精品解析：安徽省六安市轻工中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

轻工中学九年级第一次素养评估数学试卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分150分，考试时问为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列函数关系中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 3. 把二次函数化成的形式是（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为2 B. 函数图象经过原点 C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点 5. 抛物线与抛物线相同点是（ ） A. 顶点相同 B. 对称轴相同 C. 开口方向相同 D. 顶点都在轴上 6. 函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 7. 某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C D. 8. 已知二次函数，使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论中正确的一项是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将折叠，使点的对应点落在边上，折痕为．若的长为，的长为，那么与之间的关系图象大约是(　　) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的开口______．（填“向上”或“向下”） 12. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣2 … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝3时，y＝___． 13. 如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解析式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是___________米．（可用含根号的式子表示） 14. 已知二次函数． （1）当，时，该函数图象的顶点坐标为______； （2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 将二次函数化一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 16. 已知二次函数． （1）填空：抛物线开口方向是______，对称轴______，顶点坐标______； （2）列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象． … … … … 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，四边形是矩形，，两点在轴的正半轴上，，两点在抛物线，已知，求矩形的周长． 18. 已知关于的二次函数（为正数）． （1）当，求二次函数的图象的顶点坐标； （2）写出一个值，使得二次函数（为正整数）的图象与轴的交点的横坐标都为整数，并说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图1是某石拱桥，每个拱形都是相同形状的抛物线，且抛物线的顶点与水平面距离都相同．在其中一个桥洞中，水面宽度为米，如图2，拱顶距离水面米，并建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若水位上涨米，则每个拱桥内水面的宽度是多少？ 20. 某公司在甲、乙两地同时销售一种新开发的“智慧星”机器人用于辅导学生学习．这种机器人的生产成本为元/台．甲、乙两地销售的价格、销售量和广告、管理等各种费用如表所示： 月销售量x（台） 销售价a（元/台） 月广告、管理等各种费用（元/月） 甲地 x 乙地 x （1）若甲，乙两地月销售利润分别为元和元，分别求出与x和与x之间的函数关系式； （2）若甲、乙两地每月共销售台，怎样安排甲、乙两地的销售量，可得最大利润？ 六、（本题满分12分） 21. 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． （1）求篮圈中心到地面距离为多少米． （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ （3）篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 七、（本题满分12.分） 22. 抛物线交轴于，两点，交轴子点，直线经过点和点． （1）①求，的值； ②记抛物线的顶点为，则的面积为______； （2）过点作垂直于轴的直线与抛物线相交于点，求线段的最大值． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线函数表达式； （2）设四边形的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 轻工中学九年级第一次素养评估数学试卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分150分，考试时问为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列函数关系中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数，熟练掌握形如的函数称为是二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不是的二次函数，故本选项不符合题意； B、，不是的二次函数，故本选项不符合题意； C、，是的二次函数，故本选项符合题意； D、，不是的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数平移的规律 “左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：∵抛物线，向左平移1个单位， ∴新抛物线的表达式是， 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的平移，解决本题的关键是掌握平移的规律． 3. 把二次函数化成的形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键． 利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式． 【详解】． 故选：B． 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为2 B. 函数图象经过原点 C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握顶点式的函数图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A、抛物线的开口向上，当时，， 函数的最小值为2，则正确，故符合题意； B、当时，， 函数图象不经过原点，则错误，故不符合题意； C、顶点坐标是，则错误，故不符合题意； D、顶点坐标是，且开口向上，则与轴没有交点，则错误，故不符合题意； 故选A． 