1.1.4 两条直线的平行与垂直-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 1.4　两条直线的平行与垂直 (教师独具内容) 课程标准：能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 教学重点：理解直线平行或垂直的判定条件． 教学难点：平行、垂直问题的综合应用． 核心素养：通过学习两条直线平行和垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 知识点一　两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔k1＝k2． (2)若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合． 知识点二　两条直线垂直 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1． (2)当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0. 1．根据两直线方程的一般式判定两直线平行的方法 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性． 2．根据两直线方程的一般式判定两直线垂直的方法 一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 这种方法可避免讨论，减小失误． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线平行，则这两条直线斜率相等．(　　) (2)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　　) (3)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.(　　) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与x轴垂直．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是(　　) A．－8 B．0 C．2 D．10 (2)若直线ax＋2y－1＝0与直线2ax－2y＋1＝0垂直，则a的值为(　　) A．0或 B．－ C．±2 D．± (3)过点A(1，2)且平行于直线x－3y＋1＝0的直线方程为________． (4)已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2经过点A(0，5)，B(，2)，则直线l1与直线l2的位置关系为________． 答案　(1)A　(2)D　(3)x－3y＋5＝0 (4)垂直 题型一　平行关系的判断 　判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：2x＋y＝7，l2：4x＋2y＝1； (3)l1：x＝2，l2：x＝4. [解]　(1)解法一：将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－. 则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－. ∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2. 解法二：∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l1∥l2. (2)解法一：将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝－2x＋7，l2：y＝－2x＋. 则k1＝－2，b1＝7，k2＝－2，b2＝. ∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2. 解法二：将两直线方程化为一般式： l1：2x＋y－7＝0，l2：4x＋2y－1＝0. ∵2×2－4×1＝0且2×(－1)－4×(－7)≠0，∴l1∥l2. (3)∵l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，∴l1∥l2. 感悟提升　两条直线平行的判定 (1)已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. (2)对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，它们的法向量分别是n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)，l1与l2平行的充要条件是n1与n2共线，即A1B2＝A2B1. 　判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)l1：y＝x＋，l2：y＝x＋； (2)l1：x＋2y＋1＝0，l2：2x＋4y＋1＝0； (3)l1：2x＋5y＋1＝0，l2：＋＝1. 解　(1)这两条直线的斜率相等，截距不相等，故l1∥l2. (2)由l1：y＝－x－，l2：y＝－x－知，这两条直线的斜率相等，截距不相等， 故l1∥l2. (3)l1：2x＋5y＋1＝0，即y＝－x－，l2：y＝－x＋2， 这两条直线的斜率相等，截距不相等， 故l1∥l2. 题型二　利用平行关系求直线方程 　求经过点A(1，2)，且平行于直线l：y＝－x＋的直线方程． [解]　由y＝－x＋，得直线l的斜率k＝－. ∵所求直线平行于直线l， ∴所求直线的斜率为－. ∴所求直线的方程为y－2＝－(x－1)， 即y＝－x＋. 感悟提升　平行直线的求法 (1)求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值． (2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设直线方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可． 其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论． 　已知直线l过点A(2，－3)．若l与过点(－4，4)和(－3，2)的直线l′平行，求直线l的方程． 解　由斜率公式得直线l′的斜率 k′＝＝－2， ∵l与l′平行，∴直线l的斜率k＝－2. 由直线方程的点斜式知l：y＋3＝－2(x－2)， ∴直线l的方程为y＝－2x＋1. 题型三　垂直关系的判断 　判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)l1：y＝x＋5，l2：x＋y－2＝0； (2)l1：4x－5y＋1＝0，l2：15x＋12y－7＝0； (3)l1：y＝－3，l2：x＝1. [解]　(1)解法一：将直线l2的方程化为斜截式：y＝－x＋2，则k1＝1，k2＝－1， ∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2. 解法二：由两条直线方程可得它们的法向量分别为n1＝(1，－1)，n2＝(1，1)． ∵n1·n2＝(1，－1)·(1，1)＝0，∴l1⊥l2. (2)解法一：将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝x＋，l2：y＝－x＋， 则k1＝，k2＝－，k1k2＝－1， ∴l1⊥l2. 