2.2.3 第2课时 两条直线的垂直-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 选择性必修·第一册[RJ] 第2课时　两条直线的垂直 (教师独具内容) 课程标准：能根据斜率判定两条直线垂直． 教学重点：两条直线垂直的条件． 教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题． 核心素养：通过推导两条直线垂直的充要条件及利用两条直线的垂直关系解决问题培养数学抽象素养和数学运算素养． 知识点　两条直线的垂直 (1)一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，可得l1⊥l2⇔k1k2＝－1． (2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，所以l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔A1A2＋B1B2＝0． [提醒]　(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2． (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． [拓展]　常用对称的特例 (1)A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)． (2)B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)． (3)C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)． (4)D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)． (5)P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)． (6)Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a，2n－b)． 1．(由两直线垂直求参数)若直线ax＋2y－1＝0与直线2ax－2y＋1＝0垂直，则a的值为(　　) A．0或 B．－ C．±2 D．± 答案　D 2．(利用垂直关系求直线方程)直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是(　　) A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 答案　A 3．(判断两直线的位置关系)已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2经过点A(0，5)，B(，2)，则直线l1与直线l2的位置关系为________． 答案　垂直 题型一　两条直线垂直的判定　合作研习 　判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)l1：y＝－3x＋2，l2：y＝x＋5； (2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5； (3)l1：y＝2023，l2：x＝2024． [解]　(1)∵直线l1，l2的斜率分别为－3，，－3×＝－1，∴l1⊥l2． (2)解法一：∵直线l1，l2的斜率分别为－，，－×＝－1，∴l1⊥l2． 解法二：由两直线方程可得它们的法向量分别为n1＝(4，3)，n2＝(3，－4)． 因为n1·n2＝0，∴l1⊥l2． (3)l1的斜率为0，l2的斜率不存在，∴l1⊥l2． 感悟提升 判断两条直线是否垂直的方法 (1)在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． (2)若两条直线的法向量互相垂直，则这两条直线也垂直． [跟踪训练1]　(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　) A．l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B．l1的斜率为－，l2过点P(1，1)，Q C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2) D．l1过点M(1，0)，N(4，－5)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3) 答案　ABD 解析　对于A，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两条直线垂直；对于B，l2过点P(1，1)，Q，kPQ＝，故两条直线垂直；对于C，kPQ＝，故l1不与l2垂直；对于D，l1过点M(1，0)，N(4，－5)，kMN＝－，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3)，kPQ＝，故两条直线垂直． 题型二　利用垂直关系求直线方程　合作研习 　求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． [解]　解法一：联立l1，l2的方程解得 所以交点P(0，2)． 设过点P与l3垂直的直线方程为4x＋3y＋C＝0， 代入点P坐标，得4×0＋3×2＋C＝0， ∴C＝－6． ∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0． 解法二：由解法一知，l1与l2的交点P(0，2)， ∵直线l与l3垂直， ∴kl＝－＝－， ∴直线l的方程为y－2＝－x， 即4x＋3y－6＝0． 解法三：设过l1，l2交点的直线方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，① ∵l与l3：3x－4y＋5＝0垂直， ∴3(λ＋1)－4(λ－2)＝0， ∴λ＝11，代入①式得4x＋3y－6＝0， 即直线l的方程为4x＋3y－6＝0． 