2.6.1 双曲线的标准方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第二章 平面解析几何 2.6 双曲线及其方程 2.6.1　双曲线的标准方程 (教师独具内容) 课程标准：1．了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界中的作用．2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 教学重点：双曲线的定义及标准方程． 教学难点：双曲线标准方程的推导． 核心素养：通过学习双曲线的定义和双曲线标准方程的推导过程培养数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养． 目录 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 核心概念掌握 目录 < ||PF1|－|PF2||＝2a 焦点 焦距 * 知识点一　双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2aeq \x(\s\up1(01))_____|F1F2|，则平面上满足eq \x(\s\up1(02))____________________的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的eq \x(\s\up1(03))_____，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的eq \x(\s\up1(04))_______． 目录 (±c，0) (0，±c) * 知识点二　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \x(\s\up1(01))___________________ eq \x(\s\up1(02))___________________ 焦点坐标 eq \x(\s\up1(03))_______________ eq \x(\s\up1(04))_____________ a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 目录 * [点拨]　(1)在双曲线的标准方程中，c2＝a2＋b2，c>a>0，其中c最大，a，b的大小关系可能为a＝b，a<b，a>b，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”． (2)方程中的两个参数a与b，确定双曲线的形状和大小，是双曲线的定量条件，焦点F1，F2的位置，是双曲线的定位条件，它决定双曲线标准方程的类型． (3)方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件：ABC≠0，且AB<0．若AC>0，则焦点在x轴上；若AC<0，则焦点在y轴上． 目录 答案 * 1．(双曲线的定义)已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 目录 {m|m>0或m<－1} 答案 * 2．(双曲线定义的应用)(2024·德州高二期中)若eq \f(x2,m)－eq \f(y2,m＋1)＝1为双曲线，则m的取值范围为___________________________． 目录 答案 * 3．(双曲线的标准方程)(2024·北京顺义高二期中)已知某双曲线的一个焦点为F(－5，0)，且2b＝8，则双曲线的标准方程为__________________． eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 核心素养形成 目录 答案 解析 * 题型一　双曲线的定义　自主研习 A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 解析　当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线． 目录 感悟提升 双曲线的定义中应注意的三个问题 (1)注意定义中的条件2a<|F1F2|不可缺少．若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；若2a>|F1F2|，则动点的轨迹不存在． (2)注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数．若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线． (3)注意定义中的关键词“绝对值”．若去掉定义中的“绝对值”，则动点的轨迹只能是双曲线的一支． * 目录 答案 解析 * [跟踪训练1]　已知动点P(x，y)满足eq \r(（x＋2）2＋y2)－eq \r(（x－2）2＋y2)＝2，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 解析　eq \r(（x＋2）2＋y2)－eq \r(（x－2）2＋y2)＝2表示动点P(x，y)到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差等于2，2<|F1F2|＝4，由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线的右支． 目录 答案 * 题型二　求双曲线的标准方程　合作研习 A．eq \f(y2,36)－eq \f(x2,64)＝1 B．eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1 C．eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1或eq \f(y2,36)－eq \f(x2,64)＝1 目录 解析 * 解析　在双曲线的标准方程中，a＝6，b＝8，当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是eq \f(y2,36)－eq \f(x2,64)＝1．所以双曲线的标准方程是eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1或eq \f(y2,36)－eq \f(x2,64)＝1．故选D． 目录 答案 解析 * (2)(2024·连云港高二期末)经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，2\r(3)))且焦点为(0，－5)，(0，5)的双曲线的标准方程是____________． eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1 解析　双曲线的焦点在y轴上，且c＝5，因为双曲线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，2\r(3)))，根据双曲线的定义得2a＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))\s\up12(2)＋（2\r(3)＋5）2)－\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))\s\up12(2)＋（2\r(3)－5）2)))＝6，所以a＝3，则b2＝c2－a2＝16，所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1． 