1.6 有理数的乘方（第1课时 认识乘方）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（湘教版2024）

湘教版（2024）七年级数学上册 第一章 有理数 1.6.1 认识乘方 1.6 有理数的乘方 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 理解有理数乘方的意义，会进行有理数的乘方运算. 2. 体验有理数的乘方与乘法的转化过程，感受数学知识间的联系. 重点：幂、底数、指数的概念及其表示，正确地进行有 理数的乘方运算. 难点：正确进行有理数的乘方运算. 情景导入 同学们，你们吃过拉面吗？你们知道拉面是怎么做出来的吗？ 做一做：用准备好的拉面玩具做拉面捏合的练习，做好记录. 次数 1 2 3 4 5 … 10 … 面条根数 … … 2 4 8 16 32 ？ 新知探究 在小学已经学过，2×2可以简记为22，2×2×2可以简记为23. （-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）可以简记为怎样的形式？ (－2)×(－2)×(－2)×(－2)×(－2)可以简记为______． (-2)5 新知探究 一般地，a 是有理数，n 是正整数，则把 a × a × a ×…×a 简记为 an ， n 个a 其中，an 读作“a 的 n 次方” 或“a 的 n 次幂”. 即规定 an = a × a × a ×…×a n 个a 概念归纳 求 n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方.在 an 中， a 叫做底数，n 叫做指数. 幂 指数 因数的个数 底数 因数 a2 通常读做 a 的平方，a3 通常读做 a 的立方. a1 规定为 a， 指数 1 通常省略不写. 乘方的概念： 探究新知 说一说 把下列相同因数的乘积写成幂的形式，并说出底数和指数. (1) (-6)×(-6)×(-6)； (2) × × × . (1) (-6)3，底数是-6，指数是3； (2) ()4，底数是，指数是4. (-2)4 与 -24 的含义相同吗？它们的结果相同吗？ (-2)4 表示 “-2 的 4 次方”,它的结果为16 . -24表示“2 的 4 次方的相反数”,它的结果为-16. (-2)4与-24的含义不同，结果也不同. 议一议 课本例题 （1） 07 ； （2） 16 ； （3） 34 ； （4）43 . 例1 计算： 解 (1) 07＝0×0×0×0×0×0×0 ＝0 . (2) 16=1×1×1×1×1×1 ＝1 . (3) 34＝3×3×3×3 ＝81 . (4) 43＝4×4×4 ＝64 . 43与34的含义有何不同？ 课本例题 例2 计算： （1） 0.23； （2） (-3)3 ； （3） ( )3 ； （4） (- )4. 解 (1) 0.23=0.2×0.2×0.2 ＝0.008 . (2) (-3)3＝(-3)× (-3)× (-3) ＝-27 . (3) ( )3＝ × × ＝ . (4) (- )4＝(- )×(- )××(- ) ＝ . 在书写负数和分数的乘方时，一定要把负数、分数用括号括起来. 思考 结合例1、例2，你认为底数为正数的任何正整数次幂是正数吗？ 底数为负数呢？ 底数为0呢？ 正数的任何正整数次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 0 的任何正整数次幂都是 0． 直接判断下列各式计算结果的符号： （1）(-4)2×(-3)3； （2）-23×(-2)3. (1)的结果为负，(2)的结果为正. 说一说 课堂练习 1、填空 底数a -1 2 指数n 3 5 4 幂an （-4）3 0.34 -4 3 0.3 4 2、判断下列各等式是否成立，并说明理由。 （1）32=2×3=6 （2）（-2）3=（-3）2 （3）-32=（-3）2 错 错 错 课堂练习 （1）(-3)4 ； （2）(-4)3 ； （3）(-8)3 ； （2）(-)3 . 3. 计算： 解 (1) (-3)4 ＝ (-3)×(-3)×(-3)×(-3) ＝ 81 . (2) (-4)3 ＝ (-4)×(-4)×(-4) ＝-64 . (3) (-8)3 ＝ (-8)×(-8)×(-8) ＝-512 . (4) (- )3 ＝ (- )× (- ) × (- ) ＝- . 课堂练习 4、直接判断下列各式计算结果的符号： 负 负 分层练习-基础 知识点1　 有理数乘方的意义 1.32可表示为(　C　) A. 3×2 B. 2×2×2 C. 3×3 D. 3＋3 2. (－2)5的意义是(　D　) A. －5乘2 B. －2乘5 C. 2个－5相乘 D. 5个－2相乘 C D 3. 对于－32与(－3)2，下列说法正确的是(　A　) A. 底数不同，结果不同 B. 底数不同，结果相同 【点拨】 　　－32表示3的平方的相反数，底数是3，结果是－9； (－3)2表示－3的平方，底数是－3，结果是9. A C. 底数相同，结果不同 D. 底数相同，结果相同 知识点2　 有理数的乘方运算 4. 计算(－2)2的结果是(　A　) A. 4 B. －4 C. 1 D. －1 A 5. [新考法·新定义计算法]规定一种新运算：a*b＝ a － ab ，如4*2＝4－42＝－12，则(－2)*3的值为(　C　) A. －10 B. －6 C. 6 D. 8 【点拨】 　　(－2)*3＝－2－(－2)3＝－2＋8＝6. C 6. 下列各组数中，互为相反数的是(　D　) A. －23与(－2)3 B. －(－2)与｜－2｜ C. －52与－25 D. －32与(－3)2 【点拨】 　　化简后A选项为－8与－8，B选项为2与2，C选项为－25与－32，D选项为－9与9，故选D. D 7. [2023湘潭]已知有理数 a ， b 满足( a －2)2＋｜ b ＋1｜＝0，则 ba ＝ ⁠. 【点拨】 　　因为( a －2)2＋｜ b ＋1｜＝0，( a －2)2≥0，｜ b ＋1｜≥0，所以 a －2＝0， b ＋1＝0，所以 a ＝2， b ＝－1，所以 ba ＝(－1)2＝1. 1　 8. [新考向·数学文化]中国是世界上首先使用负数的国家，两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例.