2.6.1 双曲线的标准方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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(2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3eq \r(2)，2)，∴eq \f(18,a2)－eq \f(4,b2)＝1.② 由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1. 法二：设所求双曲线的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3eq \r(2)，2)，∴eq \f(18,16－λ)－eq \f(4,4＋λ)＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1. (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).)) ∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1. 1．求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a2，b2的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)来求解． [变式训练] 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)以椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点； (2)焦距为2eq \r(6)，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上； 解：(1)依题意，得双曲线的焦点在x轴上，且a＝eq \r(3)，c＝2eq \r(2)，所以b2＝c2－a2＝5. 所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1. (2)因为焦点在x轴上，且c＝eq \r(6)，所以设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,6－a2)＝1,0＜a2＜6. 又因为过点(－5,2)，所以eq \f(25,a2)－eq \f(4,6－a2)＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍去)． 所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－y2＝1. 双曲线的定义及应用 [例2]　若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． [思路点拨]　(1)直接利用定义求解． (2)在△F1PF2中利用余弦定理求∠F1PF2. [解]　双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq \r(a2＋b2)＝5. (1)由双曲线的定义得|MF1|－|MF2|＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(100－100,2×32)＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)， 所以∠F1PF2＝90°， 故S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16. 1．根据双曲线的定义求出|PF1|－|PF2|＝2a； 2．利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； 3．通过配方，利用整体的思想求出∠F1PF2； 4．利用公式S△PF1F2＝eq \f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积． 5．利用公式S△PF1F2＝eq \f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积． [变式训练] 2．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为　________　. 解析：不妨设点P在双曲线的右支上， 因为PF1⊥PF2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2eq \r(2))2， 又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4， 可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12， 所以|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(3). 答案：2eq \r(3) 与双曲线有关的轨迹问题 [例3]　如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4eq \r(2)，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． [思路点拨]　eq \x(\a\al(建立平面直,角坐标系))→eq \x(\a\al(由已知条件得,到边长的关系))→eq \x(\a\al(判断轨迹,的形状))→eq \x(写出轨迹方程) [解]　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)．由正弦定理，得sin A＝eq \f(|BC|,2R)，sin B＝eq \f(|AC|,2R)，sin C＝eq \f(|AB|,2R)(R为△ABC的外接圆半径)． ∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝eq \f(|AB|,2)＝2eq \r(2)<|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(x>a)， ∵a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，∴b2＝c2－a2＝6.即所求轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x>eq \r(2))． 求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程． (2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程． 提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． [变式训练] 3.如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|. ∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝eq \f(3,2)，c＝5，于是b2＝c2－a2＝eq \f(91,4).∴动圆圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,\f(91,4))＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2))). [当堂达标] 1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　 ) A．双曲线　　　 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析：D　[由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．] 2．(多选)双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　 ) A．2　　 B．7　　　C．17　　　D．22 解析：AD　[因为a2＝25，所以a＝5.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝10.由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2.] 3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为　________　. 解析：不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m. 答案：4a＋2m 4．已知双曲线与椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程． 解：因为椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A点的坐标为(eq \r(15)，4)或(－eq \r(15)，4)，设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(16,a2)－\f(15,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5，))所以所求的双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1. $$