2.3.4 圆与圆的位置关系-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 选择性必修·第一册[RJ] 2．3．4　圆与圆的位置关系 (教师独具内容) 课程标准：能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系． 教学重点：圆与圆的五种位置关系及其判定方法． 教学难点：用坐标法探求圆与圆的位置关系的过程． 核心素养：通过根据给定的两圆的方程判断圆与圆的位置关系及利用圆与圆的位置关系解决一些简单问题培养直观想象素养、数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 知识点二　圆与圆位置关系的判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离　 d>r1＋r2 外切　 d＝r1＋r2 相交　 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切　 d＝|r1－r2| 内含　 d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 [点拨]　(1)圆与圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； (2)圆与圆相交，两圆有两个公共点； (3)圆与圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切． [拓展]　两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线．两圆的公切线有如图所示的五种情况： (1)外离时，有4条公切线； (2)外切时，有3条公切线； (3)相交时，有2条公切线； (4)内切时，有1条公切线； (5)内含时，无公切线． 1．(圆与圆内切)圆O1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是(　　) A．外离 B．内含 C．外切 D．内切 答案　D 2．(圆与圆外离)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与圆C2的位置关系是(　　) A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 答案　D 3．(圆与圆外切)两圆x2＋y2＝r2与(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r＝(　　) A． B．5 C． D．2 答案　C 4．(圆与圆相交)(2024·北师大实验中学高二期中)已知两圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0和C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为________． 答案　2x＋1＝0 题型一　圆与圆位置关系的判定　合作研习 　(2024·广州荔湾区高二期中)已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． [解]　圆C1，C2的方程经配方后，得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1． ∴|C1C2|＝＝a． (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 感悟提升 判断两圆位置关系的方法 (1)几何法：判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤 ①化成圆的标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆圆心的距离d； ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． (2)代数法：判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果． [跟踪训练1]　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0． (1)当m＝1时，判断圆C1与圆C2的位置关系； (2)是否存在实数m，使得圆C1与圆C2内含？ 解　(1)当m＝1时，圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9， 则C1(1，－2)，半径r1＝3， 圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1， 则C2(－1，0)，半径r2＝1， ∴两圆的圆心距d＝＝2， 又r1＋r2＝4，r1－r2＝2，∴r1－r2<d<r1＋r2， 故圆C1与圆C2相交． (2)不存在．理由如下： 圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9， 则C1(m，－2)，半径r1＝3， 而C2(－1，0)，半径r2＝1． 假设存在实数m，使得圆C1与圆C2内含， 则圆心距d＝<3－1， 即(m＋1)2<0，此不等式无解． 故不存在实数m，使得圆C1与圆C2内含． 题型二　两圆相交的公共弦问题　合作研习　　 　求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长． [解]　联立两圆的方程得方程组 两式相减得x－2y＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程． 解法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组 解得或 所以|AB|＝＝2， 即公共弦长为2． 解法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3． 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2， 即50＝(3)2＋l2，解得l＝， 故公共弦长2l＝2． 【结论探究】本例若求公共弦所在直线被圆(x－3)2＋(y－1)2＝9所截的弦长，如何求解？ 解　由例2可知公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0， ∴圆心C(3，1)到公共弦所在直线的距离为 d＝＝． ∴所求弦长为2＝4． 感悟提升 1．两圆相交时，公共弦所在直线的方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0． 感悟提升 2．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，在一个圆中利用圆的半径、弦长的一半、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． [跟踪训练2]　已知圆C的圆心为(2，1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程． 