精品解析：河南省周口市西华县致远外国语学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2024−2025学年第一学期教学质量检测一 九年级数学人教版 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后的括号内． 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化成一般形式为，则的值为（ ） A. 10 B. −10 C. 8 D. 3 4. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 丙和丁 C. 甲和丁 D. 乙和丙 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 8 6. 已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 7. 随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，绵阳全市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（　　） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 已知三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 6或10 B. 10 C. 6 D. 12或10 10. 在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有． 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ） A. 只有丙说得错 B. 只有乙说得错 C. 只有甲说得对 D. 甲、乙、丙说得都对 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程配方后得到，则_________． 12. 已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是_____． 13. 对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较大的数，如：，则方程的解为_________． 14. 抛物线的图像与轴交于点为常数，则的最小值为_________． 15. 如图，抛物线的对称轴是，下列结论： ①；②；③当时，随的增大而减小；④．则正确的结论是_________．（填序号即可） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数． （1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）若是二次函数图像上的两个点，且，请比较与的大小． 18. 已知关于的方程． （1）若是方程的解，求的值； （2）若原方程有实数根，求的取值范围； （3）若方程的两根分别为，且，求的值． 19. 如图，抛物线经过、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，将线段向右水平移动个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出的取值范围． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 【新情境】如图1是一个高脚杯的剖面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． ． （1）求杯体所在抛物线的解析式； （2）将杯子向右平移，并倒满饮料，如图2，过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面高度（即液面到点所在水平线的距离）低于，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围． 22. 为实现“全民健身”，某区政府准备开发城北一块长为，宽为的矩形空地． （1）方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，则这块草坪的面积为________； （2）方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽度为的小路，使这块草地的面积为，求的值； （3）方案三：修建一个面积为的矩形篮球场，使相邻两边的差为6m，若比赛用的篮球场要求长为，宽为，且满足．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由． 23. 如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线上有一点，使得，求点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标及的周长的最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年第一学期教学质量检测一 九年级数学人教版 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后的括号内． 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴是含有的二次项， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，令，求出y的值即可求解． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故选D． 3. 将一元二次方程化成一般形式为，则的值为（ ） A. 10 B. −10 C. 8 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．把化为一般形式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程化成一般形式为， ∴． 故选A． 4. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 丙和丁 C. 甲和丁 D. 乙和丙 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了把二次函数一般解析式化成顶点式，以及二次函数顶点式的图象和性质，观察每一项的变化，发现甲将老师给的式子等式右边缩小两倍，到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标． 【详解】解：老师：， 可得顶点坐标为． 根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为，所以错误的只有甲和丁． 故选：C． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：D． 6. 已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线图象性质可得A点是抛物线顶点坐标，再根据顶点坐标公式进行求解即可. 【详解】∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A， ∴函数的顶点坐标是， ∴， 解得， 经检验均符合 ∴该抛物线的解析式为. 故选D. 【点睛】本题主要考查抛物线的性质和顶点坐标公式，解决本题的关键是要熟练掌握抛物线的性质和顶点坐标公式. 7. 随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，绵阳全市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】解：设全市充电桩数量的年平均增长率为， 根据题意得， 解得（舍去）， 故全市充电桩数量的年平均增长率为． 故选C． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．本题可先由一次函数，图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，但图象过点，求得，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 9. 已知三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 6或10 B. 10 C. 6 D. 12或10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法、勾股定理的逆定理．先解一元二次方程求出该方程的实数根，再根据三角形的三边关系定理得出第三边，然后得出这个三角形是直角三角形，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：， 因式分解得， 解得或， ∵， ∴不符合题意， 第三边长度为4． ∵， ∴该直角三角形是直角三角形， 分两种情况： 这个三角形的面积为． 故选C． 10. 在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有． 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ） A. 只有丙说得错 B. 只有乙说得错 C. 只有甲说得对 D. 甲、乙、丙说得都对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得点移动到点的最短路程为，即可判断乙说得对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断丙说得错． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有；故甲说得对； 将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点移动到点的最短路程为，故乙说得对； ， 当时，， 随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段变短，故丙说得错． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程配方后得到，则_________． 【答案】26 【解析】 【分析】此题考查的是解一元二次方程−−配方法，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．把配方后与比较得出b，c的值，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程配方后得到， ∴， ∴． 故答案为：26． 12. 