1.1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 选择性必修·第一册[RJ] 1．1．3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标及运算 (教师独具内容) 课程标准：1．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量线性运算的坐标表示．3．掌握空间向量的数量积的坐标表示． 教学重点：1．空间向量坐标的定义．2．空间向量运算的坐标表示． 教学难点：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角问题． 核心素养：1．通过学习空间向量坐标的定义培养数学抽象素养．2．通过利用空间向量的坐标运算解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　空间中向量的坐标 (1)单位正交基底 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底． (2)向量的单位正交分解 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解． (3)向量的坐标 如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量． [提醒]　(1)单位正交基底是两两互相垂直且长度为1的向量，即e1·e1＝e2·e2＝e3·e3＝1，e1·e2＝e2·e3＝e3·e1＝0． (2)只有在单位正交基底下的分解才是空间向量的坐标，其他基底下的分解不是向量的坐标．空间中任一向量的坐标是唯一的． 知识点二　空间向量的运算与坐标的关系 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)a＝b⇔x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2； (2)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (3)ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)(其中u，v是实数)； (4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； (5)|a|＝＝； (6)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝． 知识点三　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔．当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔＝＝； (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． [想一想]　(1)向量平行的条件是a≠0，那么可以b＝0吗？ 提示：可以b＝0，因为规定零向量与任意向量平行，那么此时λ＝0． (2)a⊥b需要a，b都为非零向量吗？ 提示：不需要，因为一旦a，b其中有一个为零向量，且约定零向量与任意向量都垂直，所以还是可以推出a·b＝0；若a，b都为零向量，同样可以推出a·b＝0． 1．(空间中向量的坐标)若{e1，e2，e3}是单位正交基底，已知p＝e1＋2e2－e3，则向量p的坐标为________． 答案　(1，2，－1) 2．(空间向量的运算与坐标的关系)已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，－3，0)，c＝(7，－2，1)，则a＋b＋c＝________． 答案　(5，－3，6) 3．(空间向量的坐标与空间向量的夹角)已知a＝(0，3，3)，b＝(－1，1，0)，则两向量的夹角的大小为________． 答案　60° 4．(空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________． 答案　 题型一　空间向量的坐标表示　合作研习 　(1)已知{i，j，k}是单位正交基底，且＝－i＋j－k，则的坐标为(　　) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．(1，－1，1) [解析]　根据空间向量坐标的定义，知＝(－1，1，－1)．故选A． [答案]　A (2)(2024·广水市第二高级中学高二期中)设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，12，10) D．(4，3，2) [解析]　∵p＝8a＋6b＋4c，a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，∴p＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10)．故选A． [答案]　A 感悟提升 若i，j，k为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，有序实数组(x，y，z)使得p＝xi＋yj＋zk，我们把x，y，z称为向量p在单位正交基底{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)． [跟踪训练1]　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{，，}为单位正交基底，则的坐标为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　连接AB1，DC1，因为M是AD1的中点，N是B1D1的中点，所以＝＝＝(＋)＝0·＋＋，所以在{，，}下的坐标为．故选C． 