第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末总结-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．比较数(式)的大小 (1)依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b. (2)适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式． (3)步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． (4)变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化． 2．利用基本不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立． (2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式． 3．利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等． 即①x，y都是正数； ②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、拆分”凑出定值)； ③x与y必须能够相等(等号能够取到)． (2)构造定值条件的常用技巧 ①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式． 4．解一元二次不等式的步骤 当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下： (1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解． (2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象． (3)由图象写出不等式的解集． 特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况． (2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解． 5．一元二次不等式的实际应用 不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤如下： (1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式． (5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案. 一、不等关系与不等式的性质 当两个代数式的正负不确定且为多项式形式时，常用作差法比较大小，当两个代数式均为正且均为幂的乘积形式时，常用作商法比较大小． 作差法，步骤如下：①作差；②变形；③判断差的符号；④结论． 作商法，步骤如下：①作商；②变形；③判断商与1的关系；④结论． 下列结论正确的是(　　) A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>b C．若a>b，c<0，则a＋c<b＋c D．若<，则a<b [解析]　对于A，当c大于零时才成立，故A错误；对于B，结论应该为|a|>|b|，故B错误；对于C，不等式的两边同时加上一个数，不等号的方向不变，故C错误；D项涉及不等式的乘方运算性质，D正确． [答案]　D 已知a>0，b>0，且a≠b，试比较＋与a＋b的大小． [解]　因为－(a＋b)＝－b＋－a＝＋＝(a2－b2)＝(a2－b2)＝， 又a>0，b>0，且a≠b， 所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0， 所以－(a＋b)>0，即＋>a＋b. 二、利用基本不等式求最值 基本不等式的主要应用是求最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解答此类问题的关键是创设应用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立． 已知x<－1，求的最大值． [解]　∵x<－1，∴x＋1<0. ∴－(x＋1)>0， ∴＝ ＝＝(x＋1)＋＋5 ＝－＋5 ≤－2＋5＝1， 当且仅当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取等号． 故的最大值为1. 三、不等式恒成立问题　　 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种： (1)判别式法 一元二次不等式对任意实数x恒成立的问题，常常用到判别式法，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ (2)数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化． (3)变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元． (4)分离参数法 将参数分离转化为求解最值问题． (1)若对于一切实数x，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围； (2)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围． [解]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0，满足题意； 若m≠0，则⇒－4<m<0. 所以－4<m≤0. (2)令y＝x2＋mx＋4. ∵当1≤x≤2时，y<0恒成立， ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，得 ∴ ∴m的取值范围是{m|m<－5}． 四、基本不等式的实际应用 解决基本不等式的实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，解题时要注意应用基本不等式的条件是否具备，还要注意有关量的实际含义． 如图所示，某公园要在一块矩形绿地的中央修建两个相同的矩形池塘，每个池塘的面积为10000 m2，池塘前方要留4 m宽的走道，其余各方留2 m宽的走道，问：每个池塘的长和宽分别为多少时，占地总面积最小？ [解]　设池塘的长为x m时占地总面积为S，则池塘的宽y＝(x>0)， S＝(6＋x)＝＋6x＋20036 ≥2＋20036＝1200＋20036， 当且仅当＝6x，即x＝100，y＝50时，等号成立． 故每个池塘的长为100 m，宽为50 m时，占地总面积最小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$