4.4.2 计算函数零点的二分法-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 4.4.2　计算函数零点的二分法 (教师独具内容) 课程标准：1.探索用二分法求函数零点的思路并会画程序框图.2.能借助计算工具用二分法求函数零点近似值． 教学重点：掌握用二分法求函数零点近似值的一般步骤． 教学难点：利用二分法求给定精确度的函数零点近似值． 核心素养：通过本节内容的学习，使学生掌握求函数零点近似值的方法，提升数据分析素养和数学运算素养． 知识点一　二分法的概念 如图，工人在检查发生故障的线路AB时，首先从线路的中点C查起，如果CB段正常，就选择CA的中点D测试；如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所用的这种方法称作二分法． 知识点二　用二分法求函数零点近似值的步骤 设函数y＝f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线．求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x－x0|≤ε的步骤如下： (1)在D内取一个闭区间[a，b]⊆D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)<0； (2)取区间[a，b]的中点m＝(a＋b)； (3)如果|m－a|<ε，则取m为f(x)的零点近似值，计算终止； (4)计算f(m)，如果f(m)＝0，则m就是f(x)的零点，计算终止； (5)f(m)与f(a)同号则令a＝m，否则令b＝m，再执行(2)． 1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法． 2．用二分法求函数零点近似值时，在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量． 3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值． 4．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求函数f(x)＝x2的零点近似值可以用二分法．(　　) (2)用二分法求出的函数零点就是精确值．(　　) (3)用“二分法”求方程的近似解时，ε越大，零点的精确度越高．(　　) (4)ε就是近似值．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是(　　) (2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是(　　) ①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0. A．①② B．①③ C．①④ D．② (3)用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的近似值，验证f(2)·f(3)<0，取区间(2，3)的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)·f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________． 答案：(1)A　(2)A　(3)(2，2.5) 　二分法的概念 　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是(　　) A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4 [解析]　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求其零点近似值的个数为3. [答案]　C 【感悟提升】　判断一个函数能用二分法求其零点近似值的依据：其图象在零点附近是连续不断的且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 【跟踪训练】 1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 答案：C 解析：由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点时，才能用二分法求函数零点的近似值．对各选项分析可知，A，B，D都符合，而C不符合，因为在零点两侧函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 　用二分法求方程的近似解 　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(误差不超过0.1)． [解]　令f(x)＝2x3＋3x－3， 经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0， 所以函数f(x)在(0，1)内存在零点， 即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解． 取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0， 又f(1)＞0， 所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： (a，b) 中点m f(a) f(b) f(m) (0，1) 0.5 f(0)＜0 f(1)＞0 f(0.5)＜0 (0.5，1) 0.75 f(0.5)＜0 f(1)＞0 f(0.75)＞0 (0.5，0.75) 0.625 f(0.5) ＜0 f(0.75) ＞0 f(0.625) ＜0 (0.625，0.75) 0.6875 f(0.625) ＜0 f(0.75) ＞0 因为|0.625－0.75|＝0.125＜0.2，所以0.6875可作为方程的一个正实数近似解． 　若本例中的“误差不超过0.1”换为“误差不超过0.05”，结论又如何？ 解：在例2的基础上，取区间(0.625，0.75)的中点x＝0.6875，因为f(0.6875)<0，f(0.75)>0且|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以x＝＝0.71875可作为方程的一个近似解． 　若本例中的方程“2x3＋3x－3＝0”换为“x2－2x＝1”，其结论又如何呢？ 解：设f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0， ∴在区间(2，3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0. 取2与3的平均数2.5， ∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5； 再取2与2.5的平均数2.25， ∵f(2.25)＝－0.4375<0，∴2.25<x0<2.5； 如此继续下去，有 f(2.375)<0，f(2.5)＞0⇒x0∈(2.375，2.5)． ∵|2.375－2.5|＝0.125<0.2， ∴方程x2－2x＝1的一个误差不超过0.1的近似解可取为＝2.4375. 【感悟提升】　 1．利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足|a－b|＜2ε的方程的根所在的区间M. (3)区间M的中点即是方程的近似解． 2．用二分法求方程的近似解应明确的两点 (1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解． (2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解． 【跟踪训练】 2．利用计算器，求方程2x＝6－3x的近似解(误差不超过0.1)． 解：设f(x)＝2x＋3x－6，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，观察图象可以发现，它们的图象仅有一个交点，即方程2x＝6－3x有唯一解，设为x0.因为f(1)＝2＋3－6＝－1<0，f(2)＝4＋6－6＝4>0，所以f(1)·f(2)<0，即方程2x＝6－3x的解x0∈(1，2)．利用二分法，可以得到下表： 区间(a，b) 中点值 f(a) f(b) f (1，2) 1.5 f(1)<0 f(2)>0 f(1.5)≈1.33>0 (1，1.5) 1.25 f(1)<0 f(1.5)>0 f(1.25)≈0.13>0 (1，1.25) 1.125 f(1)<0 f(1.25)>0 f(1.125)≈－0.44<0 (1.125，1．25) 1.1875 f(1.125)<0 f(1.25)>0 我们得到区间(1.125，1.25)的长度为0.125，它小于0.2，因此可选取x0＝＝1.1875作为方程的一个近似解． 1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(　　) A．f(x)＝－x2＋4x－1 B．f(x)＝x3－2 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x＋3 答案：C 解析：对于C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)＞0，当x＜0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值． 2．设函数f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中，有f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在的区间为(　　) A．(1，1.25) B．(1.25，1.5) C．(1.5，2) D．不能确定 答案：B 解析：由f(1.25)·f(1.5)＜0知方程的解所在的区间为(1.25，1.5)． 