第2章 专题强化二 动态平衡问题平衡中的临界和极值问题-【衡中学案】2025年高考物理一轮总复习学案（新教材）

【跟踪训练】 A.六条轻绳的张力大小相等 (2024·河北保定市 联考)一个用于脉晒 B.轻绳AE的张力大小为4mg 的工具其简化模型如图所 示。质量为m、边长为L的 正方形竹网ABCD水平放 置,用长均为L的AF、DE。 D. OEOF绳增长相同长度,AE绳张力大小不变 BF、CF和长均为L的 温馨提示:复习至此,请完成练案[10] 0E.0F六条轻绳静止悬挂于0点,0E、0F的延长线 分别交于AD、BC的中点。下列说法正确的是( 专题强化二 动态平衡问题 平衡中的临界和极值问题 核Il考点·重点突破 点1 动态平衡问题的分析方法 反思提升 (能力考点·深度研析) 平衡中的“三看”与“三想” 1.动态平衡 (1)看到“缓慢”,想到“物体处于动态平衡状态”。 动态平衡就是通过控制某些物理量,使物体的状 (2)看到“轻绳、轻环”,想到“绳、环的质量可忽略不计” (3)看到“光滑”,想到“摩擦力为零”。 态发生缓慢的变化,但变化过程中的每一个状态均可 视为平衡状态,所以叫动态平衡。 类型二 相似三角形法的应用 物体受到三个力的作用,其中的一个力大小、方向 2.做题流程 受力化“动”为“静”画不同状态下的平衡“静“中求“动” 均不变,另外两个力的方向都发生变化,可以用力三角 分析 图构造矢量三角形 形与几何三角形相似的方法。 r定性分析 例{}(多选)(2024·湖北广 →根据矢量三角形边长关系确定矢量 -w 水市阶段练习)如图所 的大小变化 示,仅上表面光滑的半球形物 ,三角函数关系 定量计算 正弦定理 体放在粗糙水平面上,光滑小 →找关系求极值 相似三角形 环D固定在半球形物体球心0 03 考向1 解析法 的正上方,轻质弹赞一端用轻 质细绳固定在A点,另一端用轻质细绳穿过小环D与放 1.对研究对象进行受力分析,画出受力示意图。 在半球形物体上的小球P相连,DA水平。现将细绳固定 2.根据物体的平衡条件列式,得到因变量与自变 点A向右缓慢平移的过程中(小球P未到达半球最高点 量的关系表达式(通常要用到三角函数) ( 前且半球体始终不动),下列说法正确的是 ~ 3.根据自变量的变化确定因变量的变化。 A.弹变长 类型一 合成法和正交分解法的应用 B.小球对半球的压力不变 例{①}(2021·湖南卷)质量为 B....0 C.地面对半球体的摩擦力减小 M的凹静止在水平地 D.地面对半球体的支持力减小 面上,内壁为半圆杜面,截面如 类型三“活结”的动态分析 图所示,A为半圆的最低点,B 如图所示,“活结”两端绳子 为半圆水平直径的端点。凹橹 拉力相等,因结点所受水平分力 恰好与竖直墙面接触,内有一质量为m的小滑块。用 推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动,力F的方 相等,Fsin6. =F. sin6.,故6= 向始终沿圆孤的切线方向,在此过程中所有摩擦均可 8.=6,根据几何关系可知,sine 忽略,下列说法正确的是 -L+L2 nT A.推力F先增大后减小 B.凹糟对滑块的支持力先减小后增大 变,则上下移动绳子结点,6不变,若两杆距离d减小. C.墙面对凹的压力先增大后减小 D.水平地面对回的支持力先减小后增大 # 活结模型:绳 端,其有端系于一光滑刚环上,圆环套在光滑的矩 子上各处的力 形支架ABCD上。现将一物体用轻质光滑挂钩悬挂丁轻绳 大小相等 之上,若使光潜刚环沿着ABCD方向在支架上缓慢地顺时 针移动,圆环在A、B、C、D四点时,绳上的张力分别为动态平衡问是 r F.. F、E、E.则 ) C.F-F A.F<F B.F>F D.F.>F。 左右两侧弹力一样大 由左、右平衡得Fcos二Fcos知二 绳点问右移动时。 程绳点上下移动时 增大则cos父增大。 由几何关系十,一(绳长) sin减小 lcosa+lcosa-:即cos- 2Fsin二mg知F应增 知若/不变则a不变,申竖直方向 大 平衡2Fsina一mg此时F不变 考向2 图解法的应用 类型二“一力恒定,另外两力方向变化但夹角 类型一“一力恒定,另一力方向不变”的动态平衡 一定”的动态平衡问题 问题 作出不同状态的矢量三角形,利用两力夹角不变, □u 1.一个力恒定,另一个力始终与恒定的力垂直,三 结合正弦定理列式求解,也可以作出动态圆 2口5出七 力可构成直角三角形,可作不同状态下的直角三角形。 分析力的大小变化,如图甲所示。 2.一力恒定,另一力与恒定的力不垂直但方向不 变,作出不同状态下的矢量三角形,确定力大小的变 化,在变化过程中恒力之外的两力垂直时,会有极值出 现,如图乙所示。 例(2024·河北沧州联考)如图所示,两根相同的 母慨 轻质弹一端分别固定于M、V两点,另一端分 别与轻绳0P、00连接于0点。现用手拉住0P.00 的末端,使OM、OV两弹长度相同(均处于拉伸状 ☆ 乙 态),且分别保持水平、竖直。最初0P竖直向下,00 例^{①}(多选)如图所示,足够长的斜面固定在水平地 与0P成120夹角。现使0P、00的夹角不变,在保持 面上,斜面上有一光滑小球,跨过滑轮的细线 0点不动的情况下,将0P、00沿顺时针方向缓慢旋转 端系住小球,另一端系在竖直弹策的上端,弹策的下端 70{*。已知弹策、轻绳始终在同一竖直平面内,则在两 . 轻绳旋转的过程中 固定在地面上。手持滑轮,系统处于平衡状态。若滑 ) 轮在手的控制下缓慢向下移动,直到拉着小球的细线 与斜面平行,则这一过程中 ) ### 7r77f7 A.0P上的作用力一直减小 A.弹弹力先减小后增大 B.00上的作用力一直减小 B.弹蓄 力该渐减小 C.0P上的作用力先增大后减小 C.斜面对小球支持力逐渐减小 D.00旋转至水平位置时,00上作用力最大 D.斜面对小球支持力逐渐增大 驾点己 平衡中的临界和极值问题 反思提升 (1)受力分析中的临界与极值问题常与动态平衡问题 (能力考点·深度研析) 结合起来考查,应用图解法进行分析,作出力的平 1.两类问题的特点 行四边形或矢量三角形,常常有助于直观地得到 当某物理量变化时,会引起其他物理量的变化,从 结果。 临界 而使物体所处的平衡状态能够“恰好出现”或“恰 (2)由静摩擦力变为滑动摩擦力、摩擦力方向改变、弹 问题 好不出现”。在问题描述中常用“刚好”“刚能”“恰 力有无及方向改变常常是临界与极值问题中要特 好”等语言叙述 别注意的。 极值 一般是指在力的变化过程中出现最大值或最小值 考向2 临界问题 问题 问题 例{}(2024·海南海口月考)如 图所示,质量为m的物体放 2.突破临界和极值问题的方法 在一固定斜面上,当斜面倾角为 正确进行受力分析和变化过程分析,找到平衡的临 30 *时恰能沿斜面匀速下滑。对物30* 界点和极值点:临界条件必须在变化中寻找,不能 极限法 体施加一大小为F、方向水平向右的恒力,物体可沿斜 在一个状态上研究临界问题,要把某个物理量推向 面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力 极大或极小 当斜面倾角增大并超过某一临界角6。时,不论水平恒 通过对问题分析,根据平衡条件列出物理量之间的 力F多大,都不能使物体沿斜面向上滑行,求 数学 (1)物体与斜面间的动摩擦因数; 分析法 函数关系(画出函数图像).用数学方法求极值(如 (2)这一临界角6。的大小。 求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 图解 根据平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程 分析法 的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定 最大值和最小值 |回 触 3. 突破共点力平衡中的临界、极值问题的步骤 定确定研究对象,并对其受力分析 -画出力的平行四边形或一角形 【跟踪训练】 (极值问题)如图所示,三 明确变过和不变过,结合数学规 o -律对比分析 根长度均为/的轻绳分别 动态问题转化为静态问题 连接于C、D两点,A.B两端被悬 挂在水平天花板上,相距21。现 □35 抽象问题转化为形象同题 在C点上悬挂一个质量为m的 考向1 极值问题 重物,为使CD绳保持水平,在D 例}(2022·浙江1月选 点上可施加的力的最小值为 考)如图所示,学校门 A.mg 口水平地面上有一质量为m D.ng 的石墩,石墩与水平地面间 的动摩擦因数为n,工作人员 (临界问题)某位同学用筷子将质 用轻绳按图示方式匀速移动 中,如图所示,已知球心0与两根筷子 石墩时,两平行轻绳与水平面间的夹角均为6,则下列 在同一竖直面内,小球质量为0.2kg. 说法正确的是 筷子与竖直方向之间的夹角均为37*}, A.轻绳的合拉力大小为&^mg 筷子与小球表面间的动摩擦因数为 cosf 0.875(最大静摩擦力等于滑动摩擦力),取重力加速度 B.轻绳的合拉力大小为mg g=10 m/s}, sin37*=0. 6,cos37*=0.8。则每根筷子 cos θ+usin6 对小球的压力至少为 A.5 N B.7.5 N C. 10 N C.减小夹角9,轻绳的合拉力一定减小 D. 12.5N D.轻绳的合拉力最小时,地面对石墩的摩擦力也 温馨提示:复习至此,请完成练案[11] 最小该夹角的余弦值为m月=品。一器有2a=B=P解得 N=P 册c,T一胎，由题缓慢地将小球从4点缓樱右移过程中， F=s30.2N,故选C D0,P0不变，PD变小，可见T变小：N不变。即知弹簧的弹力 12.AD由题意可知，当9=37°时，木块恰能静止在斜面上，则 变小，弹簧变短。由牛顿第三定律知小球对半球的压力”不 mg0s37°=mgin37°，解得μ=0.75，故A正确：现将0改 变，故B正确，A错误：对半球体受力分析，设小球对半球体的 为30°，在A与斜面间放一质量为m的光带圆柱休B,对A受 压力与水平方向夹角为8.由平衡条件可知N'cs9=f,N'sin8 力分析，则最大静摩擦力'=μN',N”=mg0%30°：而N= +Mg=F、,N'大小不变，小球沿半球体表面上移，8变大，可知 mgin30°，当”<mngsin30°+mogsin30°时，A相对斜面向下滑 地面对半球体的摩擦力∫减小，地面对半球体的支持力F、增 动，当f'>mgsin30°+mogsin30°，A相对斜面不滑动，因此A、 大，故C正确，D错误 B是否静止在斜面上，由B对A弹力决定，故B错误：若m= 例3：CD[速解指导]晾衣绳模型：近小远大恒不变→绳长不 m,则mngsin30°+mogsin30°=mgf=μW'=0.75×mg0s30 变，绳于端点水平间距d变小→绳子拉力变小 3 8mg:因f<mgsin30°+m,gsim30°，所以A滑动，A受到 【解析]设绳子两增点所悬点的水平距离为山，绳长为1，绳子 拉力为T,绳子与竖直方向之问的夹角为9，物体的质量为m。 