题型二　空间向量的坐标运算　合作研习 　(1)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)． [解]　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2)． 2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·(0，1，－4) ＝(4，－2，－4)·(0，1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14． a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2，0，－6)， ∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6) ＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8． (2)已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，若c＝e1＋xe2－e3，且(a＋c)·b＋a·c＝4，求x的值． [解]　由题意，得a＝(3，2，－1)，b＝(－1，0，3)，c＝(1，x，－1)，则(a＋c)·b＝(4，2＋x，－2)·(－1，0，3)＝－4＋0－6＝－10，a·c＝(3，2，－1)·(1，x，－1)＝3＋2x＋1＝4＋2x，故－10＋4＋2x＝4，解得x＝5． 感悟提升 空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 先将空间向量用坐标表示，再准确运用空间向量坐标运算公式计算． (2)求参数问题 写出向量的坐标形式，根据题中条件建立方程(组)，解方程(组)即可求出参数． [跟踪训练2]　已知a＝(2，－4，1)，b＝(3，2，0)． 求：(1)a－b；(2)2a＋b；(3)－3b；(4)a·(a－b)． 解　(1)a－b＝(2，－4，1)－(3，2，0)＝(－1，－6，1)． (2)2a＋b＝2(2，－4，1)＋(3，2，0)＝(7，－6，2)． (3)－3b＝－3(3，2，0)＝(－9，－6，0)． (4)因为a－b＝(－1，－6，1)， 所以a·(a－b)＝2×(－1)＋(－4)×(－6)＋1×1＝23． 题型三　空间向量的模和夹角的计算　师生共研 　(1)若向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则|a＋b|＝(　　) A． B．2 C．3 D． [解析]　由题意，知a＋b＝(1，－1，2)＋(2，1，－3)＝(3，0，－1)．所以|a＋b|＝＝．故选D． [答案]　D (2)已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° [解析]　a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，又|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，所以〈a，c〉＝120°． [答案]　C 感悟提升 1．求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y，z)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2＋z2，于是有|a|＝． 2．利用数量积求两向量夹角的步骤 [跟踪训练3]　已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)． 求：(1)|a＋b－2c|； (2)cos〈a－b，b－c〉． 解　(1)a＋b－2c＝(2，－3，1)＋(2，0，3)－2(0，2，2)＝(2，－3，1)＋(2，0，3)－(0，4，4)＝(4，－7，0)． ∴|a＋b－2c|＝＝． (2)a－b＝(0，－3，－2)，b－c＝(2，－2，1)， ∴|a－b|＝，|b－c|＝3， (a－b)·(b－c)＝0＋(－3)×(－2)＋(－2)×1＝4． ∴cos〈a－b，b－c〉＝＝＝． 题型四　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直　师生共研 　已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)． (1)若|c|＝3，d＝b－a，且c∥d，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k． [解]　(1)设c＝λd， ∵d＝b－a＝(－2，－1，2)， ∴c＝(－2λ，－λ，2λ)， ∴|c|＝＝3|λ|＝3， 解得λ＝±1． ∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． (2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)， ∴ka＋b＝(k－1，k，2)， ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－． 感悟提升 解决空间向量平行与垂直问题的策略 (1)适当引入参数，建立关于参数的方程． (2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的． (3)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则根据两向量坐标是否满足x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1(λ∈R，x1y1z1≠0)或＝＝(x1y1z1≠0)判断这两个向量是否平行；根据两向量坐标是否满足x1x2＋y1y2＋z1z2＝0判断这两个向量是否垂直． [跟踪训练4]　设向量a＝(1，x，1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值． (1)a∥b；(2)a⊥b． 