5. 抛物线与抛物线的相同点是（ ） A. 顶点相同 B. 对称轴相同 C. 开口方向相同 D. 顶点都在轴上 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．根据二次函数中a的作用得出形状相同、开口方向相反，再利用图象的顶点形式确定顶点坐标，对称轴． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点为，有最低点， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点是，有最高点， ∴抛物线与抛物线的相同点是顶点都在x轴上． 故选：D． 6. 函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像与方程，能够熟练转化方程与图像的交点问题是解题关键．将转化为即方程的解为函数的图象与直线的交点的横坐标，通过图象解题即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴方程的解为函数的图象与直线的交点的横坐标， 由图可知函数的图象与直线的交点只有一个， ∴关于的方程有两个相等的实数根， 故选：C． 7. 某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 根据增长率的问题可直接进行求解． 【详解】设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为， 根据题意得，． 故选：A． 8. 已知二次函数，使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 根据题意先求出当时，或，再由二次函数的基本性质即可得出结果． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∵， ∴当时，或， 故选：D． 9. 如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论中正确的一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解并掌握二次函数图象的性质是解题的关键，根据图象的性质可得，由对称轴为直线可得，根据二次函数与轴的交点和对称轴可得另一个交点为，由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴， 即，故C选项正确，符合题意； ∵二次函数图象经过，对称轴为， ∴二次函数图象与轴的另一个交点为， 当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 10. 如图，在中，，将折叠，使点的对应点落在边上，折痕为．若的长为，的长为，那么与之间的关系图象大约是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的图象，勾股定理，折叠的性质，根据勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】解：∵的长为， 的长为， ∴， 在中，利用勾股定理， 得， 解得：其中； 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的开口______．（填“向上”或“向下”） 【答案】向下 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可解答；掌握，当，抛物线开口方向向下是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向下． 故答案为：向下． 12. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣2 … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝3时，y＝___． 【答案】-4 【解析】 【分析】由表格可知，（0，-2），（2，-2）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用对称性求出横坐标为3的对称点（-1，-4）即可． 【详解】观察表格可知，当x=0或2时，y=-2， 根据二次函数图象的对称性， （0，-2），（2，-2）是抛物线上两对称点， 对称轴为x==1，顶点（1，-2）， 根据对称性，x=3与x=-1时，函数值相等，都是-4． 故答案为：-4 13. 如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解析式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是___________米．（可用含根号的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 解得， ∴米， 故答案为：． 14. 已知二次函数． （1）当，时，该函数图象的顶点坐标为______； （2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、待定系数法等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）将、代入二次函数，然后再配方即可解答； （2）先把函数解析式化成顶点式确定顶点坐标，再判定抛物线开口方向向下，然后根据题意可得时，；当时，，再代入函数解析式求得m、n，最后求和即可． 【详解】解：（1）当、时， ， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）∵， ∴顶点坐标为， ∵正中，， ∴抛物线开口向下， ∵当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3， ∴该抛物线的顶点坐标在第二象限，即，解得：， ∴当时，；当时，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：，． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数是－2、一次项系数是－7、常数项是4 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 16. 已知二次函数． （1）填空：抛物线开口方向是______，对称轴______，顶点坐标______； （2）列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象． … … … … 【答案】（1）向下；直线； （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的作图，以及二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，属于基础题． （1）把二次函数化成顶点式即可求解； （2）根据五点法作图即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数，， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵二次函数， ∴当时，， 当时，，当时，， 列表如下： … 0 1 … … 0 3 4 3 0 … 该函数的图象如图所示． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，四边形是矩形，，两点在轴的正半轴上，，两点在抛物线，已知，求矩形的周长． 【答案】18 【解析】 【分析】此题考查了二次函数上点的坐标特点，矩形的性质，解题的关键是求出 C、 D的坐标． 首先将代入求出，得到，然后将代入求出点C的横坐标为5，然后根据矩形的性质求周长即可． 【详解】∵ ∴点A的横坐标为1 ∴将代入 ∴， ∴ ∴将代入得， 整理得， 解得或5 ∴点C的横坐标为5 ∵四边形是矩形 ∴， ∴矩形的周长． 18. 已知关于的二次函数（为正数）． （1）当，求二次函数的图象的顶点坐标； （2）写出一个值，使得二次函数（为正整数）的图象与轴的交点的横坐标都为整数，并说明理由． 【答案】（1） （2）（答案不唯一）；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）将代入函数解析式，利用顶点坐标公式进行求解即可； （2）令，得到，公式法求出方程的两个根，分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别找出符合条件的k的值即可． 【小问1详解】 解：当时，二次函数为： ，， ∴的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，方程为一元二次方程， ， ， 当时，， ∴，， ∴当时，二次函数的图象与轴的交点的横坐标一个一定为1，另一个不可能为整数； 当时，， ∴，， ∴当时，二次函数的图象与轴的交点的横坐标一个一定为1，当k为3的正整数倍时，另一个根一定为整数； 当时，，二次函数的图象与轴的交点的横坐为整数1， ∴或3的正整数倍时，二次函数（k为正整数）与轴的交点的横坐标都为整数． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图1是某石拱桥，每个拱形都是相同形状的抛物线，且抛物线的顶点与水平面距离都相同．在其中一个桥洞中，水面宽度为米，如图2，拱顶距离水面米，并建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若水位上涨米，则每个拱桥内水面的宽度是多少？ 【答案】（1） （2）水位上涨米，则每个拱桥内水面的宽度是米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用， （1）根据图2建立平面直角坐标系可得，可得顶点坐标，设二次函数解析式为，代入原点即可求解； （2）根据水位上涨米可得，由此求出对应的的值即可求解． 【小问1详解】 解：根据图2可得，二次函数图象经过，此时拱顶距离水面米， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数图象的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴二次函数图象的解析式为； 【小问2详解】 解：若水位上涨米，则， ∴， 解得，， ∴（米）， ∴水位上涨米，则每个拱桥内水面的宽度是米． 20. 某公司在甲、乙两地同时销售一种新开发的“智慧星”机器人用于辅导学生学习．这种机器人的生产成本为元/台．甲、乙两地销售的价格、销售量和广告、管理等各种费用如表所示： 月销售量x（台） 销售价a（元/台） 月广告、管理等各种费用（元/月） 甲地 x 乙地 x （1）若甲，乙两地月销售利润分别为元和元，分别求出与x和与x之间的函数关系式； （2）若甲、乙两地每月共销售台，怎样安排甲、乙两地的销售量，可得最大利润？ 【答案】（1）， （2）运往甲地台，运往乙地台，可得最大利润． 【解析】 【分析】（1）根据“月销售利润=月销售总价-月广告、管理等各种费用-成本”分别表示、即可； （2）设运往乙地m台，总利润为w元，可表示出w与m的函数关系式，根据二次函数的性质即可确定获得最大利润时的分配方案． 小问1详解】 解：根据题意得，， ， ∴，； 【小问2详解】 解：设运往乙地m台，总利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴当时，w取得最大值， （台）， ∴运往甲地台，运往乙地台，可得最大利润． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意表示出函数关系式是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． （1）求篮圈中心到地面的距离为多少米． （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面高度是多少？ （3）篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【答案】（1）3.05米； （2）0.2米； （3）1米； 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征． （1）求出篮圈中心横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案； （3）在中，令得（舍去）或，即知两名运动员之间的距离不能超过1米． 【小问1详解】 解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为， 中，令得， 篮圈中心的纵坐标为3.05， 篮圈中心到地面的距离为3.05米； 【小问2详解】 解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为， ， 解得， 球出手时，他跳离地面的高度是0.2米； 【小问3详解】 解：在中，令得：， 解得（舍去）或， ， 两名运动员之间的距离不能超过1米． 七、（本题满分12.分） 22. 抛物线交轴于，两点，交轴子点，直线经过点和点． （1）①求，的值； ②记抛物线的顶点为，则的面积为______； （2）过点作垂直于轴的直线与抛物线相交于点，求线段的最大值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）①依据题意，对于分别令，可求得A、C，再代入抛物线解析式可以得解； ②依据题意，由①得抛物线为，从而得顶点D，再结合（1）中A、C坐标将转化为进行计算可以得解； （2）由题意得，利用二次函数的性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：①由题意，对于分别令，则 ∴， 令，则 ∴， 再将A、C再代入得， ， ∴，； ②由①得抛物线为， ∴顶点D为， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，轴， ∴， ∴，， ∴， ∵，且， ∴当时，取得最大值． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】（1） （2）S的最大值为 （3）； 【解析】 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， ， ； 【小问2详解】 解：过点P作轴于点N，如图所示， 令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． 【小问3详解】 解：设交y轴于点N，如图， ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， ， ， 令， 解得：，， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$