1.2.5 空间中的距离-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 选择性必修·第一册[RJ] 1．2．5　空间中的距离 (教师独具内容) 课程标准：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 教学重点：几种距离的求法． 教学难点：用向量方法求空间距离． 核心素养：通过对空间中两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及相互平行的平面与平面之间的距离的学习培养数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长． 知识点二　点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离．点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度． [想一想]　如何用向量法求点到直线的距离？ 提示：如图，若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝，点P到直线l的距离也可以表示为d＝＝，其中l是直线l的一个方向向量． 知识点三　点到平面的距离 (1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离．点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度． (2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝． [点拨]　由于＝n0为平面的一个单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段的方向向量的数量积的绝对值，即d＝|·n0|． 知识点四　相互平行的直线与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离． (2)如图，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝． 知识点五　相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． (2)一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长． 　 (3)如图，如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量)，A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为d＝． [想一想]　几种距离之间有什么关系？ 提示： 1．(线面间的距离)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　) A． B．2 C． D． 答案　A 2．(两点间的距离)已知＝(2，1，1)，＝(1，3，1)，则点A，B之间的距离为________． 答案　 3．(点到直线的距离)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是________． 答案　 4．(点到平面的距离)设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________． 答案　 题型一　两点间的距离　合作研习 　如图，正方形ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，点M在AC上，点N在BF上．若CM＝BN＝，求MN的长． [解]　解法一：建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(1，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1)， ∵CM＝BN＝，且四边形ABCD，ABEF为正方形， ∴M，N， ∴＝， ∴||＝＝，即MN＝． 解法二：以，，为基向量， ∵CM＝BN＝， ∴＝，＝． ∴＝＋＝－＋＋＝－＋＋＝－(＋)＋＋(－)＝－＋， ∴||2＝2＋2＝， ∴||＝，即MN＝． 感悟提升 向量法求两点间距离的两种方法 (1)坐标法：建立适当的空间直角坐标系，写出对应点的坐标，利用两点间的距离公式或对应向量的长度求解． (2)基向量法：确定基向量，用基向量表示出所求线段对应的向量，结合基向量的模和夹角求出对应向量的长度即可． [跟踪训练1]　如图所示，在120°的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长． 解　∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴·＝0，·＝0， 又二面角α－AB－β的平面角为120°， ∴〈，〉＝60°， ∴CD2＝||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝3×62＋2×62×cos60°＝144， ∴CD＝12． 题型二　点到直线的距离　师生共研 　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． [解]　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1)，＝(1，0，－2)． ∴||＝＝， ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， ∴＝， ∴点A到直线EF的距离 d＝＝＝． 感悟提升 向量法求点到直线的距离的步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长度； (4)利用勾股定理求点到直线的距离． 注意：平行直线间的距离可转化为点到直线的距离进行求解． [跟踪训练2]　(2024·福建师大附中高二期中)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，G为AB的中点，AB＝BE＝2． (1)求证：EG∥平面AFD； (2)求点D到直线EG的距离． 解　(1)证明：取AD的中点M，连接FM，MG，OD，正方形ABCD的中心为O，则B，O，D共线，又G为线段AB的中点， 则MG∥BD，MG＝OB， ∵四边形OBEF为矩形，则EF∥OB，EF＝OB， ∴EF∥MG，EF＝MG， ∴四边形EFMG为平行四边形， ∴EG∥FM，而FM⊂平面AFD，EG⊄平面AFD， ∴EG∥平面AFD． (2)连接ED． ∵四边形OBEF为矩形， ∴EB⊥BO，又平面OBEF⊥平面ABCD，平面OBEF∩平面ABCD＝BO，EB⊂平面OBEF， ∴EB⊥平面ABCD，故以B为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则D(2，2，0)，G(0，1，0)，E(0，0，2)，＝(2，2，－2)，＝(0，1，－2)， 直线EG的单位方向向量e＝＝(0，1，－2)＝，∴·e＝， ∴点D到直线EG的距离 d＝＝＝． 