已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题， 抛物线与轴没有交点，则，进而求解，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：若抛物线与轴没有交点， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较大的数，如：，则方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根据方程的特点选取适当的方法求解是关键．分与两种情况讨论即可． 【详解】解：当即时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）； 当即时，， ∴， ∴， ∴或， ∴（舍去），． 综上可知，方程的解为，． 14. 抛物线的图像与轴交于点为常数，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与x轴的交点问题、二次函数的图像与性质，先利用二次函数的交点式化为顶点式，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线的图像与x轴交于点，， ∴ ， ∴当时，y有最小值，为． 故答案为： 15. 如图，抛物线的对称轴是，下列结论： ①；②；③当时，随的增大而减小；④．则正确的结论是_________．（填序号即可） 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由题中所给的二次函数图象，判断出符号即可确定①，由抛物线对称轴可确定②，由增减性可确定③，令，代入函数解析式即可确定④，从而确定答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的对称轴位于轴右侧知异号，则；由抛物线与轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由该抛物线的对称轴是直线知，则，故②正确； 由抛物线的对称轴为，则当时，随的增大而减小，故③错误； 由图象可知当时得，且，则，故④正确； 故答案为：②④． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法． （1）移项后用因式分解法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 已知二次函数． （1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）若是二次函数图像上的两个点，且，请比较与的大小． 【答案】（1）抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上的点的特征的解题的关键． （1）利用配方法以及待定系数法解决问题即可； （2）利用图象法结合二次函数的性质即可判断． 【小问1详解】 解：， ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线的开口向下， 时，随增大而减小，时，随增大而增大． ， ． 18. 已知关于的方程． （1）若是方程的解，求的值； （2）若原方程有实数根，求的取值范围； （3）若方程的两根分别为，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3）m的值不存在 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）把代入方程，即可求解； （2）分两种情况讨论：当，即时，原方程可化为一元一次方程，有实数根；当，即时，原方程为一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式得到，代入即可求解； （3）根据一元二次方程根与系数的关系得到，求解并检验即可解答． 【小问1详解】 解：∵是方程的解， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：当，即时， 原方程可化为，是一元一次方程，有实数根； 当，即时，原方程为一元二次方程， 要使方程有实数根， 则， 解得． 综上，要使方程有实数根，的取值范围是； 【小问3详解】 解：根据韦达定理有， ∵， ∴，解得， 经检验，是方程的解， 由（2）可知，，则4应舍去， ∴m的值为不存在． 19. 如图，抛物线经过、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，将线段向右水平移动个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，平移的性质，关键是让线段运动起来，找到临界值． （1）由点坐标和，利用交点法可求抛物线的解析式； （2）先求出，求出点关于对称轴的点的坐标为，得出的最小值2；求出点平移到点时，得出的最大值为4，可得结论． 【小问1详解】 解：抛物线与轴的交点坐标为、两点， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，代入，得， ． 线段向右水平移动个单位长度，点的对应点在抛物线上， 点的对应点与点关于抛物线的对称轴对称， 此时点的对应点的坐标为的值为2； 当点的对应点在抛物线上，即点平移到点，此时的值为4， 若平移线段后与抛物线只有一个交点时，的取值范围为． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】50元 【解析】 【分析】设该品牌头盔的实际售价为元，则此时销量为个，根据利润单个利润数量列出方程求解即可． 【详解】解：设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意，得：， ∴， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解答本题的关键． 21. 【新情境】如图1是一个高脚杯的剖面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． ． （1）求杯体所在抛物线的解析式； （2）将杯子向右平移，并倒满饮料，如图2，过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面高度（即液面到点所在水平线的距离）低于，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数解决实际应用题，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质等知识，读懂题意，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，得到，再由待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）先由二次函数图象的平移得到平移后，点，当液面高度为时，液面到轴的距离为，设液面与高脚杯的交点分别为，如图所示，列式得到，利用待定系数法确定直线和直线的解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：，杯子的高度（即之间的距离）为， 设抛物线的解析式为， ，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为， 平移后的解析式为，平移后，点的坐标为， 当液面高度为时，液面到轴的距离为， 设液面与高脚杯的交点分别为，如图所示： 当时，即，解得， 点， 设直线的解析式为， 由题意可得，解得，即直线的解析式为； 设直线的解析式为， 由题意可得，解得，即直线的解析式为； 剩余饮料的液面的高度低于时，的取值范围是． 22. 为实现“全民健身”，某区政府准备开发城北一块长为，宽为的矩形空地． （1）方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，则这块草坪的面积为________； （2）方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽度为的小路，使这块草地的面积为，求的值； （3）方案三：修建一个面积为的矩形篮球场，使相邻两边的差为6m，若比赛用的篮球场要求长为，宽为，且满足．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由． 【答案】（1） （2）1 （3） 这个篮球场能用做比赛， 理由如下：设矩形较短的边为，则较长的边为， 由题意得， 解得（舍去）， 所以较长的边为， ∴满足比赛场地的要求． 这个篮球场能用做比赛． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）用矩形空地的面积减去小路的面积即可； （2）根据草地的面积为列方程求解即可； （3）设矩形较短的边为，则较长的边为，根据面积为列方程求解即可． 【小问1详解】 由平移的性质可知，小路的面积等于长为21米，宽为1米的矩形， ∴草坪的面积为． 故答案为：651； 【小问2详解】 由题意可得， 解得（舍去）． 的值为1； 【小问3详解】 略 23. 如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线上有一点，使得，求点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标及的周长的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或或 （3）点的坐标为；存在，最小值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出，由得，设点到轴的距离为，利用三角形面积公式求出，代入解析式可求出点的坐标； （3）由点与点关于对称轴直线对称，可知的周长最小值为，求出直线的解析式为，可求出点Q的坐标，由勾股定理求出，，进而可求出的周长的最小值． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过， 解得． 这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得， ， ， ， ， ． 设点到轴的距离为，则， 解得． 当时，即， 解得． 当时，即， 解得． 满足条件的点的坐标为或或； 【小问3详解】 解：存在． ， ∴抛物线的对称轴为直线． 点与点关于对称轴直线对称， 连接与交于点，则点即为所求， 此时的周长最小，其最小值为， 设直线的解析式为， 由题意可得 解得 直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， ∴，， 此时的周长最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，以及勾股定理等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $