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点A(a，b)在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程．(　　) (2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)直线x＋y－2＝0与直线x－y＝0的交点为M，则点M的集合表示为(　　) A．{(1，1)} B．1 C．{1} D．{1，1} (2)若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为(a，b)，则a＋b＝________． 答案　(1)A　(2)－2 题型一　直线的交点问题 　判定下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标． (1)l1：2x－y＝7，l2：4x＋2y＝1； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝＋； (3)l1：(－1)x＋y＝3，l2：x＋(＋1)y＝2. [解]　(1)∵k1＝2，k2＝－2，∴k1≠k2， ∴l1，l2相交． 解方程组得 ∴两直线的交点坐标为. (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：x－3y＋2＝0， ∵＝＝，∴l1与l2重合． (3)解法一：∵k1＝1－，k2＝－＝－(－1)＝1－，∴k1＝k2. 又b1＝3≠b2＝，∴l1∥l2. 解法二：解方程组 由①得y＝3－(－1)x代入②得 x＋(＋1)[3－(－1)x]＝2， 整理，得3(＋1)＝2不成立， ∴方程组无解，∴l1∥l2. 感悟提升　 1．求两直线交点的步骤 (1)写出由两条直线的方程所组成的方程组； (2)求出方程组的解； (3)写出两条直线的交点坐标． 2．求过两条直线交点的直线方程的两种方法 (1)求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程； (2)若利用过两直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解，则更简捷． 　已知直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0的交点为P.求： (1)点P的坐标； (2)过点P且平行于直线l3：x－2y－1＝0的直线的方程； (3)过点P且垂直于直线l3：x－2y－1＝0的直线的方程． 解　(1)由解得 所以点P的坐标是(－2，2)． (2)因为所求直线与l3平行， 所以可设所求直线的方程为x－2y＋m＝0(m≠－1)． 把点P的坐标代入上述方程，得－2－2×2＋m＝0，解得m＝6. 故所求直线的方程为x－2y＋6＝0. (3)因为所求直线与l3垂直， 所以可设所求直线的方程为2x＋y＋n＝0. 把点P的坐标代入上述方程，得2×(－2)＋2＋n＝0，解得n＝2， 故所求直线的方程为2x＋y＋2＝0. 题型二　过定点的直线系问题 　求证：不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点． [证明]　证法一：当m＝1时，直线方程为y＝－4； 当m＝时，直线方程为x＝9. 这两条直线的交点为(9，－4)． 又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上， 故不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)． 证法二：将已知方程以m为未知数整理，得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0. 由m取值的任意性，得 解得 所以不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)． 感悟提升　含有参数的直线恒过定点问题的解法 解法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． 解法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l恒过第一象限； (2)若直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 解　(1)证法一：将直线l的方程整理为 y－＝a， ∴l的斜率为a，且过定点A. 而点A在第一象限， 故不论a为何值，直线l恒过第一象限． 证法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0. ∵上式对任意的a恒成立，必有 即即l过定点A. 以下同证法一． (2)直线OA的斜率为k＝＝3. 要使l不经过第二象限，直线l的斜率大于等于3即可，即a≥3. 题型三　对称问题 　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． [解]　(1)设A′(x，y)， 则 解得∴A′. (2)解法一：在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上． 设该对称点为M′(a，b)， 则 解得M′. 设m与l的交点为N， 则由得N(4，3)． ∴m′经过点N(4，3)． ∴由两点式得，直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. 解法二：易知直线m′的斜率存在，设为k， 由题意知kl＝，km＝， 由直线m与直线m′关于直线l对称，得 直线m与直线l的夹角和直线m′与直线l的夹角相等， 则＝， 两边平方整理得92k2－156k＋27＝0， 解得k1＝或k2＝(舍去)． 由得直线m与直线l的交点为(4，3)， 又直线m′过直线m与直线l的交点， ∴直线m′的方程为y－3＝(x－4)， 即9x－46y＋102＝0. (3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，且点P′在直线l上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直线l′的方程为2x－3y－9＝0. 感悟提升　 1．中心对称 (1)点关于点的对称．若点M(x1，y1)与点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 (2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程． 2．轴对称 (1)点关于直线对称 求点M关于直线l对称的对称点N的坐标的方法：可由点M和N的中点在直线l上，与直线MN与直线l垂直列方程组求解． (2)直线关于直线对称 求直线l1关于l对称的直线l2的方程的方法：方法一，转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出l2的方程；方法二，若直线l，l1，l2的斜率都存在且为k，k1，k2，则＝，再利用直线l与l1的交点在l2上可求出l2的方程． 　如图，一束光线从原点O(0，0)出发，经直线l：8x＋6y＝25反射后经过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． 解　设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上，得解得 ∴A的坐标为(4，3)． ∵反射光线的反向延长线过A(4，3)， 又由反射光线过P(－4，3)，两点纵坐标相等． 故反射光线所在直线方程为y＝3. 由方程组解得 由于反射光线为射线，故反射光线的方程为 y＝3. 由光的性质可知，光线从O点到P点的路程即为AP的长度|AP|， 由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8， ∴光线从O点经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. 1．直线3x＋5y－1＝0与直线4x＋3y－5＝0的交点是(　　) A．(－2，1) B．(－3，2) C．(2，－1) D．(3，－2) 答案　C 解析　联立两直线方程，得解得交点坐标为(2，－1)． 2．不论m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过点(　　) A. B．(－2，1) C．(2，1) D. 答案　B 解析　直线方程可化为(x＋2)m－(y－1)＝0，∴直线过定点(－2，1)． 3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值是(　　) A．－2 B．－ C．2 D. 答案　B 解析　由得代入x＋ky＝0得k＝－. 4．已知直线l：3x－y＋3＝0，则点P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为________． 答案　(－2，7) 解析　设P′(x，y)，则 解得所以P′的坐标为(－2，7)． 5．直线y＝kx＋3与直线y＝x－5的交点在直线y＝x上，求k的值． 解　由题意可知，三条直线y＝kx＋3，y＝x－5，y＝x交于一点． 显然k≠1，由得x＝y＝， 代入y＝x－5，得＝·－5， 得k＝. 一、选择题 1．直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　) A．－24 B．24 C．6 D．±6 答案　A 解析　联立解得 ∵直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，∴y＝＝0，解得k＝－24.故选A. 2．直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点(　　) A．(1，－3) B．(4，3) C．(3，1) D．(2，3) 答案　C 解析　将直线方程整理得(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，由得则直线过定点(3，1)．故选C. 3．已知直线l与直线2x－3y＋4＝0关于直线x＝1对称，则直线l的方程为(　　) A．2x＋3y－8＝0 B．3x－2y＋1＝0 C．x＋2y－5＝0 D．3x＋2y－7＝0 答案　A 解析　设P(x，y)为直线l上的任意一点，则点P关于直线x＝1对称的点为P′(2－x，y)，将(2－x，y)代入2x－3y＋4＝0，可得2(2－x)－3y＋4＝0，化简为2x＋3y－8＝0.故选A. 4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 答案　B 解析　因为l1：y＝k(x－4)过定点M(4，0)，而点M关于点(2，1)的对称点为N(0，2)，故直线l2过定点(0，2)． 5．(多选)平面上三条直线x－2y＋2＝0，x－2＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k的取值可能为(　　) A．0 B．－2 C．－1 D．1 答案　ABC 解析　设l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋ky＝0，如图，l1与l2交于点A(2，2)，显然l3恒过坐标原点，当l3∥l2时，符合题意，此时k＝0；当l3∥l1时，符合题意，此时k＝－2；当l3过点A(2，2)时，符合题意，此时k＝－1；当k≠0，－2，－1时，三条直线将平面分成7个部分．综上可知，k的取值可能为0，－2，－1.故选ABC. 二、填空题 6．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________． 答案　2x＋y－4＝0 解析　由解得∴两直线的交点坐标为(0，4)，又斜率为－2，∴所求的直线方程为y－4＝－2x，即2x＋y－4＝0. 7．直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围为________． 答案　 解析　由解得即两直线的交点坐标为.又交点在第四象限，则解得－<a<2. 8．已知△ABC一个顶点A(4，－1)，两条角平分线的方程为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，BC边所在直线的方程为________． 答案　2x－y＋3＝0 解析　易知点A不在直线l1，l2上，故点A关于直线l1，l2的对称点均在直线BC上，由点A关于x－y－1＝0的对称点为M(0，3)，点A关于x－1＝0的对称点为N(－2，－1)，由两点式可得直线BC的方程为＝，即2x－y＋3＝0. 三、解答题 9．求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 解　解法一：联立l1，l2的方程得交点P(0，2)，设过点P与l3垂直的直线方程为4x＋3y＋C＝0，代入P点坐标得4×0＋3×2＋C＝0，∴C＝－6. ∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 解法二：由解法一知，l1与l2的交点为P(0，2)， ∵直线l与l3垂直，∴kl＝－＝－， ∴直线l的方程为y－2＝－x， 即4x＋3y－6＝0. 解法三：设过l1，l2的交点的直线方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，① ∵l与l3：3x－4y＋5＝0垂直， ∴3(λ＋1)－4(λ－2)＝0， ∴λ＝11，代入①式得4x＋3y－6＝0， 即直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 10．求经过两直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 解　由得 ∴直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点坐标为(3，－2)． ①当所求直线经过原点时，满足条件， 方程设为y＝kx，可得3k＝－2，解得k＝－， 此时直线方程为y＝－x，即2x＋3y＝0； ②当所求直线在坐标轴上的截距不为0时，方程设为x＋y＝a，可得3－2＝a，解得a＝1，此时直线方程为x＋y－1＝0. 综上所述，所求的直线方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0. 1．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标． 解　如图所示，由已知，得点A应是BC边上的高所在直线与∠A的平分线所在直线的交点． 由 得故A(－1，0)． 又∠A的平分线所在直线的方程为y＝0， 故kAC＝－kAB＝－＝－1， ∴AC所在直线的方程为y＝－(x＋1)． ∵kBC＝－2， ∴BC所在直线的方程为y－2＝－2(x－1)， 由解得 故点C的坐标为(5，－6)． 2．已知直线l：3x－y－1＝0，在l上求一点P， (1)使得点P到点A(4，1)和点B(0，4)的距离之差最大； (2)使得点P到点A(4，1)和点C(3，4)的距离之和最小． 解　(1)如图，设点B关于直线l的对称点为B′(a，b)， 则解得即B′(3，3)． 所以直线AB′的方程为＝， 即2x＋y－9＝0. 因为|BP|＝|B′P|，所以||AP|－|BP||＝||AP|－|B′P||≤|AB′|，所以当A，B′，P三点共线时，点P到点A和点B的距离之差最大， 由得 所以l与AB′的交点为(2，5)，即P(2，5)． 所以点P的坐标为(2，5)时，点P到点A(4，1)和点B(0，4)的距离之差最大． (2)如图，设点C关于直线l的对称点为C′，同(1)可求得C′的坐标为. 所以AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0， 因为|AP|＋|CP|＝|AP|＋|C′P|≥|AC′|，所以当A，C′，P三点共线时，点P到点A和点C的距离之和最小， 由方程组 可求得AC′和l的交点P. 所以点P的坐标为时，点P到点A(4，1)和点C(3，4)的距离之和最小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$