精品解析：2024年山西省模拟预测数学试题

2024年山西省初中学业水平测试信息卷 数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 绝对值的相反数是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和相反数的定义，先求的绝对值，再求相反数即可． 【详解】解：∵的绝对值是，的相反数是， ∴绝对值的相反数是． 故选：A． 2. 2024年6月5日，是二十四节气中的芒种节气．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片代表“大雪”、“芒种”、“立春”、“白露”四种节气，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形． 【详解】将图A沿着过中心的竖直的直线折叠，直线两旁的部分能够重合，所以图A是轴对称图形； 将图B，C，D沿着某直线折叠，直线两旁的部分不能够重合，所以图B，C，D不是轴对称图形． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．，原选项计算错误，不符合题意； B．，原选项计算错误，不符合题意； C．，原选项计算错误，不符合题意； D．，原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 2024年2月26日，中国航天科技集团发布《中国航天科技活动蓝皮书》．根据计划，明确了总体目标为2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验等．已知，地球和月球的距离大约为384400公里，数据384400用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：C． 5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 故选：B． 6. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形； 第二步：分别取、的中点M、N，连接； 第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E； 第四步：过点E作，交的延长线于F． 则所作图形中是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形和 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理．设正方形的边长为，结合线段中点特点得到，，由勾股定理可得，进而可得，再利用黄金矩形的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为， 、N为、的中点， ，， ， 由画图可知：， 对于矩形，，不是黄金矩形； 对于矩形，，是黄金矩形； 对于矩形，，不是黄金矩形； 对于矩形，，是黄金矩形； 矩形和是黄金矩形， 故选：D． 7. 2024年2月26日，山西省中学生篮球锦标赛落下帷幕，汾阳市第四中学篮球队夺得总冠军！在“无运动不青春”的理念下，实验学校组织了篮球兴趣小组，共40名学生进行定期训练，他们的年龄分布如下表，他们年龄的中位数是（ ） 年龄/岁 15 16 17 18 人数 7 18 12 3 A. 15岁 B. 16岁 C. 17岁 D. 18岁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，先确定最中间的两个数是16，16，再求出平均数可得答案． 【详解】根据题意可知第20个数和第21个数都是16，则他们年龄的中位数是（岁）． 故选：B． 8. 如图，O是菱形的对角线的中点，以O为原点，建立如图平面直角坐标系，若轴，，，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令与y轴的交点为字母E，根据菱形的性质和说明是等边三角形，再求出，然后根据直角三角形的性质得，结合勾股定理求出，可知点A的坐标，最后根据点A和点C关于原点对称得出答案． 【详解】如图所示，令与y轴的交点为字母E， ∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴是等边三角形，则， ∵点O是菱形的对角线的中点， ∴． ∵轴，则， ∴， ∴ 根据勾股定理，得， ∴． ∵点A和点C关于原点对称， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解菱形的对称性是解题的关键． 9. 如图，在的内接四边形中，，．若的半径为5，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理可知，即可求出，再根据得出答案． 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长为． 故选：C． 10. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或x＞2 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一次函数与反比例函数的交点问题以及一次函数图象与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：把点，代入， 得出， 解得：，m=0（舍去） ∴点，B， 观察函数图象发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 则不等式的解集为：或. 故选：A． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的形式解答即可． 【详解】， 这个单项式为； ， 这个单项式为． 故答案为：或． 12. 如图，将直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，直角三角板的直角顶点在上，若，则______． 【答案】##51度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 由题意可得，从而可求得的度数，再由平行线的性质即可求的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过、两点，当时，， ∴此反比例函数的图象在二、四象限， ∴． 故答案为：． 14. 实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为______W． 【答案】220 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和点 ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴ 解得 ∴ ∵， ∴抛物线有最大值为220， 即变阻器R消耗的电功率P最大为， 故答案为：220 15. 如图，在中，，，，、分别是、的中点，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为，则当___时，为等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据直角三角形角的性质和勾股定理计算和的长，由中位线定理计算，根据速度、时间可得、的运动路程分别为和的长；分三种情况讨论：分别令任意两边相等，画图，根据等腰三角形的性质列方程可得结论． 【详解】解：，，， ，， 、分别是、的中点， ，， 由题意得：，， ，， 分三种情况： ①当时，如图1，为等腰三角形． 则， ； ②如图2，当时，为等腰三角形，过作于， ， ， ， 、分别是、的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ③因为当时，， ， 而在、运动过程中，最大为，所以此种情况不成立； 综上，当或 时，为等腰三角形． 故答案为：或． 【点睛】本题是动点型问题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、线段长的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形角的性质、直角三角形斜边中线的性质、解方程（包括一元一次方程）等，有一定的难度．注意题中求的方法：最终都是转化为一元一次方程求解，学会用分类讨论的思想思考问题． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和因式分解法解一元二次方程，能正确根据负整数指数幂、去绝对值及二次根式的乘法法则进行计算是解（1）的关键，能正确根据因式分解法解一元二次方程是解（2）的关键． （1）根据负整数指数幂、去绝对值及二次根式乘法的法则，计算即可得到答案 （2）根据因式分解法解一元二次方程的解法即可解得． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 或， ，． 17. 年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的少天． （1）乙工程队单独完成需要多少天？ （2）若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 【答案】（1）天 （2）天 【解析】 【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解； （）设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 答：乙工程队单独完成需要天； 【小问2详解】 解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠， 由题意得，， 解得， 答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠． 18. 2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； （3）若该校有4000名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数； （4）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1） 100名， 补全条形统计图如下： （2）144 （3）800人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据的人数及所占比值求出总人数，总人数减去、、、的人数，可求人数，再补全统计图即可； （2）乘以所占总人数的比值，即可求出 “科技类”所对应的圆心角度数； （3）由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读文学类书籍的学生人数所占的比例即可； （4）画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：被调查学生总人数：（名）， 的人数（名）， 【小问2详解】 ， 故答案为：144； 【小问3详解】 （人）， 答：估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数约为800人； 【小问4详解】 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 19. 2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个． （1）“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ （2）该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元 （2）购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用， 对于（1），先设设“天宫”模型进价为每个x元，可表示“神舟”模型进价，再根据200元购进的模型的个数之差为2列出分式方程，求出解并检验即可； 对于（2），先设购进“神舟”模型a个，表示购进“天宫”模型的个数，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【小问1详解】 解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元， 依题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解.． 答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元． 【小问2详解】 ∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个， ． ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ， 解得：． ，． ∴当时，（元）， 即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元． 20. 阅读与思考： 阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：古拉美古塔定理，如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线于点F，则． ， 证明：，， ， ，， ． ， ∴_____________________（同弧所对的圆周角相等）． 又∵， ． ． … 任务： （1）材料中横线部分缺少的内容为：______； （2）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线交于点E，交于点F．若，则．请证明该命题． 【答案】（1） （2） 证明：在中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，斜边上的中线，等角对等边： （1）根据圆周角定理，作答即可； （2）斜边上的中线，得到，得到，， 圆周角定理，得到，推出，即可得证． 【小问1详解】 证明：，， ， ，， ． ， ∴（同弧所对的圆周角相等）． 又∵， ． ． 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 项目化学习 【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《直接三角形的边角关系》之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素材1 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎． 某学校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度． 素材2 如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为，点与F在同一条直线上． 问题解决 任务 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度的长． （结果精确到米；参考数据：，） 【答案】电池板离地面的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 延长交于点，根据题意可得：米，米，设米，则米，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点， 由题意得：米，米， 设米，则米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， 解得：， （米）， 电池板离地面的高度约为米． 22. 综合与实践 【问题情境】 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】 （1）请你解答以上老师提出的问题； 【深入探究】 （2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题． “善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．证明：． 【拓展提升】 （3）如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长． 【答案】 （1）结论：四边形为正方形． 理由如下： ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． ， ． 矩形为正方形； （2）证明：， ， ， ． ，即， ， ， ． 由（1）得， ； （3） 【解析】 【分析】对于（1），先根据“三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形为矩形，再根据得，即可得出答案； 对于（2），先根据“等角对等边”得，进而确定，再根据三角形面积相等得，然后由（1）得出答案； 对于（3），设，的交点为，并作，根据得出，再根据“等角对等边”得，再根据勾股定理求， 进而求出，然后由，求出，可得，再证明，根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，设，的交点为，过作于点， ， ，，，，， ． ， ， ． ， 点G是的中点， 由勾股定理得， ． ， ， 即， ． ，，， ， ， ， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，余弦等，勾股定理是求线段的长的常用方法． 23. 如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）面积的最大值为，； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把和代入求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点为直线下方抛物线上的点，如图， 设， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴面积的最大值为， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：， 的对称轴为． ∵，， ∴，， 当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点， ∵在的对称轴上， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 当为矩形一边时，且点在轴的上方，′的对称轴为与轴交于点，如图， ∵在的对称轴上， ∴， ∴， ∵，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为， 依题意得：， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 联立得：， 解得：， ∴点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年山西省初中学业水平测试信息卷 数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 绝对值的相反数是（　　） A. B. C. 2 D. 2. 2024年6月5日，是二十四节气中的芒种节气．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片代表“大雪”、“芒种”、“立春”、“白露”四种节气，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年2月26日，中国航天科技集团发布《中国航天科技活动蓝皮书》．根据计划，明确了总体目标为2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验等．已知，地球和月球的距离大约为384400公里，数据384400用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形； 第二步：分别取、的中点M、N，连接； 第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E； 第四步：过点E作，交的延长线于F． 则所作图形中是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形和 7. 2024年2月26日，山西省中学生篮球锦标赛落下帷幕，汾阳市第四中学篮球队夺得总冠军！在“无运动不青春”的理念下，实验学校组织了篮球兴趣小组，共40名学生进行定期训练，他们的年龄分布如下表，他们年龄的中位数是（ ） 年龄/岁 15 16 17 18 人数 7 18 12 3 A. 15岁 B. 16岁 C. 17岁 D. 18岁 8. 如图，O是菱形的对角线的中点，以O为原点，建立如图平面直角坐标系，若轴，，，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的内接四边形中，，．若的半径为5，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或x＞2 D. 或 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为______． 12. 如图，将直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，直角三角板的直角顶点在上，若，则______． 13. 反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是______． 14. 实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为______W． 15. 如图，在中，，，，、分别是、的中点，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为，则当___时，为等腰三角形． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的少天． （1）乙工程队单独完成需要多少天？ （2）若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 18. 2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； （3）若该校有4000名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数； （4）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 19. 2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个． （1）“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ （2）该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 20. 阅读与思考： 阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：古拉美古塔定理，如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线于点F，则． ， 证明：，， ， ，， ． ， ∴_____________________（同弧所对的圆周角相等）． 又∵， ． ． … 任务： （1）材料中横线部分缺少的内容为：______； （2）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线交于点E，交于点F．若，则．请证明该命题． 21. 项目化学习 【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《直接三角形的边角关系》之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素材1 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎． 某学校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度． 素材2 如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为，点与F在同一条直线上． 问题解决 任务 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度的长． （结果精确到米；参考数据：，） 22. 综合与实践 【问题情境】 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】 （1）请你解答以上老师提出的问题； 【深入探究】 （2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题． “善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．证明：． 【拓展提升】 （3）如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长． 23. 如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $