1.2.1 命题-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 1.2.1　命题 (教师独具内容) 课程标准：了解命题的概念、构成、否定及逆命题，并能判断命题及其否定与逆命题的真假． 教学重点：写出命题的否定及其逆命题，并判断其真假． 教学难点：命题的否定及其逆命题真假的判定． 核心素养：1.通过命题的否定及其逆命题真假的判定提升逻辑推理素养.2.借助命题的应用提升数学运算素养． 知识点一　逻辑用语 在数学乃至科学中常常用于引入概念、表述规律、推导定理法则或交流信息的词语，经过规范化使之意义更为清楚严谨后，叫作逻辑用语． 知识点二　命题 陈述句可以作出判断，这种判断可能成立，也可能不成立，两者必居其一且仅居其一，这种语句叫作命题．成立的命题叫作真命题，不成立的命题叫作假命题． 知识点三　命题的否定 如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作綈p，读作“非p”．显然，p也是綈p的否定．在p和綈p两者之中，一定有一个为真有一个为假． 知识点四　命题的逆命题 “若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． 当命题“若p，则q”为真，则记作p⇒q，读作“p推出q”． 当命题“若p，则q”为假，则记作pq，读作“p推不出q”． 条件和结论互换了位置，这时称一个是另一个的逆命题． 1．对于常见词语的否定 原词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 都是 至多一个 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 至少两个 2.命题与集合的联系 设A＝{x|p(x)}(使命题p为真的对象所组成的集合)，B＝{x|q(x)}(使命题q为真的对象所组成的集合)，因此，由“若p，则q”成立，可知A⊆B，也就是∁UB⊆∁UA，即“若非q，则非p”成立；反过来，“若非q，则非p”成立，即∁UB⊆∁UA，也就是A⊆B，即“若p，则q”成立． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)语句“陈述句都是命题”不是命题．(　　) (2)命题“实数的平方是非负数”是真命题．(　　) (3)“平行四边形的对角线互相平分”可以看作是“若p，则q”形式的命题．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)下列语句是命题的是________，其中是真命题的是________．(只填序号) ①23＝8； ②函数y＝2x＋1是一次函数； ③若a＋b为偶数，则a，b分别为偶数； ④好人一生平安！ (2)命题“8>10”是________命题(填“真”或“假”)． (3)若a与b是无理数，则ab是无理数，其中该命题的条件是______________________________ ________，结论是__________________________________________． 答案：(1)①②③　①②　(2)假　(3)a与b是无理数　ab是无理数 　命题及其真假 　下列语句： ①你会说英语吗？ ②一个数不是正数就是负数； ③x，y都是无理数，则x＋y是无理数； ④地球是太阳的一个行星； ⑤请把门关上； ⑥x－1＝0； ⑦2＋3＝5. 其中是真命题的是________(填序号)． [解析]　①不是命题，因为它是疑问句，不能判断真假； ②是假命题，因为0不是正数也不是负数； ③是假命题，例如－＋＝0，0不是无理数； ④是真命题； ⑤不是命题，因为它是祈使句，不能判断真假； ⑥不是命题，因为x不确定，不能判断真假； ⑦是真命题． [答案]　④⑦ 【感悟提升】　判断一个语句是不是命题的三个关键点 (1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． (2)命题的语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题． 【跟踪训练】 1．下列语句为命题的是________(填序号)． ①梯形是不是平面图形呢？ ②22024是一个很大的数； ③4是集合{2，3，4}中的元素； ④作△ABC≌△A′B′C′. 答案：③ 解析：①不是陈述句；②不能断定真假；③是陈述句，且能判断真假；④不是陈述句． 　命题的否定及其真假 写出下列命题的否定： (1)面积相等的三角形都是全等三角形； (2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零； (3)若xy＝0，则x＝0或y＝0. [解]　(1)面积相等的三角形不都是全等三角形． (2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零． (3)若xy＝0，则x≠0且y≠0. 【感悟提升】　綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的否定是“至少三个”等． 【跟踪训练】 2．写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：3<2； (2)q：空集是集合A的子集； (3)s：5不是75的约数． 解：(1)綈p：3≥2.命题p是假命题，綈p是真命题． (2)綈q：空集不是集合A的子集．命题q是真命题，綈q是假命题． (3)綈s：5是75的约数．命题s是假命题，綈s是真命题． 　命题的逆命题及其真假 　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题． (1)奇数不能被2整除； (2)实数的平方是正数； (3)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2. [解]　(1)若一个数是奇数，则这个数不能被2整除． 