专题02 一元二次函数、方程和不等式【5大经典基础题+4大优选提升题】-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题02 一元二次函数、方程和不等式 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 不等式的性质 · 题型02、 不等式的取值范围 · 题型03、 基本不等式求最值 · 题型04、 含参数一元二次不等式的解法 · 题型05、一元二次不等式的实际应用 【优选提升题】 · 题型01、含参数的不等式的解法 · 题型02、一元一次不等式的恒成立问题 · 题型03、基本不等式的恒成立问题 · 题型04、一元二次函数、方程和不等式综合问题 不等式的性质 1．（23-24高一上·广东江门·期中）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 2．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东深圳·期中）如果，则正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且 D．若，则 5．（23-24高一上·上海静安·期中）若，下面有六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 不等式的取值范围 6．（22-23高一上·广东佛山·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（20-21高一上·广东江门·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一上·广东揭阳·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·广东惠州·期中）已知，，则的范围是 ． 10．（22-23高一上·广东广州·期中）已知，则的取值范围是 . 基本不等式求最值 11．（23-24高一上·广东江门·期中） （1）已知，求函数的最小值； （2）已知，求的最大值. 12．（23-24高一上·广东广州·期中）（1）已知且，当x取什么值时，取得最小值？最小值是多少？ （2）求的最小值． 13．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知，，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 14．（23-24高一上·广东深圳·期中）（1）已知，求的最小值及取最小值时的值； （2）已知，，，求的最大值及最最大值时，的值． 15．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知为正实数，且. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 含参数一元二次不等式的解法 16．（22-23高一上·湖北武汉·期中）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 17．（21-22高一上·广东茂名·期中）一元二次方程的根为，则当时，不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 18．（23-24高一上·广东江门·期中）已知不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)解关于的不等式：为常数，且 19．（23-24高一上·广东广州·期中）关于x的不等式． (1)当时，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式． 20．（22-23高一上·全国·期中）已知不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解不等式． 一元二次不等式的实际应用 21．（21-22高二上·陕西咸阳）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值． 草坪宽的最大值为15米． 22．（21-22高一上·云南玉溪·期中）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ 23．（21-22高一上·吉林长春·）为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 24．（2023高一·全国·专题练习）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 25．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 含参数的不等式的解法 26．（23-24高一上·广东茂名·期中）关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 或 27．（23-24高一上·广东深圳·期中）若不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若的解集为，求的值； (2)当时，解不等式. 29．（23-24高一上·广东梅州·期中）已知函数（a，）． (1)的解集为或，求实数a，b的值； (2)时，求的解集． 30．（23-24高一上·广东汕头·期中）设. (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，解关于的不等式 一元一次不等式的恒成立问题 31．（23-24高一上·广东广州·期中）若，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 32．（23-24高一上·广东广州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·广东深圳·期中）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 . 35．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围为 ；当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 基本不等式的恒成立问题 36．（22-23高一上·广东清远·期中）设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（    ） A． B．2 C．1 D． 37．（22-23高一上·广东广州·期中）已知，若恒成立，则实数m的取值范围是 ． 38．（22-23高一上·广东深圳·期中）不等式，（）对恒成立，实数的取值范围是 ． 39．（21-22高一上·重庆北碚·阶段练习）已知. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求实数m的取值范围. 40．（22-23高一上·广东广州·期中）已知，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 一元二次函数、方程和不等式综合问题 41．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数 (1)若在上恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 42．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数，． (1)若，恒成立，求a的值； (2)求关于x的不等式的解集． 43．（23-24高一上·广东梅州·期中）设. (1)若命题“对任意实数x，”为真命题，求实数a的取值范围. (2)解关于x的不等式. 44．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，. (1)求不等式的解集； (2)若的解集为，求关于的不等式的解集. 45．（22-23高一上·广东揭阳·期中）已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为． (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值； (2)求关于的不等式的解集． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 不等式的性质 · 题型02、 不等式的取值范围 · 题型03、 基本不等式求最值 · 题型04、 含参数一元二次不等式的解法 · 题型05、一元二次不等式的实际应用 【优选提升题】 · 题型01、含参数的不等式的解法 · 题型02、一元一次不等式的恒成立问题 · 题型03、基本不等式的恒成立问题 · 题型04、一元二次函数、方程和不等式综合问题 不等式的性质 1．（23-24高一上·广东江门·期中）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质即可判断AC，举反例即可判断B，作差法比较即可判断D. 【详解】因为，且，所以，故A正确； 当时，满足，，此时，不满足，故B错误； 因为，所以，又，所以，故C正确； ，又，所以， 即，故D正确. 故选：B. 2．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】∵，当且仅当时取等号， ∴. 故选：D. 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用作差法可确定AD正误；通过反例可说明BC错误. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：D. 4．（23-24高一上·广东深圳·期中）如果，则正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且 D．若，则 【答案】C 【分析】取特殊值可判断ABD错误，利用作差法和不等式性质可得C正确. 【详解】对于A，若，不妨取，则，即A错误； 对于B，当时，，即B错误； 对于C，因为，所以可得，即成立，所以C正确； 对于D，，不妨取，此时，即D错误. 故选：C 5．（23-24高一上·上海静安·期中）若，下面有六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】举反例得到③⑤错误，利用不等式性质确定①②④⑥正确，得到答案. 【详解】对①：，，，故，正确； 对②：，， ，故，正确； 对③：取，，则，，，错误； 对④：，，，故，正确； 对⑤：取，，则，，，错误； 对⑥：要证，即，即，正确； 故选：D. 不等式的取值范围 6．（22-23高一上·广东佛山·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质求出的范围，两式相加即可得出答案. 【详解】因为，，所以，， 所以. 故选：D. 7．（20-21高一上·广东江门·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：因为，， 所以，， 所以， 所以的取值范围是， 故选：D. 8．（21-22高一上·广东揭阳·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质计算可得； 【详解】解：因为，， 所以，即， 故选：D 9．（22-23高一上·广东惠州·期中）已知，，则的范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】， 故答案为： 10．（22-23高一上·广东广州·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先用已知表示所求式子，再根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】设， 所以，解得， 所以， ， 所以， 即的取值范围是. 故答案为： 基本不等式求最值 11．（23-24高一上·广东江门·期中）（1）已知，求函数的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）7；（2） 【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值； （2）利用基本不等式求积的最大值. 【详解】（1）时，根据基本不等式可得：， 当，即时取得等号，故时，函数的最小值是7； （2），故， 根据基本不等式可得：， 当，即时取得等号， 故时，的最大值是. 12．（23-24高一上·广东广州·期中）（1）已知且，当x取什么值时，取得最小值？最小值是多少？ （2）求的最小值． 【答案】（1）当时，取最小值，最小值为；（2）9 【分析】（1）利用“”的代换，转化为积定和最小问题利用基本不等式求解； （2）利用换元法变形转化，再利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）已知且， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，取最小值，最小值为； （2）已知， 令，则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 13．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知，，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式，从而求解； （2）利用，可得，然后利用基本不等式“”的应用，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以，解得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）由，，，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值为. 14．（23-24高一上·广东深圳·期中）（1）已知，求的最小值及取最小值时的值； （2）已知，，，求的最大值及最最大值时，的值． 【答案】（1）最小值为8，取最小值时的值为；（2）的最大值为，此时，的值为. 【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值； （2）利用基本不等式求积的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8，取最小值时的值为. （2）因为，，，所以， 所以，当且仅当，即时取得等号， 所以的最大值为，此时，的值为. 15．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知为正实数，且. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简得到，即可求解. 【详解】（1）解：因为且，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）解：由且，可得， 所以，解得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值. 含参数一元二次不等式的解法 16．（22-23高一上·湖北武汉·期中）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据不等式的解集可知，由根与系数的关系得出b，c与a的关系，代入待求不等式即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为 可知且两根分别为； 根据跟与系数得关系可得解得 带入可得，左右两边同时除以得； 解得. 故选：A 17．（21-22高一上·广东茂名·期中）一元二次方程的根为，则当时，不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据给定条件借助韦达定理用a表示b，c，再代入不等式求解即得. 【详解】因是一元二次方程两个根，则有，即， 不等式化为：，而，则，解得， 所以当时，不等式的解集为. 故选：A 18．（23-24高一上·广东江门·期中）已知不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)解关于的不等式：为常数，且 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的两根，由根与系数的关系求出、的值． （2）不等式为，讨论和，写出对应不等式的解集． 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两根， 由根与系数的关系知，，解得，． （2）不等式即为， 由，则时，解不等式得，或； 时，解不等式得，或； 综上，时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为或． 19．（23-24高一上·广东广州·期中）关于x的不等式． (1)当时，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将代入解不等式即可； （2）分，，，，五种情况解不等式即可. 【详解】（1）当时，不等式为，整理得， 解得或，所以不等式的解集为； （2）不等式可整理为， 当时，，不等式的解集为； 当时，即，则不等式的解集为； 当时，即，则不等式的解集为或； 当时，即，则不等式的解集为； 当时，即，则不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 20．（22-23高一上·全国·期中）已知不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解不等式． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）根据由不等式的解集为或，根据三个二次之间的对应关系，易得的值； （2）原不等式可化为，分类讨论即可求出答案． 【详解】（1）因为不等式的解集为或 所以的根为. 时，； 所以，即， 所以，所以. （2）由（1）知，，即， 即， 当时，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 综上，时，不等式的解集为，时，，不等式的解集为，时，不等式的解集为. 一元二次不等式的实际应用 21．（21-22高二上·陕西咸阳）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值． 【答案】(1)15米 (2)864平方米 【分析】（1）根据“矩形草坪的长比宽至少多5米”列不等式，解不等式来求得草坪宽的最大值. （2）求得绿化面积的表达式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积为300平方米，得， ∵矩形草坪的长比宽至少多5米，∴， ∴，解得， 又，∴， 草坪宽的最大值为15米． （2）记整个绿化面积为S平方米，由题意可得 ， 当且仅当时，等号成立， ∴整个绿化面积的最小值为864平方米． 22．（21-22高一上·云南玉溪·期中）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ 【答案】每件定价最多为元． 【分析】设每件定价为元，依题可知原收入为万元，现收入为万元，即可列出不等式解出． 【详解】设每件定价为元，依题意得，整理得 ，解得：． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 23．（21-22高一上·吉林长春·阶段练习）为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】(1)10;(2)424 【分析】(1)设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等式，求解即可； (2)表示，利用基本不等式，即得最小值. 【详解】设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得， (1)因为矩形草坪的长比宽至少多10米，所以， 所以，解得， 又，所以，所以宽的最大值为10米； (2)记整个绿化面积为S平方米，由题意得， ， 当且仅当米时，等号成立. 所以整个绿化面积的最小值为()平方米. 24．（2023高一·全国·专题练习）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)75人 (2)存在，7 【分析】（1）由题意列不等式，求解即可； （2）由技术人员的年人均投入始终不减少得，调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入得，综合得，根据的范围由不等式恒成立求得值. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则， 解得， 又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人; （2）假设存在实数满足条件. 由技术人员年人均投入不减少得, 解得. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 , 两边同除以得, 整理得, 故有, 因为, 当且仅当时等号成立, 所以, 又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以, ，即存在这样的m满足条件，其值为7. 25．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. （2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 含参数的不等式的解法 26．（23-24高一上·广东茂名·期中）关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解，即可求解. 【详解】由可得； 若，则不等式解集为空集； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为；所以； 综上或， 故选：A 27．（23-24高一上·广东深圳·期中）若不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定是的两根，且，即可求得的值，继而解不等式，即可得答案. 【详解】由不等式的解集是， 可知是的两根，且， 故， 故即，解得或， 即不等式的解集是， 故选：D 28．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若的解集为，求的值； (2)当时，解不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设是方程的两根，结合根与系数关系求参数，注意验证； （2）由题设可得，讨论、、求对应解集即可. 【详解】（1）由题设的解集为，则是方程的两根， 所以，经验证满足题设， 所以. （2）由题设且， 所以， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为. 29．（23-24高一上·广东梅州·期中）已知函数（a，）． (1)的解集为或，求实数a，b的值； (2)时，求的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）当时，等价于，分类讨论，求出当、、时一元二次不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，不等式对应的方程的解为，， 由韦达定理得，解得； （2）当时， 所以等价于，即， 当时，解得，不等式的解集为. 当时，解得或，不等式的解集为或. 当时，解得或，不等式的解集为或. 综上所述， 当时，解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或. 30．（23-24高一上·广东汕头·期中）设. (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，解关于的不等式 【答案】(1)1 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由题意可得和1为方程的两实数根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对一切实数恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可； （3）将不等式化为，进而根据一元二次不等式的解法步骤求解即可. 【详解】（1）由题意，不等式的解集是， 所以和1为方程的两实数根，且， 则，解得. （2）由对一切实数恒成立， 即对一切实数恒成立， 当时，，不满足题意； 当时，则满足，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （3）由不等式，即， 方程的两个根为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，解集为. 一元一次不等式的恒成立问题 31．（23-24高一上·广东广州·期中）若，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，分，，，讨论求解. 【详解】当时，不等式化为，不恒成立，不合题意； 当时，由二次函数图象和性质知不合题意； 当时，要使，对恒成立，则 ，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故选：C. 32．