目录 感悟提升 用待定系数法求双曲线的标准方程的一般步骤 * 目录 答案 解析 * [跟踪训练2]　(1)(2024·盐城新丰中学高二月考)若双曲线的焦点在x轴上，且a＋c＝9，b＝3，则双曲线的标准方程为____________． eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 解析　由a2＋b2＝c2，b＝3，a＋c＝9，解得c＝5，a＝4．所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1． 目录 答案 解析 * (2)(2024·哈尔滨第六中学高二期中)与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,5)＝1共焦点且过点(－3eq \r(2)，0)的双曲线的标准方程为____________． eq \f(x2,18)－eq \f(y2,2)＝1 解析　椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,5)＝1，其焦点坐标为F1(－2eq \r(5)，0)，F2(2eq \r(5)，0)，设所求双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝20，因为双曲线过点(－3eq \r(2)，0)，所以a＝3eq \r(2)，则a2＝18，b2＝2，故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,18)－eq \f(y2,2)＝1． 目录 答案 解析 * 题型三　双曲线的定义及标准方程的应用　师生共研 (x2,m－2)INCLUDEPICTURE"例3.TIF" INCLUDEPICTURE "例3.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(2024·滨海新区校级期中)“m>2”是“方程－eq \f(y2,m－1)＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　方程eq \f(x2,m－2)－eq \f(y2,m－1)＝1表示双曲线，则(m－2)(m－1)>0，解得m<1或m>2，所以“m>2”是“方程eq \f(x2,m－2)－eq \f(y2,m－1)＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A． 目录 * (2)如图，F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点． ①若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； ②若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 目录 解 * 解　因为双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq \r(a2＋b2)＝5． ①由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22． 由于c－a＝5－3＝2，10>2，22>2，故点M到另一个焦点的距离为10或22． ②将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100． 目录 解 * 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|) ＝eq \f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0， 所以∠F1PF2＝90°， 所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16． 目录 * 感悟提升 1．双曲线中的焦点三角形 双曲线上一点与双曲线的两个焦点构成的三角形称为焦点三角形，如本题中的△PF1F2． 2．求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体思想求出|PF1|·|PF2|的值； 目录 * ④利用公式S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积． (2)方法二：利用公式S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·|yP|(yP为点P的纵坐标)求得面积． 提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题时，要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系． 目录 解 * [跟踪训练3]　(1)若方程eq \f(x2,5－m)＋eq \f(y2,m2－2m－3)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围． 解　因为方程eq \f(x2,5－m)＋eq \f(y2,m2－2m－3)＝1表示焦点在y轴上的双曲线， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－m<0，,m2－2m－3>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>5，,m>3或m<－1，)) 所以m>5． 所以实数m的取值范围是(5，＋∞)． 目录 解 * 解　①由条件可知c＝eq \r(5)，2a＝4，∴b＝1， ∴双曲线C的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1． ②由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝±4， ∵|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝20， ∴|PF1|·|PF2|＝2， ∴△PF1F2的面积S＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×2＝1． (2)(2024·徐州高二期中)已知双曲线C的焦点坐标为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于4． ①求双曲线C的标准方程； ②若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积． 目录 * 题型四　利用双曲线的定义求轨迹方程　师生共研 (2)INCLUDEPICTURE"例4.TIF" INCLUDEPICTURE "例4.