题型三　点到平面的距离　师生共研 　(2024·德化第八中学高二月考)已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥平面ABCD，M为PD的中点，PA＝AD＝1． (1)求证：平面MAC⊥平面PCD； (2)求点P到平面MAC的距离． [解]　(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∴以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知可得A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)． ∵M为PD的中点，∴M， ∴＝，＝(－1，0，0)，＝(0，1，－1)， ∴·＝0，·＝0， ∴AM⊥CD，AM⊥PD， ∵PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD， ∴AM⊥平面PCD， 又AM⊂平面MAC， ∴平面MAC⊥平面PCD． (2)由(1)知＝(1，1，0)，设平面MAC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 令x＝1，则y＝－1，z＝1， ∴n＝(1，－1，1)，＝(0，0，－1)， 设点P到平面MAC的距离为d， 则d＝＝＝， ∴点P到平面MAC的距离为． 感悟提升 向量法求点到平面的距离的步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求出该平面的一个法向量； (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量； (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离． [跟踪训练3]　在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2． (1)求证：A1C∥平面AB1D； (2)求点C1到平面AB1D的距离． 解　(1)证明：如图，以D为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，C(1，0，0)，B1(－1，0，2)，A1(0，，2)，A(0，，0)，C1(1，0，2)，＝(1，－，－2)，＝(－1，－，2)，＝(0，－，0)． 设平面AB1D的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，则y＝0，x＝2，∴n＝(2，0，1)． ∵·n＝1×2＋(－)×0＋(－2)×1＝0，∴⊥n． ∵A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D． (2)由(1)知平面AB1D的一个法向量为n＝(2，0，1)，且＝(－1，，－2)， ∴点C1到平面AB1D的距离d＝＝＝． 题型四　相互平行的直线与平面之间的距离　师生共研 　在棱长为a的正方体AC1中，E，F分别是BB1，CC1的中点． (1)求证：DA∥平面A1EFD1； (2)求直线DA与平面A1EFD1的距离． [解]　(1)证明：如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz． 因为＝(a，0，0)，＝(a，0，0)， 所以DA∥D1A1，而D1A1⊂平面A1EFD1，DA⊄平面A1EFD1， 所以DA∥平面A1EFD1． (2)由(1)得D1(0，0，a)，F， 所以＝，＝． 设n＝(x，y，z)是平面A1EFD1的一个法向量， 则 取z＝2，得n＝(0，1，2)． 所以直线DA与平面A1EFD1的距离 d＝＝＝a． 感悟提升 求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． [跟踪训练4]　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E，F分别在A1B，B1D1上，且A1E＝A1B，B1F＝B1D1． (1)求证：EF∥平面ABC1D1； (2)求EF与平面ABC1D1的距离． 解　(1)证明：如图，以B为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Bxyz，易得E，F， 故＝，＝(a，0，0)，＝(0，a，a)． 设n＝(x，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量， 由得 令z＝1，得n＝(0，－1，1)． 因为·n＝0－a＋a＝0，所以⊥n， 又EF⊄平面ABC1D1，故EF∥平面ABC1D1． (2)由(1)得＝， 所以·n＝0＋0＋a＝a， 所以EF与平面ABC1D1的距离d＝＝a． 题型五　两平行平面间的距离　师生共研 　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝2． (1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1； (2)求平面A1BC1与平面ACD1的距离． [解]　(1)证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵AB＝3，BC＝4，CC1＝2， ∴A(4，0，0)，A1(4，0，2)，B(4，3，0)，C(0，3，0)，C1(0，3，2)，D1(0，0，2)． ∴＝(－4，3，0)，＝(－4，0，2)， ＝(－4，3，0)，＝(－4，0，2)， ∴＝，＝， ∴AC∥A1C1，AD1∥BC1， 又AC∩AD1＝A，A1C1∩BC1＝C1， ∴平面A1BC1∥平面ACD1． (2)∵平面A1BC1∥平面ACD1， ∴点A到平面A1BC1的距离即为两个平面间的距离． 设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有即 令z＝6，得x＝3，y＝4， 则平面A1BC1的一个法向量为n＝(3，4，6)， ∴点A到平面A1BC1的距离为 d1＝＝＝． 故平面A1BC1与平面ACD1的距离为． 感悟提升 求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． [跟踪训练5]　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，BB1的中点． (1)求证：平面A1DC1∥平面EFG； (2)求平面A1DC1与平面EFG间的距离． 解　(1)证明：连接AC．∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC． ∵AA1綊CC1， ∴四边形ACC1A1是平行四边形， ∴A1C1∥AC，∴EF∥A1C1， 又A1C1⊂平面A1DC1，EF⊄平面A1DC1， ∴EF∥平面A1DC1， 同理，连接AB1，可得EG∥AB1∥DC1，可得EG∥平面A1DC1， ∵EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面A1DC1∥平面EFG． (2)连接A1E，如图，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz． 则A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，∴＝(2，0，2)，＝(0，2，2)，＝(0，1，－2)， 设平面A1DC1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，得n＝(1，1，－1)， 则平面A1DC1与平面EFG间的距离为＝＝． 