1.1.1 第2课时 表示集合的方法-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 第2课时　表示集合的方法 (教师独具内容) 课程标准：针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 教学重点：1.集合的表示方法.2.区间的概念及其表示． 教学难点：根据具体问题，选择合适的方法表示集合． 核心素养：通过对集合的表示方法及区间的表示的学习培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　集合的表示方法 (1)集合常见的表示方法有：列举法、描述法、区间(以及后面将要学习的Venn图法和数轴表示法等直观表示方法)． (2)列举法：把集合中的元素一一列举出来，这种表示法叫作列举法．常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔． (3)描述法：把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合．这种表示法叫作描述法．一般的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性． 知识点二　区间 数学里最常用的一类集合叫区间． 设a，b是两个实数，a＜b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，符号∞读作“无穷大”或“无穷”，－∞和＋∞分别读作“负无穷大”(或“负无穷”)和“正无穷大”(或“正无穷”)．我们可以把满足条件x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x组成的集合用区间的形式分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)． 定义 符号 数轴表示 {x|－∞<x <＋∞} (－∞，＋∞) {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) 1．使用列举法表示集合时需注意的几点 (1)元素之间用“，”隔开． (2)元素不重复，满足元素的互异性． (3)元素无顺序，满足元素的无序性． (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号． 2．描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，即无法用列举法表示的集合，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法． 3．对区间概念的理解 理解区间的概念时，需注意下列四点： (1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开． (2)区间实质上是一类特殊数集(部分实数组成的集合)的符号表示． (3)区间表示实数集的三个原则：①是连续的数集；②左端点必须小于右端点；③开或闭不能混淆． (4)“∞”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远不能到达，不是一个数，因此以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．(　　) (2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.(　　) (3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　　) (4)集合{x|1<x≤3}可表示为[1，3)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)用列举法表示集合{x∈N＋|x－3≤2}为(　　) A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2，3，4，5} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5} (2)第一象限的点组成的集合可以表示为(　　) A．{(x，y)|xy>0} B．{(x，y)|xy≥0} C．{(x，y)|x>0且y>0} D．{(x，y)|x>0或y>0} (3)不等式2x－1≥3的所有解组成的集合可以用区间表示为________． 答案：(1)D　(2)C　(3)[2，＋∞) 　用列举法表示集合 　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的素数集； (2)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合； (3)不等式组的整数解组成的集合； (4)式子＋(a≠0，b≠0)的所有值组成的集合． [解]　(1)不大于10的素数有2，3，5，7，故不大于10的素数集为{2，3，5，7}． (2)由解得 故一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合为{(1，1)}． (3)由得3<x≤6， 又x为整数，故x的取值为4，5，6，组成的集合为{4，5，6}． (4)∵a≠0，b≠0，∴a与b可能同号也可能异号，则 ①当a>0，b>0时，＋＝2； ②当a<0，b<0时，＋＝－2； ③当a>0，b<0或a<0，b>0时，＋＝0. 故所有值组成的集合为{－2，0，2}． 【感悟提升】　用列举法表示集合应注意的三点 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素． (2)集合中的元素一定要写全，但不能重复． (3)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素． 【跟踪训练】 1．用列举法表示下列集合： (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M； (3)方程组的解组成的集合B. 解：(1)因为－2≤x≤2，x∈Z， 所以x＝－2，－1，0，1，2，所以A＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为2和3是方程的根，所以M＝{2，3}． (3)解方程组得 所以B＝{(3，2)}． 　用描述法表示集合 　用描述法表示下列集合： (1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (2)所有被3除余1的整数的集合； (3)使y＝有意义的实数x的集合． [解]　(1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}． (2)因为被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，所以所有被3除余1的整数的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}． (3)要使y＝有意义，则x2＋x－6≠0. 由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3. 所以使y＝有意义的实数x的集合为{x∈R|x≠2且x≠－3}． 【感悟提升】　用描述法表示集合的注意点 (1)用描述法表示集合，首先应弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． (2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． (3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 【跟踪训练】 2．