感悟提升 利用垂直关系求直线方程的方法 (1)求与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程时，可设直线方程为y＝－x＋m，代入已知条件求出参数m即可． (2)求与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程时，可设直线方程为Bx－Ay＋m＝0，代入已知条件求出参数m即可． 注意：对于斜率为0及不存在的情形要单独讨论． [跟踪训练2]　求过点P(1，－1)且与直线2x＋3y＋10＝0垂直的直线l的方程． 解　解法一：由直线2x＋3y＋10＝0得直线的斜率为k＝－，故所求直线的斜率k′＝－＝，由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋1＝(x－1)，即3x－2y－5＝0． 解法二：因为直线l与直线2x＋3y＋10＝0垂直，所以可设直线l的方程为3x－2y＋C＝0，又因为直线l过点P(1，－1)，所以3×1－2×(－1)＋C＝0，所以C＝－5． 所以直线l的方程为3x－2y－5＝0． 题型三　对称问题　合作研习 　(1)点关于线对称 (2024·荆州松滋一中高二月考)点P(2，0)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点Q的坐标为(　　) A．(－1，－3) B．(－1，－4) C．(4，1) D．(2，3) [解析]　设Q(a，b)为点P关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点，由题意可得解得可得Q(－1，－3)．故选A． [答案]　A (2)线关于点对称 与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　) A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0 [解析]　由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0．在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3，0)，(3，0)关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，∴C＝8．∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0． [答案]　D (3)点关于点对称 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． [解]　设l1与l的交点为A(a，8－2a)， 则由题意知，点A关于点P(0，1)的对称点B(－a，2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上， ∴由截距式得直线l的方程为＋＝1， 即x＋4y－4＝0． (4)线关于线对称 求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程． [解]　在直线m上取一点，如M(2，0)， 则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′的坐标为(a，b)，则 解得M′． 设直线m与直线l的交点为N， 则由得N(4，3)． 又m′经过点N(4，3)， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0． 感悟提升 有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称 ①点P(x，y)关于M(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①设点Q(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为Q′(m，n)， 则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． [跟踪训练3]　已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大． 解　(1)易知A，B两点在直线l的同侧． 设A关于直线l的对称点为A′(m，n)， 则解得 故A′(－2，8)． 因为P为直线l上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点， 解得 故所求点P的坐标为(－2，3)． (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点P即是直线AB与直线l的交点， 又直线AB的方程为y＝x－2， 解得 故所求点P的坐标为(12，10)． 题型四　平行与垂直的综合应用　师生共研 　已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． [解]　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得 kAB＝＝， kCD＝＝， kAD＝＝－3， kBC＝＝－． 所以kAB＝kCD， 由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD， 由kAD≠kBC，知AD与BC不平行． 又因为kABkAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD． 故四边形ABCD为直角梯形． 【条件探究】已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 解　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示， ∵kAB＝3，kBC＝0， ∴kABkBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． ①若CD是直角梯形的直角腰， 则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3． 又kAD＝kBC， ∴＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3)． ②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD＝，kCD＝， ∴·3＝－1，·＝－1． 