4.1相交线 2.垂线导学案2024-2025学年华东师大版数学七年级上册

4.1.2 垂线 学案 班级 姓名 组别 总分 【学习目标】 1.了解垂直、垂线的概念，会用符号表示两条直线互相垂直。 2.掌握垂线的基本事实；能用三角尺和量角器过一点画已知直线的垂线. 3.了解垂线段的概念及垂线段最短的性质，理解点到直线距离的意义，能度量点到直线的距离。 【学习过程】 问题导入 1.如图，直线AB和CD相交，如果∠1=50°，则∠AOD=______，∠2=________. 2.若∠1＝90°，则∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？此时直线AB和CD是什么位置关系？ 任务一：垂线的有关知识 1.垂线的定义 当两条直线AB、CD所构成的四个角中有一个是 时，其他三个角也都为 ，此时，直线AB、CD互相垂直. 其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 . 记作： （或 ）. 符号语言 判定：∵ ， ∴ . 性质：∵ ， ∴ 例1 如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=45°，求∠COE的度数. 【即时测评】 1. 如图，点O在直线CD上，OA⊥OB于点O，若∠AOD=3∠BOD，则∠AOC的度数为 （　　） A．105° B．125° C．110.5° D．112.5° 第1题图 第2题图 2. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，若∠COB=35°，则∠DOE的度数为______． 2.垂线的画法 问题:(1)已知直线l，画出它的垂线，能画几条? (2)过直线l上的一点A画l的垂线，能画几条? (3)过直线l外的一点B画l的垂线，能画几条? 你能总结出过一点画已知直线的垂线的步骤吗？ 作图步骤：1._____；2._____；3._____；4._____. 3.基本事实：同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直. 4.线段的垂直平分线： 对于线段的垂线，有一种特殊且重要的情况，如图，直线CD经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，像这样垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线(又称为中垂线)。 符号语言：∵ CD是AB的垂直平分线，∴ OA=OB，CD⊥AB. 【要点归纳】线段的垂直平分线中包含了位置关系（垂直）和数量关系（平分）. 【即时测评】 3. 如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．已知直线的垂线只有一条 4. 下列说法正确的是（　　） A．线段的垂直平分线是一条线段 B．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 C．线段的垂直平分线是垂直于该线段且过该线段中点的直线 D．线段的垂直平分线有无数条 评价任务一 得分： 任务二：垂线段及点到直线的距离 1.垂线段的定义：从直线外一点向已知直线作垂线时，这一点与 之间的 叫做垂线段. 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短. 3.从直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的距离。 【概念辨析】1.区分“垂线段”和“点到直线的距离”； 2.区分“垂线段最短”和“两点之间线段最短”. 【即时测评】 5. 如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　） A．经过两点有且只有一条直线 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 第5题图 第6题图 6. 如图，AC⊥BC，AC=6，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离可能是（　　） A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5 7. 下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC的距离的是（　　） A B C D 评价任务二 得分： 自我反思： 一节课的学习中，你收获了什么？ 当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.） 1. 下列语句叙述正确的有（　　） A．相等的角是对顶角 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 2.如图，CD⊥AB，∠C=90°，则线段AC，BC，CD中最短的是（ ） A. AC B. BC C. CD D. 不能确定 3.如图，下列说法正确的是（ ） A.线段AB的长度叫做点 B到直线 AC的距离 B.线段AB的长度叫做点 A到直线 AC的距离 C.线段BD的长度叫做点 D到直线 BC的距离 D.线段BD的长度叫做点 B到直线 AC的距离 第2题图 第3题图 第4题图 4. 如图，已知直线 AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是 . 5.如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小； (2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明根据． 6. 如图所示，直线AB，CD，EF都相交于O点，AB⊥CD，∠EOD＝128°，求∠BOF和∠AOF的度数． 参考答案 即时测评 1. D 2. 55° 3.C 4.C 5.C 6.D 7.D 当堂训练 1. B 2. C 3. D 4.垂直 5. 解：(1)如图，连接AD，BC，交于点H，则H点为蓄水池 的位置，它到四个村庄距离之和最小． (2)如图，过点H作HG⊥EF，垂足为G，则沿HG开渠最短．根据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 6.解：∵ AB⊥CD，∴ ∠AOD=∠DOB=90°. ∴ ∠AOE=∠EOD﹣∠AOD=128°﹣90°=38°， ∴ ∠AOF=180°﹣∠AOE=180°﹣38°=142°. ∵ ∠BOF与∠AOE是对顶角，∴ ∠BOF=∠AOE=38°. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$