试用描述法表示下列集合： (1)方程x2－x－2＝0的所有解组成的集合； (2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合； (3)大于4的所有偶数组成的集合． 解：(1)方程x2－x－2＝0的解可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0， 因此，该方程的所有解组成的集合用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}． (2)大于－1且小于7的整数可以用x表示， 它满足的条件是x∈Z，且－1<x<7， 因此，该集合用描述法表示为{x∈Z|－1<x<7}． (3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}． 　区间及其表示 　把下列数集用区间表示： (1)； (2){x|x<0}； (3){x|－2<x≤3}； (4){x|－3≤x<2}； (5){x|－1<x<6}． [解]　(1).　(2)(－∞，0)． (3)(－2，3]．　(4)[－3，2)．　(5)(－1，6)． 【感悟提升】　解决区间问题应注意的五点 (1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}． (2)注意开区间(a，b)与点(a，b)在具体情境中的区别． (3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圆的区别． (4)对于一个不等式的所有解组成的集合，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示． (5)要注意区间表示实数集的几条原则：数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆，用“∞”作为区间端点时，要用开区间符号． 【跟踪训练】 3．(1)若[2a＋1，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围为________． 答案：(2，＋∞) 解析：由题意知3a－1>2a＋1，解得a>2，故实数a的取值范围为(2，＋∞)． (2)不等式2x＋3≤0的所有解组成的集合可用区间表示为________． 答案： 解析：由2x＋3≤0，得x≤－，故不等式2x＋3≤0的所有解组成的集合可用区间表示为. (3)使有意义的x的取值范围为________(用区间表示)． 答案：(－∞，5) 解析：要使有意义，则5－x>0，即x<5，用区间表示为(－∞，5)． 　集合表示法的应用 　(1)已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝(　　) A．{1} B．{1，2} C．{2，5} D．{1，5} [解析]　由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0，解得p＝－3，q＝4，则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3，即(x－1)2－4(x－1)＝0，则x－1＝0或x－1＝4，解得x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}． [答案]　D (2)已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围． [解]　①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝，符合题意； ②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≤0，得m≥，即当m≥时，方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意． 由①②知m＝0或m≥. [条件探究]　(1)若将本例(2)中的“至多只有一个”改为“恰有一个”，如何求解？ (2)若将本例(2)中的“至多只有”改为“至少有”，如何求解？ 解：(1)当m＝0时，A＝，即集合A中只有一个元素，符合题意； 当m≠0时，Δ＝4－12m＝0，即m＝. 综上可知，m＝0或m＝. (2)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素． 由例题解析可知，当m＝0或m＝时，A中有一个元素； 当A中有两个元素时，Δ＝4－12m>0，即m<且m≠0. 所以A中至少有一个元素时，m的取值范围为. 【感悟提升】　集合与方程综合问题的解题策略 (1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数根． (2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用． 【跟踪训练】 4．(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝(　　) A．1 B．2 C．0 D．0或1 答案：D 解析：当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，集合A中只有一个元素． (2)设∈，则集合中所有元素分别为________． 答案：，9 解析：因为∈，所以－a－＝0，解得a＝－，当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝－4×＝>0，由x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝9，所以＝，故集合中所有元素分别为，9. 1．已知集合A＝{x∈Z|－1<x<}，则一定有(　　) A．－1∈A B.∈A C．0∈A D．1∉A 答案：C 解析：因为－1<0<，且0∈Z，所以0∈A.故选C. 2．将集合用列举法表示，正确的是(　　) A．{2，3} B．{(2，3)} C．{x＝2，y＝3} D．(2，3) 答案：B 解析：解方程组得所以集合＝{(2，3)}．故选B. 3．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．平面直角坐标系中，y轴上的点组成的集合为{(x，y)|x＝0，y∈R} B．方程＋|y＋2|＝0的所有解组成的集合为{2，－2} C．集合{y|y＝x2－1，x∈R}与{y|y＝x－1，x∈R}是不相同的 D．不等式2x＋1>0的所有解组成的集合可用区间表示为 答案：ACD 解析：对于A，在平面直角坐标系中，y轴上的点的横坐标为0，纵坐标可以为任意实数，且集合中的代表元素为点(x，y)，所以A正确；对于B，方程＋|y＋2|＝0的解为所以所有解组成的集合为{(2，－2)}或，所以B不正确；对于C，集合{y|y＝x2－1，x∈R}＝{y|y≥－1}，集合{y|y＝x－1，x∈R}＝R，这两个集合不相同，所以C正确；对于D，不等式2x＋1>0的所有解组成的集合为，用区间可表示为，所以D正确． 4．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则－1________B，B＝________． 答案：∉　{0，1} 解析：因为x∈A，所以当x＝－1时，y＝|x|＝1，当x＝0时，y＝|x|＝0，当x＝1时，y＝|x|＝1.所以－1∉B，B＝{0，1}． 5．用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集． (1)由方程x2＋x－2＝0的根组成的集合； (2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； (3)不等式3x＋4≥x的所有解组成的集合． 