1．在平面直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为(　　) A． B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′，则||＝3，||＝2，||＝5．又＝＋＋，所以||2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，即||＝2． 2．(2024·临沂高二期中)已知过坐标原点的直线l的方向向量u＝(1，1，1)，则点P(1，2，3)到直线l的距离是(　　) A．2 B． C． D． 答案　D 解析　由题意可知，在直线l上的投影的模为＝＝2，所以点P(1，2，3)到直线l的距离d＝＝．故点P(1，2，3)到直线l的距离是．故选D． 3．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法正确的是(　　) A．点B1到直线BE的距离为 B．点O到平面ABC1D1的距离为 C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 答案　BCD 解析　如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E，所以＝(0，0，1)，＝．设∠B1BE＝θ，则cosθ＝＝，sinθ＝＝，故B1到直线BE的距离d1＝||sinθ＝1×＝，故A错误；易知＝＝，平面ABC1D1的一个法向量＝(0，－1，1)，则点O到平面ABC1D1的距离d2＝＝＝，故B正确；＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)．设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1)．所以点D1到平面A1BD的距离d3＝＝＝．因为平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为，故C正确；因为＝＋＋，所以＝，又＝(1，0，0)，则＝，所以点P到直线AB的距离d4＝＝＝，故D正确．故选BCD． 4．(2024·合肥八中高二质检)如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是________． 答案　 解析　因为B1C1∥BC，BC⊂平面A1BCD1，B1C1⊄平面A1BCD1，所以B1C1∥平面A1BCD1，所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离等于点B1到平面A1BCD1的距离．以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，12，0)，D1(0，0，5)．设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，则＝(－x，0，0)，＝(0，－12，5)．设平面A1BCD1的一个法向量为n＝(a，b，c)，则即所以可取n＝(0，5，12)．又＝(0，0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝，所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为． 一、选择题 1．已知三棱锥O－ABC，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为(　　) A． B． C． D．3 答案　B 解析　以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，∴＝(－1，2，0)，＝(0，－2，2)，||＝＝，＝．∴点A到直线BC的距离d＝＝． 2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到平面α的距离为，则z＝(　　) A．16 B．－4 C．4或－16 D．－4或16 答案　C 解析　由点A(－1，3，0)在平面α内，点P(－2，1，z)，可得＝(－1，－2，z)，因为平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，且点P(－2，1，z)到平面α的距离为，所以＝，即＝，解得z＝4或z＝－16．故选C． 3．(2024·银川第二中学高二月考)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　∵AE∥FC1，FC1⊄平面AB1E，AE⊂平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，因此直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离．如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．则A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，E，＝，＝(0，1，1)，＝(1，0，0)．设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝2，则n＝(1，－2，2)．设点C1到平面AB1E的距离为d，则d＝＝，故直线FC1到平面AB1E的距离为．故选D． 4．如图，在大小为60°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B．2 C．1 D． 答案　A 解析　由题意，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，故BF⊥EF，CF⊥EF，可得∠BFC为二面角A－EF－D的平面角，故∠BFC＝60°．又ED∥CF，故异面直线BF与ED所成的角也为60°，∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝||2＋||2＋||2＋2||||cos90°＋2||||·cos90°＋2||||cos120°＝1＋1＋1－1＝2，∴||＝．故选A． 5．(多选)如图所示，在直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥DC，BD＝DC＝1，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝C1F＝AA1＝，则(　　) A．C1E的长为 B．点D到直线EC1的距离为 C．点B到平面EDC1的距离为 D．直线D1F与平面BDE之间的距离为 答案　ACD 解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，0，0)，C1(0，1，2)，D1(0，0，2)，E，F．对于A，∵＝，∴C1E＝||＝＝，A正确；对于B，∵＝，＝(0，1，2)，∴＝，∴点D到直线EC1的距离为＝，B错误；对于C，∵＝(0，1，2)，＝．设平面EDC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，则解得∴n＝，又＝(1，0，0)，∴点B到平面EDC1的距离为＝＝，C正确；对于D，∵＝，＝，即＝，∴D1F∥BE，又D1F⊄平面BDE，∴D1F∥平面BDE．又＝(1，0，0)，设平面BDE的一个法向量为m＝(a，b，c)，则令c＝2，则m＝(0，1，2)，∵＝(0，0，2)，∴点D1到平面BDE的距离为＝＝，即直线D1F与平面BDE之间的距离为，D正确．故选ACD． 二、填空题 6．我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”．空间直角坐标系xOy中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0．根据上述知识解决问题：现有一三脚架(三条脚架可看作三条边，它们的交点为顶点)放于桌面，建立适当的空间直角坐标系xOy，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面α的方程为x－2y＋z＝0，若三脚架顶点Q的坐标为(0，2，3)，则点Q到平面α的距离为________． 答案　 解析　平面α的方程为x－2y＋z＝0，取P(0，0，0)，则平面的一个法向量为n＝(1，－2，1)，＝(0，2，3)，则点Q到平面α的距离为＝＝． 7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________． 答案　 解析　如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则平面ACD1的一个法向量为n＝(1，1，1)，∵M，A(1，0，0)，∴＝，∴点M到平面ACD1的距离为d＝＝＝．又＝，MN⊄平面ACD1，∴MN∥平面ACD1，故直线MN到平面ACD1的距离也为． 8．(2024·顺义牛栏山一中高二期中)《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵ABC－A1B1C1中，若AC＝BC＝1，AA1＝1，点P是直线AC1上的动点，则点P到直线BB1的最短距离是________． 答案　1 解析　如图，以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，且＝(－1，0，1)，＝(0，0，1)．因为点P是直线AC1上的动点，设点P(x，0，z)，则＝λ(0≤λ≤1)，即(x－1，0，z)＝λ(－1，0，1)，可得x＝1－λ，z＝λ，即P(1－λ，0，λ)，＝(1－λ，－1，λ)，则点P到直线BB1的距离是＝＝，则当λ＝1时，点P到直线BB1的最短距离是1． 三、解答题 9．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1． (1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离． 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，设F(0，0，z)． 易知截面AEC1F为平行四边形， ∴由＝，得(－2，0，z)＝(－2，0，2)， ∴z＝2．∴F(0，0，2)．∴＝(－2，－4，2)． 于是||＝2，即BF的长为2． (2)设n1为平面AEC1F的一个法向量， 显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y，1)． 由(1)得＝(0，4，1)，＝(－2，0，2)， 由得∴ ∴n1＝． 又＝(0，0，3)， ∴点C到平面AEC1F的距离为 d＝＝＝． 10．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离． 解　如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)， ∴＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)， ∴＝，＝， ∴EF∥MN，AM∥BF， 又EF∩BF＝F，MN∩AM＝M， ∴平面AMN∥平面EFBD． 设n＝(x，y，z)是平面AMN的一个法向量， ∴解得 取z＝1，得n＝(2，－2，1)， 由于＝(0，4，0)， ∴＝＝． ∴平面AMN与平面EFBD间的距离为． 1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，求： (1)点A1到直线BD的距离； (2)点A1到平面BDC1的距离； (3)异面直线BD与CD1之间的距离． 解　(1)连接A1B，以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，因为AD＝AA1＝1，AB＝2，则B(1，2，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，2，1)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)， 所以＝(－1，－2，0)，＝(0，2，－1)， 所以 ＝ ＝， 又||＝＝， 所以点A1到直线BD的距离 d1＝＝． (2)由(1)知＝(－1，－2，0)，＝(0，2，1)，＝(0，2，－1)， 设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 取y＝1，可得x＝－2，z＝－2， 则n＝(－2，1，－2)， 所以 ＝＝， 所以点A1到平面BDC1的距离为． (3)连接A1D，由(1)知＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)， 所以∥，所以CD1∥BA1， 又CD1⊄平面A1BD，BA1⊂平面A1BD， 所以CD1∥平面A1BD，所以异面直线BD与CD1之间的距离与点C到平面A1BD的距离相等， 设平面A1BD的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则所以 取y1＝1，可得x1＝－2，z1＝2，所以m＝(－2，1，2)， 又＝(0，－2，0)， 所以点C到平面A1BD的距离为＝＝，故异面直线BD与CD1之间的距离为． 2．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，E，F，G分别为线段PA，PD，CD的中点． (1)求异面直线EG与BD所成角的余弦值； (2)在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰好为？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由． 解　(1)以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则E(0，0，1)，G(1，2，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，＝(1，2，－1)，＝(－2，2，0)． 设异面直线EG与BD所成的角为θ， 则cosθ＝＝＝． (2)假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q(x0，2，0)，0≤x0≤2． 因为A(0，0，0)，E(0，0，1)，F(0，1，1)， 所以＝(0，1，0)，＝(x0，2，－1)，＝(0，0，－1)， 设平面EFQ的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则由得 取x＝1，得y＝0，z＝x0，所以n＝(1，0，x0)， 则＝＝， 又x0>0，解得x0＝，所以点Q， 又C(2，2，0)，所以＝， 则||＝，所以在线段CD上存在一点Q满足条件，且线段CQ的长度为． 26 学科网（北京）股份有限公司 $$