斜面的滑动摩擦力，大小为3,2mg,故C错误：若m=4m,则 根据共点力平衡有20s8=mg,im6=了，T=下，可 mgsin30°+mgsi血30°=号mg:面f=u=0.75×mges30 21-下 见，d相等，T相等，所以F。=F,F=F,放A错误，C正确：d ÷3 2mg:此时/>mgsin30°+m,gsin30e,A不滑动，A受到 大，T也大，F。<F,F>FB错误，D正确e 例4：BD在缓馒移动过程中，小球在重力G、斜面F、 斜面的静摩擦力，大小为mgsin30°+mogsin30°=2mg,故D 对其的支持力F、和细线上的张力F,三力的作 正确。 用下保持动态平衡，故三个力可以构成一个封 13.C设输电线在A,B,C三个位置的拉力分别为F,F,Fc,F 闭的矢量三角形如图所示，因G的大小和方向 一定沿着弧线切线方向，即水平方向，设A、B间输电线的质量 始终不变，F、的方向不变，大小可变，F,的大 为m,对AC段输电线，根据平衡条件，在竖直方向有F,a= 小，方向都在变，因此可以作出一系列矢量三角 4mg,在水平方向有F,s血a=F:,对BC段输电线，根据平衡 形，由图可知，B逐渐增大，F只能变化到与人 垂直，故F,是逐渐变小的，因弹簧弹力与F,大G 条件，在竖直方向有FcmB=子mg,在水平方向有F,smB。 小相等，则弹簧弹力逐渐诚小，选项BD正确，A,C错误 例5：A初状态系统平衡时，两弹簧弹力相等，合力与两弹簧夹 F.联立解得=60°，C正确，A.B,D错误 45斜向左上方，则由0点受力平衡知：OP,0Q两绳拉力合力斜 专题强化二动态平衡问题平衡中的临界和极值问题 向下与P夹45°角。保持0点不动，则两弹簧伸长状态不变 合力不变，将OP,OQ沿顺时针方向缓慢旋转0°，此过程0P、 例1：C对小滑块进行受力分析，设小滑块与圆心F 0Q合力不变，而两力夹角不变，根据力三角形法可作图如下： 的连线与竖直方向的夹角为8，凹槽对小滑块的 支持力为N,则有F=mgsin 6,N=mgcos0.8由 .0 0°增加到0°的过程中，推力F一直增大，凹槽 对小滑块的支持力N一直减小，故A、B错误：对 ◆(3M+阳架 凹槽和小滑块整体进行受力分析，如图所示，设地面对凹檀的 支持力为N,墙面对四槽的压力为N,则由平衡条件可得N,= 1 Fes0.N+Fsin0=(M+m)g,联立可得N=2 mgsin20,N,= 由图可以看出，在旋转70°的过程中，表示OP的拉力T长度 直在减小.说明OP上的作用力一直藏小：表示OQ的拉力Tm g+mg©s8.可知N2先增大后减小，N,一直减小，故C正确 长度先增大后减小，说明0Q上的作用力先增大后减小：当0Q D错误。 旋转至水平位置时，00对应的圆周角为180°-60°-45°=75 例2：BC以小球为研究对象，分析小球受力情况：重力G,细线的 <90°，说明此时OQ拉力不是最大值。故A正确，B,C,D错误 拉力T和半球面的支持力N,作出N,T的合力F,由平衡条件得 6:B设两根轻绳的合拉力为F,对石墩受力分析如图1.根据 知F=G 平衡条件有Fcos 0=∫，FinB+F、=mg,且μFy=人，联立可得F A s+4 sin 'A错误，B正确：上式变形得F= mng ，其中ma=,根据三角函数特点，由于不 √1+4sin(8+a 知道开始时(8+α)的值，因此减小9，轻绳的合拉力F不一定减 小，C错误：根据上述讨论，当9+a=90°时，轻绳的合拉力F最 G 小，而摩擦力f=Fs0=mgcs8 tmg N F T 由△NFP与△P0相似可得%=D将F=G.代人得 sA+asin0产1+utan分可知增大夹 角8，摩擦力一直减小，当8趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳 486 的合拉力F最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小.D错误。