5.2.3 第2课时 诱导公式五、六.-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 第2课时　诱导公式五、六 (教师独具内容) 课程标准：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式. 教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用． 教学难点：诱导公式五、六的推导过程及公式的灵活应用． 核心素养：1.通过诱导公式求值提升数学运算素养.2.借助诱导公式进行化简和证明培养逻辑推理素养． 知识点一　公式五 sin＝cosα，cos＝sinα， sin＝cosα，cos＝－sinα． (1)公式五可概括为如下法则：±α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值，前面添上一个把角α看成锐角时原函数值的符号． (2)利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． 知识点二　公式六 　当角α的终边不在坐标轴上时，可以得出以下公式： tan＝＝＝， tan＝＝＝－． 诱导公式在三角形中的几个结论 设A，B，C是△ABC的三个内角，则 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC， cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC， tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC， sin＝sin＝cos， cos＝cos＝sin， tan＝tan＝. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α为第二象限角，则sin＝－cosα.(　　) (2)cos＝－sinα.(　　) (3)tan(270°＋100°)＝.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)已知sin＝，那么cosα＝(　　) A．－ B．－ C. D. (2)已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cos的值为(　　) A．－ B. C. D．－ (3)化简：sin＝________． (4)在△ABC中，已知sin＝，则cos＝________． 答案：(1)C　(2)A　(3)－cosα　(4) 　利用诱导公式化简三角函数式 　化简：－ . [解]　∵sin＝cosα， cos＝sinα， tan＝，cos(3π＋α)＝－cosα， sin(π－α)＝sinα，cos＝－sinα， sin(π＋α)＝－sinα，tan＝－， ∴原式＝－ ＝－sinαtanα＋sinαtanα＝0. 【感悟提升】　用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少． (2)对于kπ±α(k∈Z)和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名． 【跟踪训练】 1．化简：＋. 解：因为tan(3π－α)＝－tanα， sin(π－α)＝sinα， sin＝－cosα，sin(2π－α)＝－sinα， cos＝cos＝－sinα， sin＝－cosα，cos(2π＋α)＝cosα， 所以原式＝＋ ＝－＝＝＝1. 　利用诱导公式求值 　已知cos＝，求值： ＋. [解]　原式＝＋ ＝－sinα－sinα＝－2sinα. 又cos＝，所以－sinα＝. 所以原式＝－2sinα＝. 【感悟提升】　诱导公式应用中需注意的问题 诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件． 【跟踪训练】 2．已知cos(π＋α)＝－，求cos和tan的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cosα＝－， ∴cosα＝，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角，则sinα＝＝， tanα＝＝，故cos＝－sinα＝－， tan＝＝； ②若α为第四象限角， 则sinα＝－＝－， tanα＝＝－， 故cos＝－sinα＝， tan＝＝－. 　诱导公式的综合应用 　已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tanA－sinA的值． [解]　(1)f(α)＝＝cosα. (2)因为f(A)＝cosA＝， 又A为△ABC的内角，所以由平方关系， 得sinA＝＝， 所以tanA＝＝，所以tanA－sinA＝－＝. 【感悟提升】　诱导公式常与函数、方程(组)、三角形等知识综合，解决此类问题的关键是利用诱导公式对式子正确变形．本题利用诱导公式将三角函数的角度统一后，可借助同角三角函数的基本关系求解，这样可避免公式交错使用而导致混乱． 【跟踪训练】 3．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在角α，β满足条件， 则 由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2. ∴sin2α＝，∴sinα＝±. ∵α∈，∴α＝±. 当α＝时，由②，得cosβ＝， ∵0<β<π，∴β＝； 当α＝－时，由②，得cosβ＝， ∵0<β<π，∴β＝，但不适合①式，故舍去． ∴存在α＝，β＝满足条件． 1．已知sin40°＝a，则cos50°＝(　　) A．