即＝－，－·＝－1． 解得x＝，y＝，∴点D的坐标为． 综上可知，点D的坐标为(3，3)或． 感悟提升 平行与垂直在平面几何中的应用 (1)判定平面图形的形状：运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定． (2)由几何图形的形状求参数或点的坐标：根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形． [跟踪训练4]　在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明． 解　四边形OPQR是矩形．证明如下： OP边所在直线的斜率kOP＝t， QR边所在直线的斜率kQR＝＝t， OR边所在直线的斜率是kOR＝－， PQ边所在直线的斜率kPQ＝＝－， 所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ， 所以OP∥QR，OR∥PQ， 所以四边形OPQR是平行四边形． 又kQR·kOR＝t·＝－1， 所以QR⊥OR，所以四边形OPQR是矩形． 因为直线OQ的一个方向向量为＝(1－2t，2＋t)， 直线PR的一个方向向量是＝(－2t－1，2－t)， 而·＝(1－2t)(－2t－1)＋(2＋t)(2－t)＝3t2＋3>0， 所以OQ与PR不垂直，故四边形OPQR是矩形． 1．(2024·常州前黄高级中学高二月考)直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x－ay－1＝0的位置关系是(　　) A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 答案　A 解析　当a＝0时，直线l1：y－1＝0，直线l2：x－1＝0，此时两直线垂直；当a≠0时，直线l1的斜率k1＝－a，直线l2的斜率k2＝，因为k1·k2＝－1，则两直线垂直．综上，两直线的位置关系是垂直．故选A． 2．(2024·潍坊实验中学高二期中)已知直线l1：(m＋1)x＋y＋m＝0，l2：x＋(m＋1)y－2＝0，则下列结论正确的是(　　) A．若l1与l2相交，则m≠－2 B．若l1与l2平行，则m＝－2 C．若l1与l2垂直，则m＝－1 D．若l1与l2重合，则m＝0 答案　C 解析　当l1∥l2时，(m＋1)2－1＝0，解得m＝0或m＝－2．若m＝0，则l1：x＋y＝0，l2：x＋y－2＝0，此时l1∥l2；若m＝－2，则l1：－x＋y－2＝0，l2：x－y－2＝0，此时l1∥l2，综上可知，l1，l2不可能重合，故D错误；若l1与l2相交，则m≠－2且m≠0，故A错误；若l1∥l2，则m＝0或m＝－2，故B错误；若l1⊥l2，则有(m＋1)×1＋1×(m＋1)＝0，则m＝－1，故C正确．故选C． 3．(多选)(2024·邯郸魏县第五中学高二月考)满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是(　　) A．l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1 B．l1的斜率为－，l2经过点A(2，0)，B(3，) C．l1经过点P(2，1)，Q(－4，－5)，l2经过点M(－1，2)，N(1，0) D．l1的方向向量为(1，m)，l2的方向向量为 答案　BCD 解析　对于A，kl1＝tan45°＝1，k l2＝1，k l1·k l2≠－1，故A不符合题意；对于B，k l2＝＝，k l1·k l2＝－×＝－1，故B符合题意；对于C，k l1＝＝1，k l2＝＝－1，k l1·kl2＝－1，故C符合题意；对于D，因为(1，m)·＝1－1＝0，所以两直线的方向向量互相垂直，故l1⊥l2，故D符合题意．故选BCD． 4．(2024·北京铁路二中高二期中)设a∈R，已知直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0，当l1和l2垂直时，a＝________；当l1和l2平行时，a＝________． 答案　－　1或－2 解析　当l1⊥l2时，a＋2(a＋1)＝0，所以a＝－；当l1∥l2时，a(a＋1)－2＝0，所以a＝1或－2，经检验，a＝1或－2时两直线不重合． 5．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则点P的坐标是________． 答案　 解析　如图，点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，连接A′B，与直线x＋y＝0的交点就是所求的点P，直线A′B的方程为y＋3＝·(x－1)，即y＝x－，联立解得所以P． 一、选择题 1．已知直线x－2ay－1＝0与直线x－y－1＝0垂直，则实数a的值为(　　) A．2 B． C．－ D． 答案　C 解析　因为直线x－2ay－1＝0与直线x－y－1＝0垂直，所以1＋2a＝0，解得a＝－．故选C． 2．(2024·宁波镇海中学高二期中)直线l1，l2的斜率是方程x2－mx－1＝0的两个根，则(　　) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1与l2相交但不垂直 D．l1与l2的位置关系不确定 答案　B 解析　设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，依题意k1＋k2＝m，k1k2＝－1，所以l1⊥l2．故选B． 3．(2024·北京大兴高二期中)“a＝－1”是“直线l1：x－ay＋1＝0和直线l2：ax＋(a＋2)y＋1＝0(a∈R)垂直”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当直线l1：x－ay＋1＝0和直线l2：ax＋(a＋2)y＋1＝0(a∈R)垂直时，有1×a＋(－a)·(a＋2)＝0，即a2＋a＝0，解得a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“直线l1：x－ay＋1＝0和直线l2：ax＋(a＋2)y＋1＝0(a∈R)垂直”的充分不必要条件．故选A． 4．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于直线x＋y＝0对称，则a，b的值分别为(　　) A．－3，－9 B．3，－9 C．－9，3 D．9，－3 答案　C 解析　解法一：在直线ax＋3y－9＝0上取一点(0，3)，它关于直线x＋y＝0的对称点(－3，0)在直线x－3y＋b＝0上，∴b＝3，同理在直线x－3y＋3＝0上取一点(0，1)，它关于直线x＋y＝0的对称点(－1，0)在直线ax＋3y－9＝0上，∴a＝－9．故选C． 解法二：把(－y，－x)代入ax＋3y－9＝0，得－ay－3x－9＝0，即3x＋ay＋9＝0，它对应的直线与直线x－3y＋b＝0重合，∴＝＝，∴a＝－9，b＝3．故选C． 5．(多选)(2024·济南高二期中)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是(　　) A．若k1＝k2，则l1∥l2 B．若k1k2＝－1，则l1⊥l2 C．若α1＝α2，则l1∥l2 D．若α1＋α2＝π，则l1⊥l2 答案　ABC 解析　对于A，若两直线斜率k1＝k2，则l1∥l2，A正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若k1k2＝－1，则l1⊥l2，B正确；对于C，由两直线平行的条件可知，若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，C正确；对于D，若α1＋α2＝π，不妨取α1＝，α2＝，则k1＝tanα1＝，k2＝tanα2＝－，不满足k1k2＝－1，l1，l2不垂直，D错误．故选ABC． 二、填空题 6．(2024·北师大实验中学高二期中)经过点(3，a)，(－2，0)的直线与直线x－2y＋3＝0垂直，则a＝________． 答案　－10 解析　因为经过点(3，a)，(－2，0)的直线与直线x－2y＋3＝0垂直，则×＝－1，解得a＝－10． 7．(2024·烟台招远市第二中学高二月考)已知直线m的倾斜角为，直线l：kx＋y＝0，若l⊥m，则实数k的值为________． 答案　 解析　因为直线m的倾斜角为，所以直线m的斜率为k1＝tan＝，又直线l：kx＋y＝0的斜率为k2＝－k，因为l⊥m，所以k1·k2＝－k＝－1，解得k＝． 8．直线l：2x－y＋4＝0与x，y轴分别交于点A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为______________． 答案　x＋2y－3＝0 解析　直线l：2x－y＋4＝0与两坐标轴分别交于点A，B，由y＝0，得x＝－2，则A(－2，0)，由x＝0，得y＝4，则B(0，4)，线段AB的中点坐标为(－1，2)，由直线l：2x－y＋4＝0的斜率kAB＝2，得线段AB的垂直平分线的斜率k＝－，则线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x＋1)，整理得x＋2y－3＝0． 三、解答题 9．(2024·眉山高二期中)已知直线l1：(a－2)x＋(a－3)y＋1＝0，直线l2：5ax－(a＋4)y＋20＝0． (1)若l1∥l2，求实数a的值； (2)判断l1与l2是否可能垂直？若可能垂直，求实数a的值；若不可能垂直，请说明理由． 解　(1)若l1∥l2，则(a－3)×5a＋(a－2)(a＋4)＝0， 整理，得6a2－13a－8＝(2a＋1)(3a－8)＝0，解得a＝－或a＝． 当a＝－时，直线l1：－x－y＋1＝0，直线l2：－x－y＋20＝0，符合题意； 当a＝时，直线l1：x－y＋1＝0，直线l2：x－y＋20＝0，l1，l2重合，不符合题意． 故a＝－． (2)若l1⊥l2，则5a(a－2)－(a－3)(a＋4)＝0，整理，得4a2－11a＋12＝0， 因为Δ＝(－11)2－4×4×12<0， 所以方程4a2－11a＋12＝0无解，故l1与l2不可能垂直． 10．(2024·沈阳法库县高级中学高二联考)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且|BD|＝|BC|，|CE|＝|CA|，AD，BE相交于点P．求证：AP⊥CP． 证明　以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设等边三角形ABC的边长为6，则B(－3，0)，C(3，0)，A(0，3)，E(2，)，D(－1，0)， ∵kAD＝＝3， ∴直线AD的方程为y－0＝3(x＋1)，即y＝3x＋3，　① ∵kBE＝＝， ∴直线BE的方程为y－0＝(x＋3)， 即y＝(x＋3)，　② 联立①②解得x＝－，y＝， 则P， ∵kAP＝kAD＝3，kCP＝＝－， ∴kAP·kCP＝－1，∴AP⊥CP． 1．已知△ABC的顶点A(5，1)，M为边AB的中点，BH⊥AC于点H，直线CM的方程为2x－y－5＝0，直线BH的方程为x－2y－5＝0． (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的方程． 解　(1)因为直线BH的方程为x－2y－5＝0， 所以直线BH的斜率为，所以直线AC的斜率为－2． 又直线AC过点A(5，1)，故直线AC的方程为y－1＝－2(x－5)，即2x＋y－11＝0． 由得顶点C的坐标为(4，3)． (2)设B(a，b)，则M在直线2x－y－5＝0上，所以a＋5－－5＝0， 即2a－b－1＝0． 又点B在直线x－2y－5＝0上， 所以a－2b－5＝0． 由解得 即B(－1，－3)． 于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0． 2．已知A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0． (1)求直线l关于点A的对称直线l1的方程； (2)若光线沿直线2x－y－3＝0照射到直线l上后反射，求反射光线所在的直线l2的方程． 解　(1)设直线l1上任意一点的坐标为(x，y)， 则(x，y)关于点A(2，－3)的对称点(4－x，－6－y)在直线l上， 所以4－x－(－6－y)＋1＝0， 即x－y－11＝0， 所以直线l1的方程为x－y－11＝0． (2)联立解得 所求直线过点(4，5)， 取直线2x－y－3＝0上的一点(0，－3)， 设(0，－3)关于直线l的对称点为(a，b)， 则解得 所以所求直线过点(4，5)和(－4，1)，反射光线所在的直线l2的方程为＝，即x－2y＋6＝0． 16 学科网（北京）股份有限公司 $$