跟踪训练2：C筷子对小球的压力最小，且小球悬停在空中，此时 (本题的C,D选项还可以这样判断：设下为地面对石墩的支持 小球有下滑的趋势，摩擦力为最大静摩擦力，沿筷子向上，小球 力F、与摩擦力f的合力，B是摩擦力与F间的夹角，则nB= 受力平衡。在竖直方向上有2fes9-2Nsin8=mg/=uN,解得 B。上，即不论R,了怎么变化，合力P的方向总保持不变，因 N=2u0-m0)=10N,A,B.D错误.C正确。 此可将四力平衡转化为如图2所示的三力平衡问题，由矢量三 练案[11] 角形可知，随着日减小，绳子的合拉力F可能先减小后增大，也 可能一直增大，关键是看初始时8的大小：摩擦力与支持力的合1.B设O小与0B之间的夹角为a,对0点受力分析可知F:=G 力F随着8的减小而增大，故地面对石城的摩擦力∫随着8的 减小一直增大，即∫的最小值不与轻绳合拉力F的最小值对应。 区。月，。因斜梁加长，所以角变大，由数学知羽 故C,D错误。) 可知，F,变小，F变小，B正确.A、C、D错误 9-0 图2 2.B轻绳b穿过圆环，一端拴连一个物体.可知轻绳b的拉力与 m:(号 (2)60 物体重力相等，根据力的合成法则可知轻绳b与连接物体绳子 拉力的合力F方向与a绳共线，用力拉住另一端C将物体吊 [解析](1)如图甲所示，未慈加力F时，对物体受力分析，由 起，可知绳a与竖直方向的夹角变大，故A、D错误：轻绳b与F 平衡条件得mgin30°=umge0%30 的夹角变大，则绳b的倾斜段与绳a的夹角变小，故B正确：根 解得u=tm30°= 3 据力的合成法则可知，两分力的夹角变大，合力变小，故绳中 的张力变小，故C错误。故选B。 3.AD在小球A缓慢向上移动的过程 中，小球A处于三力平衡状态，根据平 30g 衡条件知小球A的重力mg与半圆环 对小球的支持力N的合力与细绳的拉 力T等大、反向，共线，作出mg与N的 (2)设斜面慎角为a,受力情况如图乙所示，由平衡条件得Fsa= mgsin a+F', 合力，如图所示，由三角形相似有 BO F'=mgeos a+Fsin a Fr=uF' A0-BA0,B0、mg都不变，则N大 解得F=mgsin o+mgeos a 小不变，方向始终背离圆心O。故A,D正确，BC错误。 cos a-usin a 4.C对篮球受力分析如图所示， 当cosa-usin a=0,即ana=3时，F→￥，即“不论水平恒力 F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，陆界角0=： =60°。 跟踪训练1：C由对称性可知，AC绳和BD绳与竖直方向的夹角 21-1 2 相等，设均为0，由几何关系可知血0=千=2，则0=30° 设篮球质量m,由于篮球处于静止状态，所以F,和mg的合力 对C点进行受力分析，由平衡条件可知，绳CD对C点的拉力 FD=mgan30°，对D点进行受力分析，绳CD对D点的拉力F2 大小等于月.则有片器。二gR:gm0=0ma.放 =Fa=mgtan30°，故F是恒力，BD绳对D点的拉力F,方向 F>F,F>G,故A,B错误：对篮球进行受力分析如图所示 一定，又F,与在D点施加的力F,的合力和F,等值反向，如图 所示，由图知当F垂直于绳BD时，F最小，由儿何关系可知， Fa=Fi血60°=之mg.C正确。 阳 绕0缓慢把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度， 图中得B缓慢下移，即F,'=F,F,'=F2,则F减小，F也减 小，故C正确，D错误。放选C。 487-