解　(1)①当x＝0时，a＝(1，0，1)，b＝(1，0，1)，a＝b，满足a∥b； ②当x＝1时，a＝(1，1，0)，b＝(0，－3，2)，不满足a∥b，∴x≠1； ③当x≠0，且x≠1时，由a∥b， 得＝＝， 则解得x＝2． 综上所述，当x＝0或x＝2时，a∥b． (2)a⊥b⇔a·b＝0，∴(1，x，1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0，即1－x2－3x2＋1－x2＝0， 解得x＝±． ∴当x＝±时，a⊥b． 1．已知向量a＝(1，－2，1)，a＋b＝(3，－6，3)，则b＝(　　) A．(2，－4，2) B．(－2，4，2) C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3) 答案　A 解析　b＝(a＋b)－a＝(3，－6，3)－(1，－2，1)＝(2，－4，2)．故选A． 2．(2024·郑州外国语学校高二阶段练习)已知向量p在基底{a＋b，b＋c，c＋a}下的坐标为(0，2，1)，则p在基底{a，b，c}下的坐标为(　　) A．(0，1，2) B．(1，2，3) C．(1，3，2) D．(3，2，1) 答案　B 解析　由向量p在基底{a＋b，b＋c，c＋a}下的坐标为(0，2，1)，得p＝0×(a＋b)＋2(b＋c)＋(c＋a)＝a＋2b＋3c，所以p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)．故选B． 3．已知向量a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|＝(　　) A．3 B．2 C． D．5 答案　A 解析　∵a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋2(3，1，0)＝(1＋2＋6，0＋1＋2，1－1＋0)＝(9，3，0)，∴|a－b＋2c|＝＝3． 4．(多选)已知向量a＝(1，－1，m)，b＝(－2，m－1，2)，则下列结论中正确的是(　　) A．若|a|＝2，则m＝± B．若a⊥b，则m＝－1 C．不存在实数λ，使得a＝λb D．若a·b＝－1，则a＋b＝(－1，－2，－2) 答案　AC 解析　∵a＝(1，－1，m)，∴|a|＝＝2，解得m＝±，故A正确；若a⊥b，则－2×1＋(m－1)×(－1)＋2m＝0，解得m＝1，故B错误；假设存在实数λ，使得a＝λb，则(1，－1，m)＝λ(－2，m－1，2)，∴此方程组无解，故C正确；若a·b＝－1，则－2－(m－1)＋2m＝－1，解得m＝0，∴a＋b＝(1，－1，0)＋(－2，－1，2)＝(－1，－2，2)，故D错误．故选AC． 5．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＝________，y＝________． 答案　　－4 解析　因为a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝，y＝－4． 一、选择题 1．(多选)(2024·枣庄八中高二期中)已知向量a＝(1，1，0)，则与a共线的单位向量有(　　) A． B．(0，1，0) C． D． 答案　AD 解析　|a|＝＝，则与a共线的单位向量为或－，其中＝＝，－＝．故选AD． 2．(2024·遵义高二期中)已知向量a＝(x，2，3)，b＝(3，－4，－3)，若(a＋b)⊥a，则x＝(　　) A．－4 B．4 C．－4或1 D．4或－1 答案　C 解析　因为(a＋b)⊥a，所以a2＋a·b＝x2＋13＋3x－17＝0，解得x＝－4或1．故选C． 3．(2024·大连第十二中学高二月考)已知a＝(－3，m，1)，b＝，若a∥b，则＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　A 解析　由a∥b且b≠0，得存在实数λ使得a＝λb，即可得方程组解得因此＝．故选A． 4．(2024·青岛第一中学高二月考)已知向量{a，b，c}是空间向量的一组基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间向量的另外一组基底，若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则p＝a－2b＋3c，设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以解得所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为．故选A． 5．(多选)已知a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则(　　) A．a与b的夹角为锐角 B．a＋b与a－b互相垂直 C．|a＋b|＝|a－b| D．以a，b为邻边的平行四边形的面积为 答案　ABD 解析　对于A，a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则|a|＝|b|＝3，a·b＝2×2－1×2＋2×1＝4，∵≠≠，∴a与b不共线，又cos〈a，b〉＝＝>0，故a与b的夹角为锐角，故A正确；对于B，∵a＋b＝(4，1，3)，a－b＝(0，－3，1)，则(a＋b)·(a－b)＝4×0＋1×(－3)＋3×1＝0，∴a＋b与a－b互相垂直，故B正确；对于C，|a＋b|＝＝，|a－b|＝＝，即|a＋b|≠|a－b|，故C错误；对于D，∵〈a，b〉∈(0，π)，∴sin〈a，b〉＝＝，故以a，b为邻边的平行四边形的面积为2××3×3×＝，故D正确．故选ABD． 二、填空题 6．