逆命题：若一个数不能被2整除，则这个数是奇数． (2)若一个数是实数，则这个数的平方是正数． 逆命题：若一个数的平方是正数，则这个数是实数． (3)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2. 逆命题：已知x，y为正整数，若y＝3，x＝2，则y＝x＋1. 【感悟提升】　 (1)把命题改写成“若p，则q”的形式，要注意条件及结论的完整性，将条件写在前面，结论写在后面．“若p，则q”是原命题的另一种叙述形式，它的真假性等同于原来的命题． (2)命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”． 【跟踪训练】 3．写出下列命题的逆命题，并判断其真假． (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除； (2)若k＞0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0必有两个相异实根； (3)四条边相等的四边形是菱形． 解：(1)逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0，假命题． (2)逆命题：若方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有两个相异实根，则k＞0，假命题． (3)原命题可以改写成：若一个四边形的四条边相等，则它是菱形． 逆命题：若一个四边形是菱形，则它的四条边相等，真命题． 　命题的应用 　已知命题p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根． (1)若p，q都为真，求实数m的取值范围； (2)若p，q一真一假，求实数m的取值范围． [解]　(1)若p真，则解得m>2； 若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1<m<3. p真q真，即故实数m的取值范围为(2，3)． (2)若p真q假，则即m≥3； 若p假q真，则即1＜m≤2， 故实数m的取值范围为(1，2]∪[3，＋∞)． 【感悟提升】　知命题的真假求参数范围的方法 (1)①一般先求出满足p，q成立的参数范围； ②再根据p，q的真假情况，列出满足条件的不等式组，从而得出参数的范围． (2)利用补集的思想，先求出命题的否定是真命题时参数的取值范围，再对取值范围取补集． 【跟踪训练】 4．已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x<0}，若命题A∩B＝∅是真命题，试求实数a的取值范围． 解：命题A∩B＝∅是真命题， 即A∩B＝∅成立． 当a＝0时，集合A＝∅，满足题意； 当a≠0时，集合A＝，若A∩B＝∅， 则≥0，解得a>0. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥0}． 1．下列语句是命题的是(　　) A．今天天气真好啊！ B．你怎么又没交作业？ C．x>2 D．若x∈R，则|x|>0 答案：D 解析：A是一个感叹句，不能判断真假，所以不是命题；B是问句，不能判断真假，不是命题；C不知道x的值是多少，所以不能判断真假，不是命题；D可以判断真假，因此是命题，且是假命题． 2．原命题“若x≤－3，则x＜0”的逆命题是(　　) A．若x＜－3，则x≤0 B．若x＞－3，则x≥0 C．若x≥0，则x＞－3 D．若x＜0，则x≤－3 答案：D 解析：根据逆命题的定义，知原命题的逆命题为“若x＜0，则x≤－3”． 3．给出下列命题： ①方程x2－2x＝0的根是自然数；②若x是有理数，则x－是无理数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④能被3整除的数，一定能被6整除． 其中的真命题是________(写上所有真命题的序号)． 答案：①② 解析：①方程x2－2x＝0的根为0，2，都是自然数，故为真命题；②若x是有理数，则x－是无理数，故是真命题；③{x∈N|0＜x＜12}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}是有限集，故是假命题；④9能被3整除，但不能被6整除，故是假命题． 4．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________． 答案：[3，8) 解析：由题意得∴3≤m＜8. 5．写出下列各命题p的否定綈p，并分别判断它们的真假． (1)p：矩形一定是正方形； (2)p：1是方程x2－3x＋1＝0的根； (3)p：若a＋b＝0，则a＝－b. 解：(1)綈p：矩形不一定是正方形，是真命题． (2)綈p：1不是方程x2－3x＋1＝0的根，是真命题． (3)綈p：若a＋b＝0，则a≠－b，是假命题． 一、选择题 1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，可作为命题的是(　　) A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 答案：A 解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在我国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题． 2．下列命题中，是真命题的是(　　) A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集 B．{x∈N||x2－1|＜3}是无限集 C．空集是任何集合的真子集 D．