解　设圆C的半径为r， 则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2， 即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2， 圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0， 因为该直线过点(5，－2)，所以5＋2×(－2)－5＋r2＝0，解得r2＝4， 则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4． 题型三　圆系方程问题　师生共研 　求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0与圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程． [解]　解法一：联立两圆的方程，得 相减并化简，得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0． 由 解得或 即两圆的交点坐标分别为(－1，2)，(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径， ∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)， 半径为＝5． ∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25． 解法二：由解法一可知公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0． 设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)． 可求得圆心C． ∵圆心C在公共弦所在直线上， ∴4·＋3·－2＝0，解得λ＝． ∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0． 感悟提升 圆系方程 (1)过两已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2x＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆圆心连线垂直的直线． (2)过直线与圆交点的圆系方程 设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程． [跟踪训练3]　求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： (1)过原点；(2)有最小面积． 解　设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0， 即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0． (1)∵此圆过原点，∴1＋4λ＝0， ∴λ＝－， 故所求圆的方程为x2＋y2＋x－y＝0． (2)将圆系方程化为标准方程得(x＋1＋λ)2＋＝＋． 要使其面积最小，则圆的半径取最小值，此时λ＝． ∴满足条件的圆的方程为＋＝． 1．(2024·赣州全南中学高二期中)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．外离 D．不确定 答案　C 解析　圆C1：x2＋y2＝1的半径r1＝1，圆心C1(0，0)，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的半径r2＝2，圆心C2(3，4)，两圆心的距离d＝＝5，因为d>r1＋r2，所以两圆外离．故选C． 2．圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2与圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的公切线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　C 解析　圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2，圆心为O1(1，－1)，半径r＝，圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2，圆心为O2(－1，1)，半径R＝，∵两圆心距离为|O1O2|＝＝2＝r＋R，∴两圆外切，有3条公切线．故选C． 3．(多选)(2024·大连二十四中高二期中)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　) A．公共弦AB所在直线方程为x＋y＝0 B．线段AB中垂线方程为x＋y－1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为＋1 答案　BD 解析　圆O1：(x－1)2＋y2＝1的圆心为O1(1，0)，半径r1＝1，圆O2：(x＋1)2＋(y－2)2＝5的圆心为O2(－1，2)，半径r2＝，显然|O1O2|＝2∈(r2－r1，r2＋r1)，即圆O1与圆O2相交．对于A，将方程x2＋y2－2x＝0与x2＋y2＋2x－4y＝0相减，得公共弦AB所在直线的方程为4x－4y＝0，即x－y＝0，A错误；对于B，由A知，线段AB的斜率kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，而线段AB中垂线过点O1(1，0)，于是线段AB中垂线方程为y－0＝－1×(x－1)，即x＋y－1＝0，B正确；对于C，点O1(1，0)到直线x－y＝0的距离为d＝＝，因此|AB|＝2＝2＝，C错误；对于D，点P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离为d＝，因此点P到直线AB距离的最大值为d＋r1＝＋1，D正确．故选BD． 4．(2024·江淮十校联考期末)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2＋25(r∈N＋)，M(－1，0)，N(1，0)，若以线段MN为直径的圆与圆C有公共点，则r的值可能为________．(写出一个即可) 答案　1(答案不唯一) 解析　由题意得，圆x2＋y2＝1与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2＋25有公共点，∴－1≤≤＋1，∴且r>0，解得0<r≤，又r∈N＋，故r＝1，2，3均可． 5．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为__________，最大值为________． 答案　1　5 解析　如图，x轴与圆O交于P1，P2，与圆C交于Q1，Q2，当P在P1处，Q在Q1处时，|PQ|最小，为|P1Q1|＝|OC|－1－1＝1．当P在P2处，Q在Q2处时，|PQ|最大，为|P2Q2|＝|OC|＋1＋1＝5． 一、选择题 1．(2024·北京十五中高二期中)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，则圆C1与圆C2的位置关系为(　　) A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 答案　B 解析　由圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，得圆心为(2，3)，半径r1＝2，由圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，得圆心为(－1，－1)，半径r2＝3，则两圆的圆心距为＝5＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切．故选B． 2．(2024·本溪高中高二期中)已知圆C的半径为2，圆心在直线l：y＝x＋5上，点A(－3，0)，B(3，0)．若圆C上存在点P，使得·＝0，则圆心C的横坐标a的取值范围为(　　) A．[－3，－2] B． C． D．[－5，0] 答案　D 解析　依题意得圆心C(a，a＋5)，则圆C：(x－a)2＋(y－a－5)2＝4，设P(x，y)，则＝(－3－x，－y)，＝(3－x，－y)，由·＝0，得x2－9＋y2＝0，即x2＋y2＝9，依题意即圆C与圆x2＋y2＝9有交点，则3－2≤≤3＋2，解得－5≤a≤0，即圆心C的横坐标a的取值范围为[－5，0]．故选D． 3．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是(　　) A．x2＋y2＝2 B．(x－2)2＋(y－2)2＝2 C．＋＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1 答案　B 解析　将已知圆的方程化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6，6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5．过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆 心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径为．设C2的坐标为(x0，x0)，则＝，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心C2的坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2．故选B． 4．(多选)(2024·辽宁朝阳建平县实验中学高二期末)已知⊙C1：x2＋y2＝1与⊙C2：(x－3cosθ)2＋(y－3sinθ)2＝4，则下列说法正确的是(　　) A．⊙C1与⊙C2有2条公切线 B．当θ＝时，直线x＋y－＝0是⊙C1与⊙C2的公切线 C．若M，N分别是⊙C1与⊙C2上的动点，则|MN|的最大值是3 D．过点C1作⊙C2的两条切线，切点分别是P，Q，则四边形C1PC2Q的面积是2 答案　BD 解析　由题意知⊙C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，⊙C2的圆心C2(3cosθ，3sinθ)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝＝3＝r1＋r2，所以⊙C1与⊙C2外切，有3条公切线，A错误；当θ＝时，点C1到直线x＋y－＝0的距离d1＝＝1＝r1，即⊙C1：x2＋y2＝1与直线相切．点C2到直线x＋y－＝0的距离d2＝＝2＝r2，即⊙C2：(x－3cosθ)2＋(y－3sinθ)2＝4与直线相切，所以直线x＋y－＝0是⊙C1与⊙C2的公切线，B正确；由于⊙C1与⊙C2外切，故|MN|的最大值为|C1C2|＋r1＋r2＝3＋1＋2＝6，C错误；连接C2P，C2Q，则C2P⊥C1P，C2Q⊥C1Q，根据勾股定理可得|C1P|＝|C1Q|＝＝＝，所以四边形C1PC2Q的面积S＝2S△C1PC2＝2××|C1P|×|C2P|＝2，D正确．故选BD． 5．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，下列结论正确的是(　　) A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2 C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b 答案　ABC 解析　圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0．两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的坐标代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2．两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A，B正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D不正确．故选ABC． 二、填空题 6．(2024·辽宁朝阳建平县实验中学高二期中)已知圆C1：x2＋y2－2x－2y＝0，圆C2：x2＋y2－mx－ny＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则m＋n＝________． 答案　4 解析　圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心为C1(1，1)，半径为r＝，将两圆方程作差可得(m－2)x＋(n－2)y＝0，因为圆C2平分圆C1的周长，则这两圆相交，且相交弦所在直线的方程为(m－2)x＋(n－2)y＝0，由题意可知，直线(m－2)x＋(n－2)y＝0过圆心C1(1，1)，所以m－2＋n－2＝0，解得m＋n＝4． 7．(2024·淄博第六中学高二月考)已知圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝4，圆N：x2＋(y－1)2＝9，从下面表格中抽取一组数值，能使圆M，N内切，则可以取的标号为________． 标号 ① ② ③ a －3 2 0 b －3 1 0 答案　③ 解析　圆M的圆心为M(a，b)，半径为2，圆N的圆心为N(0，1)，半径为3，因为圆M，N内切，则|MN|＝＝3－2＝1，即a2＋(b－1)2＝1．对于①，a2＋(b－1)2＝(－3)2＋(－3－1)2>1，①不满足题意；对于②，a2＋(b－1)2＝22＋(1－1)2>1，②不满足题意；对于③，a2＋(b－1)2＝02＋(0－1)2＝1，③满足题意． 8．(2024·德州高二期中)已知圆C1：x2＋y2－4kx＋2y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过点P，则点P的坐标为________，|PC1|2＋|PC2|2的最小值为________． 答案　　 解析　由圆C1：x2＋y2－4kx＋2y＋1＝0，圆C2：x2＋y2＋2ky－1＝0，可得2kx－y＋ky－1＝0，即k(2x＋y)＋(－y－1)＝0，所以解得所以点P．又C1(2k，－1)，C2(0，－k)，则|PC1|2＋|PC2|2＝＋＋(－1＋k)2＝5k2－4k＋＝5＋，所以当k＝时，|PC1|2＋|PC2|2取最小值为，经检验，当k＝时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意． 三、解答题 9．(2024·广陵区校级期中)已知圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0． (1)求证：圆C1与圆C2相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过两圆交点，且圆心在直线x＋y－6＝0上的圆的方程． 解　(1)证明：圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝16， ∴C2(－1，－1)，r＝4． ∵圆C1：x2＋y2＝10的圆心坐标为(0，0)，半径为R＝， ∴|C1C2|＝， ∵4－<<4＋， ∴圆C1与圆C2相交． (2)将两圆方程相减，可得2x＋2y－4＝0，即两圆公共弦所在直线的方程为x＋y－2＝0． (3)设所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋2y－14＋λ(x2＋y2－10)＝0(λ≠－1)， 即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋2x＋2y－14－10λ＝0， ∴圆心坐标为， 代入直线x＋y－6＝0可得，－－－6＝0， ∴λ＝－， ∴所求圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋2＝0． 10．(2024·兰州外国语高级中学高二期中)圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2，1)． (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求公切线的方程； (2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程． 解　(1)圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心坐标为(0，－1)，半径为2， 圆O2的圆心为O2(2，1)， 圆心距为＝2，因为圆O2与圆O1外切， 所以圆O2的半径为2－2， 所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8， 两圆方程相减，即得两圆公切线的方程为x＋y＋1－2＝0． (2)圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2． 所以圆O1到直线AB的距离为＝， 又|O1O2|＝2，所以O2到直线AB的距离为或3． 当O2到直线AB的距离为时， 圆O2的半径为＝2， 圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4； 当O2到直线AB的距离为3时， 圆O2的半径为＝2， 圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20． 综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20． 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)． (1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程． 解　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25， 所以圆心M(6，7)，半径为5． (1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)． 因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7， 于是圆N的半径为y0， 从而7－y0＝5＋y0， 解得y0＝1． 因此圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1． (2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2． 设直线l的方程为y＝2x＋m， 即2x－y＋m＝0， 则圆心M到直线l的距离d＝＝． 因为|BC|＝|OA|＝＝2， 而|MC|2＝d2＋， 所以25＝＋5， 解得m＝5或m＝－15． 故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0． 2．(2024·辽宁实验中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点M(4，－1)，且与圆D：x2＋y2－x－6y＋a＝0相切于点N(1，2)． (1)求圆C的方程； (2)圆D上是否存在点P，使得|PO|2＋|PC|2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由． 解　(1)将点N(1，2)代入圆D的方程可得1＋4－1－12＋a＝0，解得a＝8， 即圆D：x2＋y2－x－6y＋8＝0，则圆心D． MN的中点坐标为 直线MN的斜率为＝－1， 所以线段MN的垂直平分线的方程为y－＝x－， 即y＝x－2． 直线DN的方程为y－2＝(x－1)，即y＝－2x＋4． 易知点C为线段MN的垂直平分线和直线DN的交点． 由得 即点C的坐标为(2，0)． 圆C的半径为|NC|＝＝． 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝5． (2)由(1)可知，C(2，0)，圆D的圆心D，半径r＝， 设P(x，y)，因为|PO|2＋|PC|2＝12，即x2＋y2＋(x－2)2＋y2＝12，整理得(x－1)2＋y2＝5， 可知点P在以Q(1，0)为圆心，R＝为半径的圆上， 且|DQ|＝∈＝(R－r，R＋r)，可知圆D与圆Q的位置关系为相交，两圆有2个公共点，所以圆D上存在2个点P，使得|PO|2＋|PC|2＝12． 16 学科网（北京）股份有限公司 $$