(2024·郑州外国语学校高二月考)已知向量a＝(2，3，2)，b＝(1，1，0)，则a在b上的投影的坐标为________． 答案　 解析　a在b上的投影的数量为＝＝，因为|b|＝＝，所以b同方向的单位向量为＝，所以a在b上的投影的坐标为＝． 7．(2024·北京市第十二中学高二期中)已知向量a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，c＝(x，4，z)，且a，b，c共面，在以下三个条件中①x＝1；②x＝0；③x＝－2选取一个作为已知，则z的值可以为________． 答案　－22或－12或8(只需写出一个) 解析　因为a，b，c共面，所以由共面向量定理可知，c＝λa＋μb，选①x＝1，则(1，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，故解得z＝－22；选②x＝0，则(0，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，故解得z＝－12；选③x＝－2，则(－2，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，故解得z＝8．综上所述，z的值可以为－22或－12或8． 8．(2024·福建师大二附中高二月考)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若向量a＋kb与2a＋b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是________． 答案　∪ 解析　因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以a＋kb＝(1－k，1，2k)，2a＋b＝(1，2，2)，因为向量a＋kb与2a＋b的夹角为锐角，所以(a＋kb)·(2a＋b)＝1－k＋2＋4k＝3k＋3>0，解得k>－1，而当(a＋kb)∥(2a＋b)时，＝＝，解得k＝，所以实数k的取值范围为∪． 三、解答题 9．(2024·烟台莱州一中高二月考)已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c．求： (1)a，b，c； (2)a与b＋c所成角的余弦值． 解　(1)因为a∥b，a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，显然y＝0不满足要求， 故＝＝，解得x＝2，y＝－4，所以a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)， 又b⊥c，所以b·c＝0，即－2×3－4×(－2)－z＝0，解得z＝2，因此c＝(3，－2，2)． (2)由(1)得b＋c＝(－2，－4，－1)＋(3，－2，2)＝(－2＋3，－4－2，－1＋2)＝(1，－6，1)， 所以|a|＝＝， |b＋c|＝＝＝， 又a·(b＋c)＝(2，4，1)·(1，－6，1)＝－21， 因此cos〈a，b＋c〉＝＝＝－． 10．(2024·西安中学高二期中)已知向量a＝(1，3，2)，b＝(－2，1，4)，c＝(5，1，x)． (1)若a⊥c，求实数x的值； (2)求|2a－b|； (3)若a，b，c不能构成空间向量的一组基底，求实数x的值． 解　(1)因为a⊥c，所以a·c＝0，即5＋3＋2x＝0，所以x＝－4． (2)因为a＝(1，3，2)，b＝(－2，1，4)，所以2a－b＝2(1，3，2)－(－2，1，4)＝(4，5，0)， 所以|2a－b|＝＝． (3)若a，b，c不能构成空间向量的一组基底，则c与a，b共面， 故存在唯一的实数对(m，n)，使得c＝ma＋nb，即(5，1，x)＝m(1，3，2)＋n(－2，1，4)＝(m－2n，3m＋n，2m＋4n)，所以解得 1．(2024·北京市第一六一中学高二月考)已知向量a＝(m，2，6)，b＝(1，0，2)，c＝(1，，2)(m∈R)． (1)求a·(b－c)的值； (2)求cos〈b，c〉； (3)求|a－b|的最小值． 解　(1)因为b＝(1，0，2)，c＝(1，，2)， 所以b－c＝(0，－，0)， 又因为a＝(m，2，6)， 所以a·(b－c)＝2×(－)＝－6． (2)因为b＝(1，0，2)，c＝(1，，2)， 所以cos〈b，c〉＝＝＝． (3)因为a＝(m，2，6)，b＝(1，0，2)， 所以a－b＝(m－1，2，4)， 所以|a－b|2＝(m－1)2＋(2)2＋42＝(m－1)2＋28， 当m＝1时，|a－b|2取得最小值28，则|a－b|的最小值为2． 2．已知向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，定义两个空间向量a与b之间的距离为d(a，b)＝|bi－ai|． (1)若a＝(1，2，3)，b＝(4，1，1)，c＝，证明：d(a，b)＋d(b，c)＝d(a，c)； (2)已知c＝(c1，c2，c3)，证明：若∃λ>0，使b－a＝λ(c－b)，则d(a，b)＋d(b，c)＝d(a，c)． 证明　(1)∵a＝(1，2，3)，b＝(4，1，1)，c＝， ∴d(a，b)＝3＋1＋2＝6，d(b，c)＝＋＋1＝3，d(a，c)＝＋＋3＝9， ∴d(a，b)＋d(b，c)＝d(a，c)． (2)∵∃λ>0，使b－a＝λ(c－b)， ∴∃λ>0，使得(b1－a1，b2－a2，b3－a3)＝λ(c1－b1，c2－b2，c3－b3)， 即∃λ>0，使得bi－ai＝λ(ci－bi)，其中i＝1，2，3， ∴bi－ai与ci－bi(i＝1，2，3)同为非负数或同为负数． ∴d(a，b)＋d(b，c)＝|bi－ai|＋|ci－bi| ＝ (|bi－ai|＋|ci－bi|)＝|ci－ai| ＝d(a，c)， 即d(a，b)＋d(b，c)＝d(a，c)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$