方程x2－5x＝0有两个不相等的根 答案：D 解析：对于A，x2＋1＝0无解，所以{x∈R|x2＋1＝0}＝∅，故是假命题；对于B，{x∈N||x2－1|＜3}＝{0，1}是有限集，故是假命题；对于C，空集不是它本身的真子集，故是假命题；对于D，方程x2－5x＝0的根为0，5，故是真命题． 3．“x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否定是(　　) A．若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全不为0 B．若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y不全为0 C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2＋y2＝0 D．若x，y∈R且xy≠0，则x2＋y2＝0 答案：B 解析：“全”的否定为“不全”．故选B. 4．已知A＝{x|2m＋1＜x≤m＋7}，B＝[3，6]，若命题“B⊆∁RA”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．[6，＋∞) B．(6，＋∞) C．(－∞，－4)∪ D．(－∞，－4)∪ 答案：C 解析：若命题“B⊆∁RA”是真命题，则B∩A＝∅.当A＝∅时，则2m＋1≥m＋7，即m≥6.当A≠∅时，则或解得≤m＜6或m＜－4.综上，实数m的取值范围为(－∞，－4)∪. 5．(多选)下列命题是假命题的是(　　) A．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题 B．“全等三角形的面积相等”的否定 C．“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题 D．“矩形对角线相等”的否定 答案：BD 解析：对于A，原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题；对于B，原命题是真命题，则其否定为假命题；对于C，原命题的逆命题为“若|x|＋|y|＝0，则xy＝0”，是真命题；对于D，原命题是真命题，则其否定为假命题．故选BD. 二、填空题 6．下列语句： ①3是15的约数； ②15能被5整除吗？ ③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？ ④3小于2； ⑤矩形的对角线互相垂直； ⑥9的平方根是3或－3； ⑦2不是质数； ⑧2是自然数也是偶数． 其中是真命题的是________． 答案：①⑥⑧ 解析：②③不是命题，④⑤⑦是假命题，①⑥⑧是真命题． 7．命题“若x，y是奇数，则x＋y是偶数(x∈Z，y∈Z)”的逆命题是______________________，它是________命题(填“真”或“假”)． 答案：若x＋y是偶数，则x，y是奇数(x∈Z，y∈Z)　假 解析：原命题的逆命题为“若x＋y是偶数，则x，y是奇数(x∈Z，y∈Z)”，当x＝2，y＝4时，x＋y＝2＋4＝6是偶数，但x，y都是偶数，故其为假命题． 8．若命题“关于x的不等式ax2－2x－3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：因为ax2－2x－3≤0恒成立，所以解得a≤－.故实数a的取值范围是. 三、解答题 9．将下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题． (1)平面内两条平行直线不相交； (2)全等三角形相似； (3)菱形的对角线互相垂直平分． 解：(1)原命题：若平面内两条直线平行，则这两条直线不相交； 逆命题：若平面内两条直线不相交，则这两条直线平行． (2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形相似； 逆命题：若两个三角形相似，则这两个三角形全等． (3)原命题：若一个四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直平分； 逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形． 10．已知p：5x－1＞a，q：x＞1. (1)“若p，则q”为真命题，求实数a的取值范围； (2)“若q，则p”为真命题，求实数a的取值范围． 解：(1)命题“若p，则q”为“若x＞，则x＞1”，由命题为真命题可知≥1，解得a≥4. (2)命题“若q，则p”为“若x＞1，则x＞”，由命题为真命题可知≤1，解得a≤4. 11．已知集合A＝{x|x2－(m＋4)x＋2m＋8＝0}，B＝{x|x＜0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围． 解：因为命题“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅. 设全集U＝{m|(m＋4)2－4(2m＋8)≥0}， 则U＝{m|m≤－4或m≥4}． 假设关于x的方程x2－(m＋4)x＋2m＋8＝0的两根x1，x2均非负， 则所以解得m＝－4或m≥4. 又集合{m|m＝－4或m≥4}关于全集U的补集是{m|m<－4}， 所以关于x的方程x2－(m＋4)x＋2m＋8＝0至少有一个负根时，m<－4. 所以A∩B≠∅时，实数m的取值范围是{m|m<－4}． 12．若下列关于x的三个方程：x2－ax＋4＝0，x2＋(a－1)x＋16＝0，x2＋2ax＋3a＋a2＝0中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围． 解：“三个方程中至少有一个方程有实数根”的否定是“三个方程都无实数根”， 则⇒0＜a＜4， 故三个方程中至少有一个方程有实数根时，实数a的取值范围是a≤0或a≥4. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$