第1章 集合与逻辑 章末总结-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．集合中元素的三大特性 (1)确定性；(2)互异性；(3)无序性． 2．集合的表示方法 集合的表示方法的适用条件： (1)列举法：是对有限集且在元素不太多的情况下或元素个数较多且成一定规律时采用的，元素之间用“，”分隔开． (2)描述法：注意集合的代表元素及元素具备的性质． 3．集合间的关系 处理集合间的关系时需要注意： (1)涉及某些数集是不等式的所有解组成的集合时，利用数轴可较好地处理一些实数集之间的关系． (2)注意应用B⊆A的条件时，一定要考虑B＝∅和B≠∅两种情况． (3)以形助数，直观形象，充分利用数形结合思想，同时注意转化思想、等价变形思想的灵活运用． 4．子集、全集、补集的概念及交集、并集、补集运算的性质 子集、全集、补集的概念实质上是生活中的“部分”“全体”“剩余”的概念在数学中的抽象与反映． (1)交集运算的性质 A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A； (A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；如果A⊆B，则A∩B＝A. (2)并集运算的性质 A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A； (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；如果A⊆B，则A∪B＝B. (3)补集运算的性质 ∁U(∁UA)＝A；A∩(∁UA)＝∅；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 5．命题 (1)判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题． (2)一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题的真假的办法是： ①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明． ②从集合的观点看，我们建立集合A，B与命题中的p，q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真(意思就是“使p成立的对象也使q成立”)，当且仅当A⊆B时满足． (3)命题的否定：若p表示命题，则“非p”表示命题的否定．如果命题是“若p，则q”，那么该命题的否定是“若p，则綈q”，即只否定结论． (4)命题的逆命题：条件和结论互换位置．如果命题是“若p，则q”，那么该命题的逆命题 是“若q，则p”． 6．充分条件、必要条件、充要条件 关于充要条件的判断主要有以下几种方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)等价法；(3)利用集合间的包含关系进行判断． 7．全称量词、存在量词与全称量词命题、存在量词命题 (1)要判定全称量词命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． (3)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称量词命题． 一、集合问题中三个需注意的问题 1．注意集合中的代表元素 集合中元素的表现形式是多种多样的，可以是实数x，实数y，有序数对(x，y)，图形等，我们要仔细观察集合中的代表元素． 已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2＋6x＋16，x∈R}，求A∩B. [解]　∵A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}＝{y|y＝(x－1)2－1，x∈R}＝{y|y≥－1}， B＝{y|y＝x2＋6x＋16，x∈R}＝{y|y＝(x＋3)2＋7，x∈R}＝{y|y≥7}， ∴A∩B＝{y|y≥7}． 2．注意空集的特殊性 当B⊆A时，集合B可能为空集，也可能为非空集合，注意不要漏掉B为空集的情况；另外空集在所有解组成的集合中也非常重要，在题目解答出来后，要检查一下是否漏掉了“空集”这种情况． 已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B⊆A，求实数p的范围． [解]　①当B＝∅时，B⊆A， 由Δ＝(－1)2－4p<0，解得p>； ②当B≠∅，且B⊆A时， 方程x2－x＋p＝0存在两个正实根． 由Δ＝(－1)2－4p≥0，x1＋x2＝1>0，且x1x2＝p>0， 得0<p≤. 由①②可得实数p的取值范围为{p|p>0}． 3．注意集合中元素的互异性 根据两集合之间的关系进行分类讨论，在求参数取值的过程中，应时刻检验元素的互异性，在确定集合时，尤其是当集合的元素中含有字母时，也要进行检验． 已知集合M＝{1，t}，N＝{t2－t＋1}，若M∪N＝M，求t的取值集合． [解]　∵M∪N＝M，∴N⊆M，即t2－t＋1∈M， ①若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1， 而当t＝1时，M中两元素不符合互异性，∴t＝0； ②若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，由①知不符合题意． 综上所述，t的取值集合为{0}． 二、集合中的创新题型　　 创新型试题的特点是：通过给出新数学概念或新运算方法，在新的情境下完成某种推理证明或指定要求．在一一列举时，我们要做到不重不漏． 设集合P＝{3，4}，Q＝{4，5，6，7}，定义PQ＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则PQ中元素的个数为________． [解析]　在集合P中取一个数作为a的值，有2种可能；在集合Q中取一个数作为b的值，有4种可能．列举如下：(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(4，7)．因此PQ中元素的个数为8. [答案]　8 若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的1种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆．则集合A＝{a，b}的不同分拆有________种． [解析]　①当A1＝∅时，A2＝A＝{a，b}，此时只有1种分拆； ②当A1为单元素集时：A1＝{a}，A2＝{b}或A2＝{a，b}；A1＝{b}，A2＝{a}或A2＝{a，b}．此时有4种分拆； ③当A1为双元素集时，A1＝A＝{a，b}，A2可取A的任何子集，此时有4种分拆． 综上，共有9种分拆． [答案]　9 三、充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件的判定 充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是： (1)确定条件是什么，结论是什么； (2)把复杂的条件(结论)化简； (3)尝试从条件推结论，从结论推条件； (4)确定是什么条件． 