3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为(　　) A．(0，0.5)，f(0.25) B．(0，1)，f(0.25) C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.125) 答案：A 解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f(0)<0，f(0.5)>0知x0∈(0，0.5)．再计算(0，0.5)的中点0.25的函数值，以判断x0的更准确位置．故选A. 4．在用二分法求方程f(x)＝0在[1，2]上的近似解时，经计算，f(1.625)<0，f(1.75)>0，f(1.6875)<0，即得出方程的一个近似解为________(误差不超过0.05)． 答案：1.71875 解析：∵f(1.625)<0，f(1.75)>0，f(1.6875)<0，∴方程的解在(1.6875，1.75)上，而|1.75－1.6875|<0.1，∴方程的一个近似解为＝1.71875. 5．求曲线y＝lg x和直线y＝2－x的交点的横坐标(误差不超过0.1)． 解：在同一平面直角坐标系中，作出y＝lg x，y＝2－x的图象如图所示，可以发现两图象有唯一交点，横坐标记为x0，并且x0在区间(1，2)内． 设f(x)＝lg x＋x－2， 则f(x)的零点为x0. 用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒x0∈(1，2)； f(1.5)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.5，2)； f(1.75)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.75，2)， f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒x0∈(1.75，1.875)． ∵|1.875－1.75|＝0.125<0.2， ∴零点的近似值可取为＝1.8125. 因此曲线y＝lg x和直线y＝2－x的交点的横坐标约为1.8125. 一、选择题 1．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　) 答案：D 解析：只有变号零点才能用二分法求解．故选D. 2．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算得f(0.64)<0，f(0.72)＞0，f(0.68)<0，则函数的一个误差不超过0.1的正实数零点的近似值为(　　) A．0.9 B．0.7 C．0.5 D．0.4 答案：B 解析：因为f(0.72)＞0，f(0.68)<0，所以零点所在区间为(0.68，0.72)，又|0.7－0.68|＝0.02<0.1，四个选项中只有0.7满足误差不超过0.1，故选B. 3．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　) A．(0，1) B．(0，2) C．(2，3) D．(2，4) 答案：B 解析：因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以下一个存在零点的区间为(0，2)． 4．已知曲线y＝与直线y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是(　　) A. B. C. D．(1，2) 答案：A 解析：设f(x)＝－x，则f(0)＝1>0，f＝－＝－<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝－2<0，显然有f(0)·f<0，故x0的取值范围为. 5．(多选)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260 f(1.4375)≈0.162 f(1.40625)≈－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的近似根(误差不超过0.05)可以是(　　) A．1.4125 B．1.35 C．1.42 D．1.25 答案：AC 解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.40625，1.4375)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的近似根(误差不超过0.05)可以是1.4125，1.42.故选AC. 二、填空题 6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________． 答案：a2＝4b 解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b. 7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600)≈0.200，f(1.5875)≈0.133， f(1.5750)≈0.067，f(1.5625)≈0.003， f(1.5500)≈－0.060. 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________．(误差不超过0.01) 答案：1.55625 解析：注意到f(1.5500)≈－0.060和f(1.5625)≈0.003，显然f(1.5500)·f(1.5625)<0，取m＝＝1.55625，则|1.55625－1.5500|＝0.00625<0.01，故方程3x－x－4＝0的一个近似解为1.55625. 8．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次． 答案：6 解析：第1次取中点把焊接点数减半为＝32，第2次取中点把焊接点数减半为＝16，第3次取中点把焊接点数减半为＝8，第4次取中点把焊接点数减半为＝4，第5次取中点把焊接点数减半为＝2，第6次取中点把焊接点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6. 三、解答题 9．已知函数f(x)＝x3－x2＋1. (1)证明：方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解； (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内． 解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0， 所以f(0)·f(2)<0，所以方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解． (2)取x1＝(0＋2)＝1，得f(1)＝>0， 由此可得f(1)f(2)<0，下一个有解区间为(1，2)． 再取x2＝(1＋2)＝，得f＝－<0， 所以f(1)·f<0，下一个有解区间为. 再取x3＝＝，得f＝>0， 所以f·f<0，下一个有解区间为. 综上所述，实数解x0在区间内． 10．已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，求方程f(x)＝0的正根(误差不超过0.01)． 解：由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增， 因此f(x)＝0的正根最多有一个． 因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点值 中点函数近似值 (0，1) 0.5 0.732 (0，0.5) 0.25 －0.084 (0.25，0.5) 0.375 0.328 (0.25，0.375) 0.3125 0.124 (0.25，0.3125) 0.28125 0.021 (0.25，0.28125) 0.265625 －0.032 (0.265625，0.28125) 0.2734375 －0.00543 因为|0.2734375－0.265625|＝0.0078125<0.01，所以方程的根的近似值为0.2734375，即方程f(x)＝0的正根约为0.2734375. 11．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　) A．[1，4] B．[－2，1] C．[－2，2.5] D．[－0.5，1] 答案：D 解析：因为第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]，第三次所取的区间可能是[－2，－0.5]，[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]，只有选项D在其中． 12．用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(误差不超过0.2)．参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0. 区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号 (1，2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33>0 (1，1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37<0 (1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035<0 ∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2， ∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$