（23-24高一上·广东广州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，即时，不等式化为，符合题意； 当时，即时，应满足， 解得； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 33．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】当时，原不等式为：，对恒成立； 当时，原不等式恒成立，需，解得， 综上得． 故选：C． 34．（23-24高一上·广东深圳·期中）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】参变分离得，再利用基本不等式求的最小值即可得答案. 【详解】关于x的不等式恒成立 即，时恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立， . 故答案为：. 35．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围为 ；当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先确定函数的对称轴方程，然后由对称轴与区间的位置关系，列出不等关系，求解即可；不等关系对恒成立，构造函数，利用二次函数的性质求出，即可得到的取值范围. 【详解】函数的对称轴方程为， 因为函数在上是单调函数， 所以或，解得或， 所以，实数a的取值范围为； 由题意，当时，不等式对恒成立， 即 对恒成立， 令 ， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时， ， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：； 基本不等式的恒成立问题 36．（22-23高一上·广东清远·期中）设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】将不等式恒成立转化为,利用基本不等式求得的最小值，即可得答案. 【详解】∵，，不等式恒成立， 即恒成立，∴只需, ∵，当且仅当时取等号. 所以， ∴，∴m的最小值为， 故选：D 37．（22-23高一上·广东广州·期中）已知，若恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式可得，所以，从而得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 又因为恒成立，所以，解得. 故答案为： 38．（22-23高一上·广东深圳·期中）不等式，（）对恒成立，实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得对恒成立，只需，利用均值不等式求解即可. 【详解】由题意得对恒成立， 只需即可， 因为，，当且仅当即时等号成立， 所以，即，解得. 故答案为：. 39．（21-22高一上·重庆北碚·阶段练习）已知. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）16；（2）. 【分析】（1）利用基本不等式即求； （2）由题知只需求的最值即可. 【详解】（1）∵， ∴， 当且仅当时，即时，有最小值16. （2）∵， ∴，， ∴ ， 当时，有最大值， ∵恒成立， ∴. 40．（22-23高一上·广东广州·期中）已知，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)64 (2) 【分析】（1）利用基本不等式构建不等式，即可得出的最小值； （2）由题可知，恒成立，则，利用“乘1法”和基本不等式即可得出的最小值，从而求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，，， 则，得， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为64； （2）因为恒成立，则， ， 当且仅当即时等号成立，即的最小值为18， 所以实数的取值范围:. 一元二次函数、方程和不等式综合问题 41．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数 (1)若在上恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）由不等式恒成立进行参变分离，结合函数的单调性求出最值得出结果； （2）分成，，三种情况讨论一元二次不等式的解集. 【详解】（1）因为时，恒成立，即恒成立，即， 设，则函数在上单调递减， 所以函数的最大值，，得； （2）关于x的不等式，整理得，即， 当时，即，解得或； 当时，即，解得； 当时，即，解得或； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 42．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数，． (1)若，恒成立，求a的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)时解集为，时解集为，时，解集为． 【分析】（1）由判别式求解； （2）求出的解（用因式分解思想），然后根据解的大小分类讨论可得． 【详解】（1）由题意，∴； （2）不等式化为， 所以，时解集为，时解集为，时，解集为． 43．（23-24高一上·广东梅州·期中）设. (1)若命题“对任意实数x，”为真命题，求实数a的取值范围. (2)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将原问题等价转换为恒成立，对进行分类讨论即可求解. （2）首先将原不等式等价变形为，对含参不等式分类讨论即可求解. 【详解】（1）∵命题“对任意实数x，”为真命题， ∴恒成立，即恒成立. 当时，不恒成立，不满足题意； 当时，知， 即，解得. 故实数a的取值范围为. （2）因为， 所以，即，即， 当时，不等式变为了，解得； 当时，不等式变为了，解得； 当时，，解一元二次不等式，得或； 当时，，解一元二次不等式，得或； 当时，，解一元二次不等式，得. 综上所述：当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为. 44．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，. (1)求不等式的解集； (2)若的解集为，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由得，再分类讨论的取值情况即可得解； （2）由题意可得方程的两个根为和2，可求得，则不等式化为，然后转化为整式不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以由，得，则， 当时，，所以的解集为； 当时，不等式为，故其解集为； 当时，，所以的解集为； 综上：当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为； （2）因为的解集为， 所以方程的两个根为和2， 所以，解得， 所以不等式，可化为， 所以，即， 所以，解得， 即不等式的解集为. 45．（22-23高一上·广东揭阳·期中）已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为． (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)①③，， (2)答案见解析 【分析】（1）利用假设法说明①②、②③均不符合题意，即则只能是①③，即可得到，是方程的两根，利用韦达定理及二次函数的性质计算可得； （2）由（1）可得不等式即，对分、、、四种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）解：假设条件①②符合题意．∵，则二次函数的图象开口向下， ∴的解集不可能为，不满足题意． 假设条件②③符合题意．由，知二次函数的图象开口向下，无最小值，不满足题意． ∴满足题意的条件为①③． ∵不等式的解集为，∴，是方程的两根， ∴，，即，． ∴函数在处取得最小值，∴，即， ∴，． （2）解：由（1）知，则，即， 即． ∴时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或． 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$