已知p：－2<m<0，0<n<1，q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1且互不相等的正实根，试判断p是q的什么条件． [解]　若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1且互不相等的正实根，则Δ＝m2－4n>0，即m2>4n. 设方程的两根为x1，x2，则0<x1<1，0<x2<1，x1≠x2，有0<x1＋x2<2，且0<x1x2<1. 根据根与系数的关系，有 则 所以－2<m<0，0<n<1，且m2>4n，即有q⇒p. 反之，取m＝－，n＝， 那么方程变为x2－x＋＝0，Δ＝－4×<0. 此时方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以pq. 综上所述，p是q的必要而不充分条件． 2．利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解． 设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，非空集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}． (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围． [解]　(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件， 所以即解得a≥2， 所以实数a的取值范围是[2，＋∞)． (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件， 所以即解得≤a≤1， 所以实数a的取值范围是. 四、全称量词命题与存在量词命题 一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词． 下列语句不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 [解析]　A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，故C不是全称量词命题；D是全称量词命题．故选C. [答案]　C 命题p：“∀x∈R，x2>0”，则(　　) A．p是假命题；綈p：∃x∈R，x2<0 B．p是假命题；綈p：∃x∈R，x2≤0 C．p是真命题；綈p：∀x∈R，x2<0 D．p是真命题；綈p：∀x∈R，x2≤0 [解析]　由于02>0不成立，故“∀x∈R，x2>0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”．故选B. [答案]　B 五、数学思想方法 1.数形结合思想 集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解． 设A＝{x|－2<x<－1或x>1}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}．已知A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|1<x≤3}，试求a，b的值． [解]　可利用数轴分析解答，如图． 设想集合B所表示的范围在数轴上移动，根据A∪B和A∩B可知集合B必覆盖住数轴上－1≤x≤3这一部分． 所以当－1≤x≤3时，由二次函数y＝x2＋ax＋b的图象可知－1与3应是方程x2＋ax＋b＝0的两根．由根与系数的关系可得a＝－(－1＋3)＝－2，b＝(－1)×3＝－3. 2．分类讨论思想 利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题．这是因为，其一，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对学生能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相联系． 解分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想． 已知集合A＝{x∈R|kx2－3x＋2＝0}． (1)若A＝∅，求实数k的取值范围； (2)若A是单元素集合，求k的值及集合A. [解]　(1)若A＝∅，即方程kx2－3x＋2＝0无解，若k＝0，方程有一根x＝，不符合题意；若k≠0，要使方程kx2－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8k<0，即k>，故使A＝∅的实数k的取值范围是k>. (2)当k＝0时，由(1)可知A＝，符合题意； 当k≠0时，要使方程有两个相等的实根， 则Δ＝9－8k＝0，所以k＝，此时A＝. 综上所述，当k＝0时，A＝；当k＝时，A＝. 3．等价转化思想 将此问题转化为彼问题来解决是数学中常用的手段，一个数学问题难度较大或过于抽象时，可等价转化为较直观或较易解决的问题，也就是将“未知”的问题“已知化”，将复杂的问题简单化，这样有助于问题的解决，此即为等价转化． 已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝.求(∁UB)∩A. [解]　全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}是平面直角坐标系上所有点的集合，集合A是直线x＋y＝1上的点的集合，集合B是直线x＋y＝1上除去点(1，0)的所有点的集合，而∁UB表示平面直角坐标系上除了直线x＋y＝1上的所有点以外的点和点(1，0)构成的集合，所以(∁UB)∩A＝{(1，0)}． 4．反证法 反证法是一种间接证法，它回避了从正面直接证明命题，它从命题结论的反面出发，引出矛 盾，从而肯定命题的结论． 从逻辑角度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，由此进行推理，如果产生矛盾，那么就说明“若p，则¬q”为假，从而可以得出“若p，则q”为真，达到证明的目的．反证法是高中数学解题的一种基本方法． 如果a，b，c，d为实数，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个负数． [证明]　假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，则a，b，c，d都为非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0. 因为a＋b＝1，c＋d＝1， 所以(a＋b)(c＋d)＝1， 即(ac＋bd)＋(bc＋ad)＝1. 因为a，b，c，d均为非负数，于是bc＋ad≥0， 故由上式可知ac＋bd≤1， 这与已知条件ac＋bd>1矛盾， 所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个负数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$