《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法，请计算以下涉及“负数”的式子的值： －1－(－3)2＝ ⁠. 【点拨】 　　－1－(－3)2＝－1－9＝－10. －10　 知识点3　有理数偶次幂的非负性 9. 有下列各数：①－12；②－(－1)2；③－13；④－(－1)4， 其中结果等于－1的是(　D　) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 若｜ a －2｜与( b ＋1)2互为相反数，则 a － b ＝ ⁠. D 3　 11. [2024北师大附中模拟]已知 n 为正整数，则(－1)2 n －(－1)2 n＋1＝ ⁠. 【点拨】 　　(－1)2 n －(－1)2 n＋1＝1＋1＝2. 2　 12. 若－1＜ a ＜0，比较 a ， ， a2 026的大小. 【解】因为－1＜ a ＜0， 所以 a2 026＞0， ＜－1. 所以 ＜－1＜ a ＜0＜ a2 026，即 ＜ a ＜ a2 026. 易错点　因混淆(－ a ) n 与－ an 而出错 13. x 是有理数，下列各式成立的是(　C　) A. (－ x )2＝－ x2 B. (－ x )3＝ x3 C. (－ x )3＝－ x3 D. x4＝－ x4 C 分层练习-巩固 利用乘方的意义进行新定义计算 14. [2024河南省实验中学月考] 学习了“有理数的乘方” 后，知道乘方的结果叫作“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算. 定义： am 与 an ( a ≠0， m ， n 都是正整数)叫作同底数 幂，同底数幂除法记作 am ÷ an . 运算法则如下： am ÷ an ＝ 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1) ÷ ＝ 　 　， 52÷54＝ 　 　； 　 　 (2)如果 x ＞0，且2 x＋4÷22 x＋5＝ ，则 x ＝ ⁠. 【点拨】 　　因为 x ＞0，所以2 x ＋5－( x ＋4)＝ x ＋1＞0. 所以2 x ＋5＞ x ＋4. 所以2 x＋4÷22 x＋5＝ ＝ ＝ ＝ . 所以 x ＋1＝3.所以 x ＝2. 2　 利用乘方运算在计算中找规律 15. [新视角·规律探究题]求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？ (1) ×23与 ； 【解】 ×23＝ ×8＝1， ＝13＝1. (2) ×43与 ； 【解】 ×43＝－ ×64＝－ ， ＝ ＝－ . (3)(－1)4×24与[(－1)×2]4； 【解】(－1)4×24＝1×16＝16， [(－1)×2]4＝(－2)4＝16. (4)(－5)2×42与[(－5)×4]2. 试用你发现的规律计算(－0.25)2 025×42 026. 【解】(－5)2×42＝25×16＝400， [(－5)×4]2＝(－20)2＝400. 规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相 同次幂，即 am · bm ＝( ab ) m ( m 为正整数). (－0.25)2 025×42 026＝(－0.25)2 025×42 025×4＝ [(－0.25)×4]2 025×4＝(－1)2 025×4＝－1×4＝－4. 分层练习-拓展 利用乘方运算解实际应用 16. [新考向·知识情境化]当你把纸对折1次时，就得到2层；对折2次时，就得到4层，……照这样对折下去(最多对折7次). (1)你能发现层数和对折的次数有什么关系吗？ 【解】设对折的次数是 n ，则层数是2 n (1≤ n ≤7且 n 为正整数). (2)对折6次时，层数是多少？ 【解】对折6次，即 n ＝6时，层数为26＝64. (3)如果纸的厚度是0.1 mm，求对折7次时，总厚度是多少. 【解】对折7次时，总厚度为0.1×27＝0.1×128＝12.8(mm). 利用错位相加减法进行乘方计算 17. [新考法·阅读类比法]阅读材料： 求1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100的值. 解：令 S ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100.① 将等式①两边同时乘2，得 2 S ＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2100＋2101.② ②－①，得2 S － S ＝2101－1，即 S ＝2101－1. 所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100＝2101－1. 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025. 【解】设 M ＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025.① 将等式①两边同时乘3，得 3 M ＝3＋32＋33＋34＋35＋…＋32 025＋32 026.② ②－①，得3 M － M ＝32 026－1，所以 M ＝ . 所以1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025＝ . ①第100个数是多少？ ②这列数中前100个数的和为 ⁠. 　 (2)已知数列：－1，9，－92，93，－94，… 【解】①第100个数是999. 【点拨】 　　设 N ＝－1＋9－92＋93－94＋…－998＋999.① 将等式①两边同时乘9，得9 N ＝－9＋92－93＋94－95＋… －999＋9100.② ①＋②，得10 N ＝9100－1，所以 N ＝ . 所以这列数中前100个数的和是 . 课堂小结 一般地，n 个相同的因数a相乘，即 乘方 符号规律 负数的奇次幂是______，负数的偶次幂是_______，正数的任何次幂都是______，0 的任何正整数次幂都是_____ 求 n 个相同因数的___的运算叫作乘方，乘方的结果叫____；在 an 中，a叫作____，n 叫作______ n 个 a · a · … · a 记作：__________ 读作：_____________ 负数 正数 正数 0 积 幂 底数 指数 a 的 n 次方 an $$