4.1.1 有理数指数幂-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 4.1.1　有理数指数幂 (教师独具内容) 课程标准：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系． 教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系． 教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.与()n的区别与联系． 核心素养：1.通过n次方根和n次根式的概念的形成过程发展数学抽象素养.2.通过正确运用根式的运算性质化简求值发展数学运算素养． 知识点一　根式的定义 (1)a的n次方根的定义：若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根． (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，数a的n次方根记作； ②当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n次方根叫作算术根，记作； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作＝0． (3)根式：式子(n∈N，n≥2)叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数． 知识点二　根式的性质 (1)()n＝a． (2)＝. 知识点三　分数指数幂 (1)当a>0，m，n∈N且n≥2时，规定＝a，＝a－． (2)0的正分数指数幂为0，0没有负分数指数幂． 知识点四　有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 1.与()n的区别 (1) 是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 2．分数指数幂的理解 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． 3．在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5)＝有意义，但(－5)＝就没有意义． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a的奇次方根只有一个．(　　) (2)＝4－π.(　　) (3)当n∈N＋时，()n＝－4.(　　) (4)＝|m－n|＝(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)的运算结果为(　　) A．3 B．－3 C．±3 D．± (2)若a为实数，则下列式子可能没有意义的是(　　) A. B. C. D. (3)当a<0时，a＋＋＝________． (4)若x5＝－3，则x＝________． 答案：(1)A　(2)D　(3)1　(4) 　n次方根的概念问题 　(1)64的立方根是________． [解析]　64的立方根是4. [答案]　4 (2)已知x6＝2020，则x＝________． [解析]　因为x6＝2020，所以x＝±. [答案]　± (3)若有意义，则实数x的取值范围为________． [解析]　要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)． [答案]　[－3，＋∞) 【感悟提升】　n次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式的符号由根指数n的奇偶及被开方数a的符号共同确定： ①当n为偶数时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 【跟踪训练】 1．(1)已知a∈R，n∈N＋，给出下列四个式子： ①；②；③；④. 其中无意义的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 答案：A 解析：①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5，所以有意义；③中(－5)2n＋1<0，所以无意义；④中根指数为9，所以有意义．故选A. (2)①16的平方根是________，－27的5次方根是________． ②已知x3＝6，则x＝________． 答案：①±4　　② 解析：①因为(±4)2＝16，所以16的平方根为±4.－27的5次方根为. ②因为x3＝6，所以x＝. (3)若有意义，求实数x的取值范围． 解：要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2. 因此实数x的取值范围是[2，＋∞)． 　利用根式的性质化简求值 　化简下列各式： (1)＋()5； (2)＋()6； (3). [解]　(1)原式＝(－3)＋(－2)＝－5. (2)原式＝|－3|＋2＝3＋2＝5. (3)原式＝|a－3|＝ 【感悟提升】　根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值，必要时还要进行分类讨论． 【跟踪训练】 2．(1)求下列各式的值： ①；②；③()5； ④. 解：①＝－2. ②＝|－9|＝9. ③()5＝2. ④＝＝|x＋y| ＝ (2)若＝3a－1，求实数a的取值范围． 解：∵＝＝|3a－1|， 由|3a－1|＝3a－1，可知3a－1≥0，∴a≥. 故实数a的取值范围为. 　分数指数幂 　(1)计算： ①；②81；③(a·b－1)·(2a－)·(3b)÷(a·b)． [解]　①原式＝＝＝. ②原式＝(34)＝33＝27. ③原式＝(2×3)·a--·b-1+-＝6a0b－＝6b－. (2)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(式子中字母均是正数)： ①·；②；③·；④()2·. [解]　①·＝a·a＝a. ②原式＝a·a·a＝a. ③原式＝a·a＝a. ④原式＝(a)2·a·b＝ab. 【感悟提升】　根式与分数指数幂互化的依据 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝和a－＝＝，其中字母a要使式子有意义． (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂． 【跟踪训练】 3．(1)用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)： ①x；②x－；③x－y. 解：①x＝. ②x－＝ . ③x－y＝. (2)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式： ①·(a<0)；②(b<0)； ③(x≠0)． 解：①原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a) ＝－(－a)(a<0)． ②原式＝(－b)×＝(－b)(b<0)． ③原式＝＝＝x－. (3)计算下列各式(式中字母都是正数)： ①(－0.12)0＋·－()＋；②. 解：①(－0.12)0＋·－()＋＝1＋×－[(3)]＋－1＝1＋1－3＋－1＝－2. ②＝ ＝＝a－1. 1.的值是(　　) A．3 B．－3 C．9 D．－9 答案：B 解析：＝＝－3. 2．已知m10＝2，则m＝(　　) A. B．－ C. D．± 答案：D 解析：∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±. 3．若n<m<0，则－＝(　　) A．2m B．2n C．－2m D．－2n 答案：C 解析：原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，因为n<m<0，所以m＋n<0，m－n>0，所以原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m. 4．将化成分数指数幂为________． 答案：2 解析：＝2. 5．求下列各式的值： (1)(n>1，且n∈N＋)； (2)(n>1，且n∈N＋)． 解：(1)当n为奇数时，＝2－π； 当n为偶数时，＝π－2. (2) ＝|x－y|， 当x≥y时，　＝x－y； 当x<y时，　＝y－x. 一、选择题 1．已知a>0，则a－＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：a－＝＝. 2．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[2，4)∪(4，＋∞) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞) 答案：B 解析：由题意可知所以a≥2且a≠4. 3.＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：＝＝＝＝. 4．计算a＋的结果是(　　) A．1 B．2a－1 C．1或2a－1 D．0 答案：C 解析：a＋＝a＋|1－a|，若1－a≥0，则a＋|1－a|＝a＋1－a＝1；若1－a<0，则a＋|1－a|＝a＋a－1＝2a－1，综上可知，计算的结果为1或2a－1. 5．当有意义时，化简－的结果是(　　) A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 答案：C 解析：因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，－＝－＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝2－x－3＋x＝－1.故选C. 二、填空题 6.的值为________． 答案：－ 解析：＝＝－. 7．若＋＝0，则x2020＋y2021＝________． 答案：0 解析：∵≥0，≥0，且＋＝0，∴即∴x2020＋y2021＝1－1＝0. 8．已知＋1＝a，化简()2＋＋＝________． 答案：a－1 解析：由已知＋1＝a，即|a－1|＝a－1，即a≥1.所以原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1. 三、解答题 9．化简：(1)(x<π，n∈N＋)； (2). 解：(1)因为x<π，所以x－π<0， 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上，＝ (2)因为a≤，所以1－2a≥0. 所以＝＝＝1－2a. 10．将下列根式化为分数指数幂的形式． (1)(a>0)；(2)(b>0)． 解：(1)原式＝＝＝＝a. (2)原式＝[(b)]＝＝b. 11．计算：(1)32－＋0.5－2； (2)1.5－×＋80.25×＋(×)6－. 解：(1)原式＝(25)－＋ ＝2－3－＋22＝－＋4＝. (2)原式＝×1＋(23)×2＋(2)6×(3)6－ ＝＋(23×2)＋22×33－ ＝2＋4×27＝110. 12．(1)化简：－； (2)已知a2x＝＋1，求的值． 解：(1)原式＝－ ＝－(a－b) ＝a－b－(a－b)＝0. (2)令ax＝t，则t2＝＋1， 所以＝ ＝ ＝t2＋t－2－1＝＋1＋－1 ＝＋1＋－1－1＝2－1. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$