解法二：由两条直线方程可得它们的法向量分别为n1＝(4，－5)，n2＝(15，12)， ∵n1·n2＝4×15＋(－5)×12＝0，∴l1⊥l2. (3)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2. 感悟提升　两条直线垂直的判断 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，它们的法向量分别是n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)，l1与l2垂直的充要条件是n1与n2垂直，即A1A2＋B1B2＝0. 　判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)l1：y＝x＋1，l2：y＝－3x＋2； (2)l1：x＋3y＋2＝0，l2：3x－y＋1＝0； (3)l1：x＋y＝0，l2：x－y＝0. 解　设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2. (1)k1＝，k2＝－3，则k1k2＝－1，故l1⊥l2. (2)k1＝－，k2＝3，则k1k2＝－1，故l1⊥l2. (3)k1＝－1，k2＝1，则k1k2＝－1，l1⊥l2. 题型四　利用垂直关系求直线方程 　求过点(3，1)且与直线y＝3x－1垂直的直线方程． [解]　直线y＝3x－1的斜率为3， 经过点(3，1)且与直线y＝3x－1垂直的直线方程为y－1＝－(x－3)，即x＋3y－6＝0. 感悟提升　垂直直线的求法 (1)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0(m为参数)． (2)与直线y＝kx＋b垂直的直线方程可设为y＝－x＋m(k≠0)． 　求过点P(1，－1)且与直线2x＋3y＋1＝0垂直的直线方程． 解　设与直线2x＋3y＋1＝0垂直的直线方程为3x－2y＋C＝0，代入P(1，－1)， 得5＋C＝0，解得C＝－5， 所以所求直线方程为3x－2y－5＝0. 题型五　利用平行、垂直关系求参数 　(1)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0垂直，求a的值． [解]　(1)解法一：a.当m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1的斜率k1不存在，直线l2的斜率k2＝，两直线不平行； b．当m＋1≠0，即m≠－1时，将两条直线方程各化为斜截式： l1：y＝－x－，l2：y＝－x＋. 由l1∥l2知两条直线的斜率相等，截距不相等， ∴ 由①得m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3， 经验证均适合②式，故m的值为2或－3. 解法二：∵l1∥l2， ∴2×3－(m＋1)m＝0且－2(m＋1)－3×4≠0， 即m2＋m－6＝0且m≠－7， ∴m＝2或m＝－3. ∴m的值为2或－3. (2)解法一：当a＝1时，l1：x＝3，l2：y＝， ∴l1⊥l2； 当a＝－时，l1：y＝x＋，l2：x＝－， ∴l1不垂直于l2； 当a≠1且a≠－时，k1＝，k2＝， 由于l1⊥l2，则×＝－1， 解得a＝－3. 综上可知，当a＝1或a＝－3时，l1⊥l2. 解法二：l1中，A1＝a，B1＝1－a， l2中，A2＝a－1，B2＝2a＋3. 若l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0， 即a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝1或a＝－3.∴a的值为1或－3. 感悟提升　若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系，注意考虑b1≠b2这个条件． 　(1)当a为何值时，直线l1：x＋y－2a＝0与直线l2：(a2－2)x－y＋2＝0平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 解　(1)由题意可知，直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2. ∵l1∥l2，∴解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1：x＋y－2a＝0与直线l2：(a2－2)x－y＋2＝0平行． (2)由题意可知，直线l1的斜率k1＝2a－1，直线l2的斜率k2＝4. ∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1， 解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 1．在平面直角坐标系中，直线l1：x－ay＋1＝0和直线l2：ax＋y＋10＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法判断 答案　C 解析　∵1·a＋(－a)·1＝0，∴l1⊥l2. 2．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 答案　B 解析　平行于直线4x＋3y－3＝0的直线具有形式4x＋3y＋C＝0(C≠－3)，故排除A，D；C中直线在x，y轴上的截距均为正，直线过第一象限，不符合条件．故选B. 3．过点P(1，2)且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线在y轴上的截距为(　　) A．3 B. C．5 D．－ 答案　B 解析　设直线方程为x－2y＋m＝0，将P(1，2)代入得m＝3，即x－2y＋3＝0，令x＝0，得y＝. 4．如果直线l1：2x－y－1＝0与直线l2：2x＋(a＋1)y＋2＝0平行，那么a＝________． 答案　－2 解析　解法一：由题意得＝，解得a＝－2.经检验a＝－2符合题意． 解法二：∵直线l1：2x－y－1＝0与直线l2：2x＋(a＋1)y＋2＝0平行， ∴解得a＝－2. 5．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，则m，n满足什么条件时，分别有 (1)l1∥l2? (2)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1? 解　(1)∵l1∥l2，∴ 解得或 ∴当m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2. (2)解法一：∵l1在y轴上的截距为－1， ∴n＝8，∴l1：mx＋8y＋8＝0. 当m＝0时，l1：y＝－1，l2：x＝，满足l1⊥l2； 当m≠0时，k1＝－，k2＝－， 则k1k2＝－·＝≠－1， ∴l1与l2不垂直． 综上，当m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1. 解法二：由题意，得 解得 ∴当m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1. 一、选择题 1．若过点P(1，4)和Q(a，3a＋2)的直线与直线2x－y－3＝0平行，则a的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　B 解析　∵直线2x－y－3＝0的斜率为2，∴kPQ＝2，易知a≠1，又＝＝2，得a＝0.故选B. 2．若直线ax＋y－1＝0与直线4x＋(a－3)y－2＝0垂直，则实数a的值为(　　) A．