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指出它表示什么曲线． 目录 解 * 解　如图，以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)． 由正弦定理得sinA＝eq \f(|BC|,2R)， sinB＝eq \f(|AC|,2R)，sinC＝eq \f(|AB|,2R)． 因为2sinA＋sinC＝2sinB， 所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝eq \f(|AB|,2)． 目录 解 * 从而有|CA|－|CB|＝eq \f(1,2)|AB|＝2eq \r(2)<|AB|． 所以由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支且不包括点(eq \r(2)，0)． 因为a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，所以b2＝c2－a2＝6． 所以顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x>eq \r(2))． 故顶点C的轨迹为双曲线的右支且除去点(eq \r(2)，0)． 目录 感悟提升 利用双曲线的定义求轨迹方程的关键点与注意点 (1)关键点：由题中条件寻找几何关系，结合双曲线的定义得出对应的方程． (2)注意点：①准确确定双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹方程对应的是双曲线的一支还是两支；③标明曲线上点的坐标的限制范围并排除不符合题意的特殊点． * 目录 * [跟踪训练4]　如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 目录 解 * 解　∵圆F1：(x＋5)2＋y2＝1， ∴圆心为F1(－5，0)，半径r1＝1． ∵圆F2：(x－5)2＋y2＝42， ∴圆心为F2(5，0)，半径r2＝4． 设动圆M的半径为R， 则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4， ∴|MF2|－|MF1|＝3<|F1F2|＝10， ∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支， 且a＝eq \f(3,2)，c＝5，∴b＝eq \f(\r(91),2)， ∴动圆圆心M的轨迹方程为eq \f(4,9)x2－eq \f(4,91)y2＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2)))． 随堂水平达标 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 1．(2024·池州第一中学高二月考)若动点P(x，y)满足关系式eq \r(（x－3）2＋y2)－eq \r(（x＋3）2＋y2)＝4，则点P的轨迹是(　　) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 解析　设A(3，0)，B(－3，0)，则|AB|＝6．由已知可得，0<|PA|－|PB|＝4<|AB|，所以点P的轨迹是双曲线的左支．故选D． 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 2．(2024·十堰柳林中学高二质检)若点M在双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 解析　双曲线中a2＝16，则a＝4，由|MF1|＝3|MF2|，知点M在双曲线的右支上，又由双曲线的定义可得|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4．故选B． 目录 1 2 3 4 5 答案 * 3．(多选)(2024·日照高二期中)曲线C的方程为Ax2＋By2＝1，则下列命题正确的是(　　) A．若曲线C为双曲线，则AB<0 B．若曲线C为椭圆，则A>0，B>0且A≠B C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则B>A>0 目录 1 2 3 4 5 解析 * 解析　若曲线C是双曲线，则A，B一正一负，即AB<0，故A正确；因为曲线C：eq \f(x2,\f(1,A))＋eq \f(y2,\f(1,B))＝1，所以若曲线C是椭圆，则A>0，B>0且A≠B，故B正确；当A＝B>0时，曲线C：x2＋y2＝eq \f(1,A)表示圆心为(0，0)，半径为eq \r(\f(1,A))＝eq \f(\r(A),A)的圆，故C错误；若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，曲线C：eq \f(x2,\f(1,A))＋eq \f(y2,\f(1,B))＝1，则eq \f(1,A)>eq \f(1,B)>0，所以0<A<B，故D正确．故选ABD． 目录 1 2 3 4 5 x2－4y2＝1 答案 解析 * 4．(2024·承德部分高中高二联考)设P为双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为___________． 解析　设M(x，y)，P(x0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y，))又2,0)eq \f(x,4) －yeq \o\al(2,0)＝1，则eq \f(（2x）2,4)－(2y)2＝1，整理得x2－4y2＝1，即点M的轨迹方程为x2－4y2＝1． 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 5．(2024·广元中学高二月考)设双曲线与椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点A的纵坐标为4，则此双曲线的方程为_____________． eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1 解析　将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±eq \r(15)，4)，又两焦点分别为F1(0，3)，F2(0，－3)，所以2a＝|eq \r(（\r(15)－0）2＋（4＋3）2)－eq \r(（\r(15)－0）2＋（4－3）2)|＝8－4＝4，所以a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1． 课后课时精练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 一、选择题 1．(2024·平顶山汝州第二高级中学高二月考)如果双曲线eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一焦点F2的距离是(　　) A．6 B．12 C．16 D．22 解析　由题意得||PF1|－|PF2||＝2a＝16，又|PF1|＝6，所以|PF2|＝22． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 2．(2024·信宜第二中学高二月考)半径不等的两定圆O1，O2无公共点(O1，O2是两个不同的点)，动圆O与圆O1，O2都内切，则圆心O的轨迹是(　　) A．双曲线的一支 B．椭圆或圆 C．双曲线的一支或椭圆或圆 D．双曲线的一支或椭圆 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　两定圆O1，O2无公共点，则它们的位置关系是外离或内含．设两定圆O1，O2的半径分别为r1，r2(r1>r2)，圆O的半径为R．又圆O与圆O1，O2都内切，则当两圆O1，O2外离时，|OO1|＝R－r1，|OO2|＝R－r2，∴|OO2|－|OO1|＝r1－r2<|O1O2|，此时圆心O的轨迹是双曲线的一支；当两圆O1，O2内含时，|OO1|＝r1－R，|OO2|＝R－r2，∴|OO2|＋|OO1|＝r1－r2>|O1O2|，此时圆心O的轨迹是椭圆．故选D． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 3．已知方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－1，eq \r(3)) C．(0，3) D．(0，eq \r(3)) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　解法一：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c＝2，当焦点在x轴上时，可得c2＝4＝m2＋n＋3m2－n，解得m2＝1，∵方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，∴(m2＋n)(3m2－n)>0，可得(n＋1)(3－n)>0，解得－1<n<3，即n的取值范围是(－1，3)；当焦点在y轴上时，可得－4＝(m2＋n)＋(3m2－n)，解得m2＝－1，无解．故选A． 解法二：∵方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，则(m2＋n)(3m2－n)>0，∴－m2<n<3m2，∴m2＋n>0，3m2－n>0，∴c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2＝4，解得m2＝1，∴－1<n<3．故选A． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 4．已知双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,2)＝1，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且|AB|＝4，F1为双曲线下焦点，△ABF1的周长为18，则m的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．eq \f(25,4) 解析　由题意知|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝18，又|AB|＝4，所以|AF1|＋|BF1|＝14．根据双曲线的定义可知2a＝|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|，所以4a＝|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝14－4＝10，解得a＝eq \f(5,2)，所以m＝a2＝eq \f(25,4)．故选D． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 5．(2024·北京东城高二期末)地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km．根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km．据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为(　　) A．8 km B．6 km C．4 km D．2 km 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　设震中为P，依题意有|PB|－|PA|＝6<|AB|＝10，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，因为|PA|＋|PB|≥|AB|＝10，当且仅当A，P，B三点共线时，取等号，所以|PB|－6＋|PB|≥10，所以|PB|≥8，所以震中到地震台B站的距离至少为8 km．故选A． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 二、填空题 6．(2024·宁波镇海中学高二质检)已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0，4)，F2(0，－4)，P是双曲线上一点且||PF1|－|PF2||＝6，则双曲线的标准方程为______________． 解析　由题意，得双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．因为||PF1|－|PF2||＝2a＝6，所以a＝3，又双曲线的上、下焦点分别为F1(0，4)，F2(0，－4)，故c＝4，故b2＝c2－a2＝16－9＝7，故双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,7)＝1． eq \f(y2,9)－eq \f(x2,7)＝1 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1或5 答案 解析 * 7．已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1上一点P到F(3，0)的距离为6，O为坐标原点，若eq \o(OQ,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(OF,\s\up16(→)))，则|eq \o(OQ,\s\up16(→))|的值为________． 解析　如图，当P在双曲线右支上时，F(3，0)是右焦点，F1(－3，0)是左焦点，∵|PF1|－|PF|＝2a＝4，∴|PF1|＝10．∵eq \o(OQ,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(OF,\s\up16(→)))，∴Q为PF的中点，则|eq \o(OQ,\s\up16(→))|＝eq \f(1,2)|PF1|＝5；当P在双曲线左支上时，同理可得|eq \o(OQ,\s\up16(→))|＝1．综上所述，|eq \o(OQ,\s\up16(→))|的值为1或5． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 答案 解析 * 8．