±a B．－a C．a D. 答案：C 解析：cos50°＝cos(90°－40°)＝sin40°＝a. 2．已知sin＝，α∈，则tan的值为(　　) A．－2 B．2 C．－ D. 答案：C 解析：因为sin＝cosα＝.又α∈，所以sinα＝－＝－，则tanα＝－2，故tan＝＝－. 3．已知tan(3π＋α)＝2，则 ＝________． 答案：2 解析：由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，所以原式＝＝＝＝＝2. 4．若sin＝，则cos2θ－sin2θ＝________． 答案：－ 解析：sin＝cosθ＝，从而sin2θ＝1－cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝－. 5．已知sin＝，求cossin的值． 解：cossin ＝cossin ＝sinsin＝×＝. 一、选择题 1．若tan<0，且cos>0，则θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：A 解析：∵tan＝－<0，∴tanθ>0，即θ是第一或第三象限角．∵cos＝sinθ>0，∴θ是第一或第二象限角．综上，θ是第一象限角． 2．下列与sin的值相等的式子为(　　) A．sin B．cos C．cos D．sin 答案：D 解析：因为sin＝－sin＝－cosθ，对于A，sin＝cosθ；对于B，cos＝－sinθ；对于C，cos＝－sinθ；对于D，sin＝－cosθ.故选D. 3．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝(　　) A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x 答案：C 解析：f(cosx)＝f＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x，故选C. 4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为(　　) A．－m B．－m C.m D.m 答案：B 解析：∵sin(π＋α)＋cos＝－m，即－sinα－sinα＝－2sinα＝－m，从而sinα＝，∴cos＋2sin(6π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－m. 5．(多选)设A，B，C是△ABC的三个内角，则无论△ABC的形状如何变化，下列表达式一定是常数的是(　　) A．sinC＋sin(A＋B) B．cos(A＋B)＋cosC C．tan·tan D. 答案：BC 解析：由A＋B＋C＝π得sinC＋sin(A＋B)＝sinC＋sin(π－C)＝sinC＋sinC＝2sinC；cos(A＋B)＋cosC＝cos(π－C)＋cosC＝－cosC＋cosC＝0；tan·tan＝tan·tan＝·tan＝1；＝＝＝tan.故选BC. 二、填空题 6．化简：sin(450°－α)－sin(180°－α)＋cos(450°－α)＋cos(180°－α)＝________． 答案：0 解析：原式＝sin(90°－α)－sinα＋cos(90°－α)－cosα＝cosα－sinα＋sinα－cosα＝0. 7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝，则sin(α－95°)＝________． 答案： 解析：∵α是第三象限角，cos(85°＋α)＝sin[90°－(85°＋α)]＝sin(5°－α)＝>0，∴5°－α是第二象限角，∴cos(5°－α)＝－，∴sin(α－95°)＝－sin(95°－α)＝－sin(90°＋5°－α)＝－cos(5°－α)＝. 8．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cosA＝－cos(π－B)，则C＝________． 答案： 解析：∵sin＝3sin(π－A)，∴cosA＝3sinA，即tanA＝，又0<A<π，∴A＝.又cosA＝－cos(π－B)，∴cosA＝cosB，即＝cosB，∴cosB＝，又0<B<π，∴B＝，∴C＝π－－＝. 三、解答题 9．求证：＝1. 证明：左边＝ ＝＝1＝右边． ∴原式成立． 10．若sinα＝，求 ＋的值． 解：＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋＝， 因为sinα＝，所以＝10， 即原式＝10. 11．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，求·的值． 解：原式＝·tan2α ＝·tan2α＝－tan2α. 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2， 又α是第三象限角， ∴sinα＝－，cosα＝－， ∴tanα＝，故原式＝－tan2α＝－. 12．已知A，B，C为△ABC的三个内角． (1)求证：cos2＋cos2＝1； (2)若cossintan(C－π)<0，求证：△ABC为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 所以＝－， 所以cos＝cos＝sin， 所以cos2＋cos2＝sin2＋cos2＝1. (2)因为cossintan(C－π)<0， 所以(－sinA)(－cosB)tanC<0， 即sinAcosBtanC<0， 又因为sinA>0， 所以或 所以B为钝角或C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$