第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 第2章　单元质量测评 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法中正确的是(　　) A．若ab>0，a>b，则< B．若a>b，则a|c|>b|c| C．若a>b，c>d，则a－c>b－d D．若a>b，c<d，则> 答案：A 解析：∵ab>0，a>b，∴a·>b·，∴>，故A正确；取c＝0，可排除B，D；由a>b，c>d，可知a－d>b－c，故C错误． 2．不等式－x2＋3x－2>0的解集是(　　) A．{x|x<1} B．{x|x>2} C．{x|1<x<2} D．{x|x<1或x>2} 答案：C 解析：不等式－x2＋3x－2>0，即x2－3x＋2<0，即(x－1)(x－2)<0，解得1<x<2.故选C. 3.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0) 答案：D 解析：由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径为r＝OF＝AB＝，又由OC＝OB－BC＝－b＝，在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，因为FO≤FC，所以≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D. 4．若关于x的不等式x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤－3或x≥1}，则ab＝(　　) A．12 B．－12 C．6 D．－6 答案：D 解析：∵不等式x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤－3或x≥1}，∴方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为x1＝－3，x2＝1.由根与系数的关系可得a＝－(x1＋x2)＝2，b＝x1x2＝－3.∴ab＝－6.故选D. 5．已知正实数x，y满足x＋y＝3，则＋的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D. 答案：B 解析：∵x＋y＝3，x>0，y>0，∴(x＋y)＝1.∴＋＝(x＋y)＝≥＝3，当且仅当x＝2y，x＋y＝3，即x＝2，y＝1时“＝”成立． 6．不等式<x＋1的解集为(　　) A．{x|x>－3} B. C．{x|x>1} D．{x|x>或－<x<1} 答案：D 解析：原不等式可以变形为<0，即>0，所以或故原不等式的解集为{x|x>或－<x<1}． 7．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．－2<a<2 C．－2<a≤2 D．a<－2 答案：C 解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立．当a≠2时，要使不等式恒成立，则即解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是－2<a≤2.故选C. 8．已知0<a<1，则＋的最小值是(　　) A．4 B．8 C．9 D．10 答案：C 解析：因为0<a<1，所以＋＝[(1－a)＋a]＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当＝，即a＝时取等号，此时取得最小值9. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若<<0，则下列不等式正确的是(　　) A.< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．a2>b2 答案：AC 解析：由<<0，得b<a<0.对于A，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0，所以<成立，A正确；对于B，因为b<a<0，所以－b>－a>0，则－b>|a|，即|a|＋b<0，B错误；对于C，因为b<a<0，且<<0，所以a－>b－，C正确；对于D，因为b<a<0，所以b2>a2，D错误．故选AC. 10．下列式子中最小值为2的是(　　) A．当ab＝1时，a＋b B．当ab＝1时，＋ C．a2－2a＋3 D.＋ 答案：BC 解析：对于A，当a，b均为负值时，a＋b<0，没有最小值；对于B，因为ab＝1，所以a，b同号，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b＝±1时取等号，故最小值为2；对于C，a2－2a＋3＝(a－1)2＋2，当a＝1时，取最小值2；对于D，＋≥2＝2，当且仅当＝，即a2＋2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2. 11．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件售价可能为(　　) A．13元 B．15元 C．17元 D．18元 答案：AB 解析：设每件售价定为x元，利润为y，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意，有(x－8)[100－10(x－10)]>320，即x2－28x＋192<0，解得12<x<16.故选AB. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费与租金的和最少，每次进货量应为________件． 答案：1000 解析：设每次进货量为x件(x∈N＋)，需进货次，共需运费100×元，需租金费用为×2元，设一年的运费与租金的和为y元，则y＝100×＋×2≥2＝2000(当且仅当＝x，即x＝1000时取“＝”)．所以x＝1000时y最小． 13．若不等式≥a对x<2恒成立，则a的最大值是________． 答案：2 解析：∵x<2，∴＝＝(2－x)＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，∵≥a对x<2恒成立，故a≤2，即a的最大值为2. 14．已知二次函数f(x)＝x2＋mx－3的两个零点为1和n，则n＝________；若f(a)≤f(3)，则a的取值范围是________． 答案：－3　[－5，3] 解析：∵二次函数f(x)＝x2＋mx－3的两个零点为1和n，∴1和n为方程x2＋mx－3＝0的两个根，由根与系数的关系得1×n＝－3，即n＝－3.∴二次函数f(x)＝x2＋mx－3的两个零点为1和－3，∴对称轴为x＝－＝－1，∴m＝2，∴二次函数f(x)＝x2＋2x－3，f(3)＝f(－5)，由f(a)≤f(3)，结合二次函数的图象得－5≤a≤3. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)若x，y为正实数，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值． 解：由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy， ∵x，y为正实数， ∴＋＝1. ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝，即x＝2y时取等号． 又2x＋8y－xy＝0， ∴x＝12，y＝6. ∴当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18. 16．(本小题满分15分)已知a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，求证：＋＋<＋＋. 证明：证法一：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1， ∴＋＋＝＋＋ <＋＋ ＝＋＋. 故原不等式成立． 证法二：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1， ∴＋＋＝bc＋ca＋ab ＝＋＋ >＋＋ ＝＋＋. 故原不等式成立． 17．(本小题满分15分)由于春运的到来，某火车站为舒缓候车室人流的压力，决定在候车大楼外搭建临时候车区，其中某次列车的候车区是一个总面积为50 m2的矩形区域(如图所示)，矩形场地的一面利用候车厅大楼外墙(长度为12 m)，其余三面用铁栏杆围挡，并留一个宽度为2 m的入口．现已知铁栏杆的租用费为80元/m.设该矩形区域的长为x(单位：m)，租用铁栏杆的总费用为y(单位：元)． (1)将y表示为x的函数，并求租用搭建此区域的铁栏杆所需费用的最小值及相应的x； (2)若所需总费用不超过2160元，则x的取值范围是多少？ 解：(1)依题意有y＝80， 其中2<x≤12. 由基本不等式可得y＝80≥80×(2－2)＝1440，当且仅当＝x，即x＝10时取“＝”． 综上，当x＝10时，租用搭建此区域的铁栏杆所需费用取最小值，为1440元． (2)由y＝80≤2160，得＋x－2≤27， 所以x2－29x＋100≤0，解得4≤x≤25. 又因为2＜x≤12，所以4≤x≤12， 即x的取值范围是[4，12]． 18．(本小题满分17分)已知y＝(x≠a，a为非零常数)． (1)解不等式<x； (2)若x>a时，y＝有最小值为6，求a的值． 解：(1)由<x，得(ax＋3)(x－a)<0. 当a>0时，(x－a)<0， 所求解集为； 当a<0时，(x－a)>0， 所求解集为. (2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)， 所以y＝＝t＋＋2a ≥2＋2a ＝2＋2a. 当且仅当t＝， 即t＝时，等号成立， 即y有最小值2＋2a. 依题意有2＋2a＝6， 解得a＝1. 19．(本小题满分17分)已知y＝x2－2ax＋a. (1)设a>0，若关于x的不等式y<3a2＋a的解集为A，B＝{x|－1≤x≤2}，且x∈A的充分而不必要条件是x∈B，求a的取值范围； (2)方程y＝0有两个实数根x1，x2， ①若x1，x2均大于0，试求a的取值范围； ②若x＋x＝6x1x2－3，求实数a的值． 解：(1)由y<3a2＋a，得x2－2ax＋a<3a2＋a， 即x2－2ax－3a2<0，即(x－3a)(x＋a)<0， 又a>0，∴－a<x<3a， 即A＝{x|－a<x<3a}， ∵x∈A的充分而不必要条件是x∈B， ∴B是A的真子集， 则解得得a>1， 即实数a的取值范围是a>1. (2)方程为y＝x2－2ax＋a＝0， ①若x1，x2均大于0， 则满足解得 故a≥1，即a的取值范围为a≥1. ②由Δ≥0，得a≥1或a≤0. 若x＋x＝6x1x2－3， 则(x1＋x2)2－2x1x2＝6x1x2－3， 则(x1＋x2)2－8x1x2＋3＝0， 即4a2－8a＋3＝0，即(2a－1)(2a－3)＝0， 解得a＝或a＝， 又a≥1或a≤0， 所以a＝，即实数a的值是. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$