－1 B．4 C. D．－ 答案　C 解析　由4a＋(a－3)＝0得a＝.故选C. 3．下列直线与直线x－y－1＝0平行的是(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．ax－ay－a＝0(a≠0) D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝0(a≠0) 答案　B 解析　由1×1＋1×(－1)＝0，得直线x＋y－1＝0与直线x－y－1＝0垂直，A不符合题意；由1×(－1)－(－1)×1＝0且1×1－(－1)×1＝2≠0，得直线x－y＋1＝0与直线x－y－1＝0平行，B符合题意；当a≠0时，直线ax－ay－a＝0，即a(x－y－1)＝0与直线x－y－1＝0重合，C，D不符合题意．故选B. 4．若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为，则直线l的方程为(　　) A．2x＋3y＋6＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y＋6＝0 D．3x＋2y－3＝0 答案　B 解析　设直线l的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，令x＝0，则在y轴上的截距为b＝－；令y＝0，则在x轴上的截距为a＝－.由a＋b＝－－＝，得λ＝－1，所以直线l的方程为2x＋3y－1＝0. 5．(多选)已知A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，则下列四个结论正确的是(　　) A．AB∥CD B．AB⊥AD C．AB⊥BD D．AC⊥BD 答案　ABD 解析　由题意，得kAB＝－，kAD＝，kCD＝－，kAC＝，kBD＝－4，∴kAB＝kCD，kAB·kAD＝－1，kAC·kBD＝－1.∴AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BD，∴A，B，D正确；又kAB·kBD≠－1，∴C错误．故选ABD. 二、填空题 6．已知△ABC的顶点分别为A(1，1)，B(2，3)，C(4，－1)，则BC边上的高所在直线的方程为________． 答案　x－2y＋1＝0 解析　∵kBC＝＝－2，∴BC边上的高所在直线的斜率为.又点A在此直线上，∴BC边上的高所在直线的方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0. 7．过点(－3，2)且与直线y－1＝(x＋5)平行的直线方程的点斜式是________． 答案　y－2＝(x＋3) 解析　∵所求直线与y－1＝(x＋5)平行，∴所求直线的斜率为，又所求直线过点(－3，2)，∴所求直线方程的点斜式为y－2＝(x＋3)． 8．已知两直线方程l1：mx＋2y＋8＝0和l2：x＋my＋3＝0，当m＝________时，两直线平行；当m＝________时，两直线垂直． 答案　±　0 解析　当m＝0时，l1与l2显然不平行；当m≠0时，l1的斜率k1＝－，在y轴上的截距b1＝－4，l2的斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝－.∵l1∥l2，∴k1＝k2，且b1≠b2，即－＝－，且－4≠－，∴m＝±.综上可知，当m＝±时，两直线平行．当m＝0时，l1显然与l2垂直；当m≠0时，l1的斜率为k1＝－，l2的斜率为k2＝－.∵l1⊥l2，∴－·＝－1，此时无解．综上可知，当m＝0时，两直线垂直． 三、解答题 9．已知直线l1：(m－2)x＋2y＋m－2＝0，l2：2x＋(m－2)y＋3＝0，当m为何值时，满足下列条件： (1)l1∥l2；(2)l1⊥l2. 解　(1)由A1B2－A2B1＝0，得(m－2)(m－2)－2×2＝0，则m＝0或m＝4. 当m＝0时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3＝0，此时l1∥l2； 当m＝4时，两直线方程分别为2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0，此时l1∥l2. 故当m＝0或m＝4时，l1∥l2. (2)由A1A2＋B1B2＝0，得(m－2)×2＋2×(m－2)＝0，则m＝2. 故当m＝2时，l1⊥l2. 10．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程． (1)l′与l平行且过点(－1，3)； (2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形的面积为4. 解　(1)解法一：直线l：3x＋4y－12＝0的斜率为kl＝－， 又l′∥l，所以kl′＝kl＝－. 所以直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0. 解法二：设直线l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)，点(－1，3)在直线l′上，所以3×(－1)＋4×3＋m＝0，解得m＝－9， 所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0. (2)解法一：因为l′⊥l，所以kl′＝. 设l′在y轴上的截距为b，则直线l′的方程为y＝x＋b，l′在x轴上的截距为－b. 由题意可知，S＝|b|·＝4， 解得b＝±. 所以直线l′的方程为y＝x＋或y＝x－，即4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0. 解法二：设直线l′的方程为4x－3y＋m＝0，则l′在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为，由题意可知S＝·＝4，解得m＝±4， 所以直线l′的方程为4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0. 1．在一个矩形花园ABCD内需要铺两条笔直的小路，已知|AD|＝5 m，|AB|＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直？ 解　以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(如图所示)，由|AD|＝5 m，|AB|＝3 m， 可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)． 设点M的坐标为(x，0)， ∵AC⊥DM，由图可知直线AC，DM的斜率都存在，∴kAC·kDM＝－1， 即·＝－1，解得x＝. 即|BM|＝ m时，两条小路AC与DM互相垂直． 2．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状． 解　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝， kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－. 所以kAB＝kCD， 由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD， 由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行． 又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$