解：(1)因为方程x2＋x－2＝0的两根为x1＝－2，x2＝1，所以由方程x2＋x－2＝0的根组成的集合为{－2，1}，是有限集． (2)用描述法表示该集合为{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}，是有限集． (3)由3x＋4≥x得2x≥－4，所以x≥－2，所以不等式3x＋4≥x的所有解组成的集合是[－2，＋∞)，是无限集． 一、选择题 1．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　) A．方程y＝2x－1 B．点(x，y) C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D．一次函数y＝2x－1的图象上的所有点组成的集合 答案：D 解析：本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1的图象上的所有点组成的集合．故选D. 2．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是(　　) A．{x|x是小于18的正奇数} B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5} C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5} D．{x|x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5} 答案：D 解析：A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C中t＝0时，x＝－3，不属于给定的集合；只有D是正确的．故选D. 3．下列集合的表示方法正确的是(　　) A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B．不等式x－1<4的所有解组成的集合为{x<5} C．{全体整数} D．实数集R可表示为(－∞，＋∞) 答案：D 解析：A中应是xy<0；B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；C中的“{　}”与“全体”的意思重复．D正确． 4．已知集合A＝{1，2，4}，B＝，则集合B中元素的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：B 解析：因为A＝{1，2，4}，所以B＝＝，所以集合B中元素的个数为5. 5．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．0与{0}表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，2} D．集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 答案：BC 解析：“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故A错误；根据集合中元素的无序性可知B正确；根据集合的表示方法可知C正确；集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举，故D错误． 二、填空题 6．不等式3x－≤x的所有解组成的集合可用区间表示为________． 答案： 解析：由3x－≤x，得x≤，故不等式的所有解组成的集合为，可用区间表示为. 7．两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________． 答案：{3，4，5，6，7}　{x∈N|2<x<8} 解析：设三角形第三边长度为x，根据三角形三边长度的关系得即2＜x＜8.又第三条边长是整数，故第三条边长可取的整数的集合用列举法表示为{3，4，5，6，7}，用描述法表示为{x∈N|2<x<8}． 8．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x－4＝0，a∈R}，若A中至多有一个元素，则a的取值范围是________． 答案：a＝0或a≤－ 解析：当a＝0时，A＝；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.故a的取值范围是a＝0或a≤－. 三、解答题 9．用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的所有解组成的集合； (2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x2－4x＋4＝0的实数根组成的集合； (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 解：(1)解方程组得 故所有解组成的集合可用描述法表示为， 也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}． (3)方程x2－4x＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－4x＋4＝0}． (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}． (5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}． 10．设集合B＝. (1)试判断元素1，2与集合B的关系； (2)用列举法表示集合B. 解：(1)当x＝1时，＝2∈N. 当x＝2时，＝∉N.所以1∈B，2∉B. (2)∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2，3，6， ∴x只能取0，1，4.∴B＝{0，1，4}． 11．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}． (1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？ (2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论． 解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)， 令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b. 故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立． (2)不一定． 证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z， 则a＋b＝3(k＋l)＋3. 当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M， 此时存在m∈M，使a＋b＝m成立； 当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M， 此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立． 故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m. 12．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N＋，b∈N＋}中的元素共多少个？ 解：若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5＋1＝11(个)； 若a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)． 所以集合M中的元素共11＋4＝15(个)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$