已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,8)＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6eq \r(6))，则△APF周长的最小值为________． 解析　如图，令E为双曲线的左焦点，由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，∴c＝3，∴E(－3，0)，F(3，0)，∵|AF|＝eq \r(32＋（6\r(6)）2)＝15，∴当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，∴|PF|＝|PE|＋2，又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，∴△APF的周长为|AF|＋|PA|＋|PF|＝15＋|PE|＋|PA|＋2≥15＋15＋2＝32，即△APF周长的最小值为32． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 解　因为线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q， 所以|QA|＝|QP|，所以||QA|－|QO||＝||QP|－|QO||＝|OP|＝r，为定值， 即点Q到两个定点O，A的距离之差的绝对值为定值，而A在圆外，所以|OA|＞r， 所以点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线． 三、解答题 9．(2024·太原第四十八中高二月考)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 10．求分别满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，a＝2eq \r(5)，经过点A(－5，2)； (2)经过A(－7，－6eq \r(2))，B(2eq \r(7)，3)两点； (3)过点P(－eq \r(2)，2)，且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点． 解　(1)因为a＝2eq \r(5)，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)， 将点A(－5，2)代入双曲线的方程得eq \f(25,20)－eq \f(4,b2)＝1，解得b2＝16， 所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,16)＝1． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， 将点A，B的坐标代入双曲线方程可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(49m＋72n＝1，,28m＋9n＝1，))解得m＝eq \f(1,25)，n＝－eq \f(1,75)， 所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,25)－eq \f(y2,75)＝1． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * (3)由题意知，椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的焦点坐标为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)， 所以可设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，其中a2＋b2＝5， 代入点P(－eq \r(2)，2)可得eq \f(2,a2)－eq \f(4,b2)＝1， 联立解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝4，)) 所以双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,4)＝1． 目录 1 2 * 1．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1上的一点P与左、右焦点F1，F2构成△PF1F2． (1)求△PF1F2的内切圆与x轴正半轴相切的切点N的坐标； (2)已知|PF1|·|PF2|＝32，求cos∠F1PF2的值． 目录 1 2 解 * 解　(1)由已知得a＝3，c＝eq \r(9＋4)＝eq \r(13)， 显然点P在双曲线右支上，如图，令△PF1F2的内切圆与边PF1，PF2相切的切点分别为T，M，设点N(x0，0)， 于是有|PT|＝|PM|，|F1T|＝|F1N|，|F2M|＝|F2N|， 由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝6， 而|PF1|－|PF2|＝|F1T|－|F2M|＝|F1N|－|F2N|＝(x0＋c)－(c－x0)＝2x0， 即2x0＝6，解得x0＝3， 所以△PF1F2的内切圆与x轴正半轴相切的切点N的坐标为(3，0)． 目录 1 2 解 * (2)不妨设点P在双曲线右支上， 由(1)知|PF1|－|PF2|＝6，|F1F2|＝2eq \r(13)， 而|PF1|·|PF2|＝32， 在△PF1F2中，由余弦定理得， cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|) ＝eq \f(（|PF1|－|PF2|）2＋2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|) ＝eq \f(62＋2×32－（2\r(13)）2,2×32)＝eq \f(3,4)． 目录 1 2 * 2．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角． 目录 1 2 解 * 解　如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，2eq \r(3))． 因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上． 设敌炮阵地P的坐标为(x，y)，BC的中点为D(－4，eq \r(3))， 因为kBC＝－eq \r(3)， 所以直线lPD：y－eq \r(3)＝eq \f(1,\r(3))(x＋4)．① 又|PB|－|PA|＝4<|AB|， 故P在以A，B为焦点的双曲线的右支上． 目录 1 2 解 * 则双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x>0)．② 联立①②，得x＝8，y＝5eq \r(3)， 所以点P的坐标为(8，5eq \r(3))， 因此kPA＝eq \f(5\r(3)－0,8－3)＝eq \r(3)， 故炮击的方向角为北偏东30°． 　　　　　　　　　　　　　 R $$