专题28.1 锐角三角函数（7个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

28.1 锐角三角函数（7个考点） 【考点1 锐角三角函数的概念】 【考点2 求角的函数值】 【考点3 已知函数值求边长】 【考点4 特殊角三角函数值】 【考点5 同角三角函数的关系】 【考点6 互余两角三角函数的关系】 【考点7三角函数的计算】 【考点1 锐角三角函数的概念】 1．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 4．在，， ，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．在中，，设，，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，，的余弦值为 ． 11．如图，在中，，，，则 ． 【考点2 求角的函数值】 12．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 13．如图，点A、B、C是边长相同的正方形网格中的三个格点（即正方形的顶点），则的值为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，点D是延长线上一点，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【考点3 已知函数值求边长】 18．在中， 则 的值为（     ） A． B． C． D． 19．如图，菱形周长为，，垂足为，，则长为（    ） A． B． C． D． 20．在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 21．如图，在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．如图，已知是的弦，半径于点D，过点B的切线与的延长线交于点P，连接，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 23．在中，，斜边，，则 ． 24．在中，，，，则 25．中，，，，则的长为 ． 26．如图，在中，，，，则 ． 27．如图，在中，，，点D在上，连接，使得，以为边向外作，若 ，，则边的长为 ． 【考点4 特殊角三角函数值】 28．的值为（   ） A． B． C． D． 29．的相反数是（    ） A． B．1 C． D． 30．已知在一个圆中，直径为，弦相交于点，若，则（    ）． A． B．2 C． D． 31．的值等于（   ） A．1 B． C． D．2 32．计算的值为（    ） A． B． C． D． 33．的值等于（    ） A．0 B． C． D． 【考点5 同角三角函数的关系】 34．已知为锐角，且，那么的正切值为（    ） A． B． C． D． 35．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 36．已知，是锐角，则的值是（    ） A． B． C． D． 37．已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 38．△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanA的值是（　　） A．2 B． C．2 D． 39．已知α是锐角，cosα＝，则tanα的值是(       ) A． B．2 C．3 D． 40．已知，为锐角，则的值为（ ） A． B． C． D． 【考点6 互余两角三角函数的关系】 41．在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 42．在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于(    ) A． B． C． D． 43．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=那么等于（    ） A． B． C． D． 44．在中，，，则的值为(　　) A． B． C． D． 45．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB的值为(　　) A． B． C． D． 46．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为（　　） A．1 B． C． D． 47．在中，，，则的值为 ． 【考点7三角函数的计算】 48．计算：． 49． 计算：． 50． 计算：． 51．计算：． 52．计算： 53．计算： 54．计算：． 55．计算：． 56．计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 28.1 锐角三角函数（7个考点） 【考点1 锐角三角函数的概念】 【考点2 求角的函数值】 【考点3 已知函数值求边长】 【考点4 特殊角三角函数值】 【考点5 同角三角函数的关系】 【考点6 互余两角三角函数的关系】 【考点7三角函数的计算】 【考点1 锐角三角函数的概念】 1．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，根据正弦的定义解答即可．掌握锐角的对边a与斜边c的比叫做的正弦成为解题的关键． 【详解】解：在中，， 故选：A． 2．如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 故选A． 3．在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 【答案】D 【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作”求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都扩大5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：D． 4．在，， ，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦的定义可得，即可求出． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求一个角的余弦值，解题的关键是掌握余弦等于邻边与斜边之比，正弦等于对边与斜边之比． 5．在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵在中，，， ∴，故A正确，符合题意， ，故B错误，不符合题意， ，故C错误，不符合题意， ，故D错误，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边． 6．在中，，设，，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可得： ，，， ∴，，，， 故A选项成立，B，C，D不成立， 故选A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 7．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 8．如图，在中，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵在中，，， ∴，故A错误，不符合题意， ，故B错误，不符合题意， ，故C错误，不符合题意， ，故D正确，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边． 9．在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【详解】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 10．在中，，的余弦值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦．根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键．根据余弦函数的应以即可解答．在直角三角形中，余弦为邻边比斜边． 【详解】解：在中， ． 故答案为：． 【考点2 求角的函数值】 12．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可．本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ， 故选：A． 13．如图，点A、B、C是边长相同的正方形网格中的三个格点（即正方形的顶点），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，先由网格的特点得到，在中，求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 14．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键． 先由菱形的性质得，再由勾股定理求出，然后由锐角三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ， ， ， 故选：C． 15．如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，可求得，，从而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：A． 16．如图，在中，，点D是延长线上一点，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，特殊直角三角形的性质等知识，如图，设．解直角三角形求出，，，可得结论． 【详解】如图，设． 在中，，， ，， ， ∴． 故选：C． 17．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了锐角三角函数定义，根据正切函数的定义，可得答案．熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故选：D． 【考点3 已知函数值求边长】 18．在中， 则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形．熟练掌握正弦和余弦的定义，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 由正弦值得到，设，则，由勾股定理可求得，根据余弦定义即可求出答案． 【详解】如图，    在中， ，， ∴设，则， ∴， ∴． 故选：B． 19．如图，菱形周长为，，垂足为，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，根据题意得出，，勾股定理求得，进而可得，最后利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵菱形周长为， ∴ ∵，， ∴，则 ∴ ∴， 故选：B． 20．在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：A． 21．如图，在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数的求值方法，勾股定理，掌握三角函数的计算方法，图形几何分析是解题的关键．根据，设，则，运用勾股定理可求出的值，根据正弦值的定义即可求解． 【详解】解：∵，则， ∴设，则， ∵是直角三角形，， ∴， ∴在中，， 故答案为：A． 22．如图，已知是的弦，半径于点D，过点B的切线与的延长线交于点P，连接，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，正切函数的定义．利用正切函数的定义得到，利用垂径定理结合勾股定理求得，推出，，，在和中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设，则， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得（舍去）或， ∴，，， 设，则，， ∵是的切线， ∴， 在和中，， 即， 解得， ∴， 故选：C． 23．在中，，斜边，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正弦的定义是解决问题的关键，直接利用正弦的定义计算出的长． 【详解】解：在中， ∵斜边， ∴，即 ∴． 故答案为：． 24．在中，，，，则 【答案】8 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦、余弦的定义是解题关键． 根据题意得出，确定，然后再利用余弦求解即可． 【详解】解： ，， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：8． 25．中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．利用三角函数值即可求出的长． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴． 故答案为：． 26．如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】考查解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．根据，求出，再由勾股定理求出斜边的长即可． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．如图，在中，，，点D在上，连接，使得，以为边向外作，若 ，，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过点A作边的垂线，构造全等三角形，再根据结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：过点A作边的垂线，垂足为M， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点4 特殊角三角函数值】 28．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数，即可求解， 本题考查了特殊角的三角函数，解题的关键是：熟练掌握特殊角的三角函数． 【详解】解：， 故选：． 29．的相反数是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值以及相反数的定义即可求解． 【详解】解：， ∵的相反数是， ∴的相反数是， 故选：B． 30．已知在一个圆中，直径为，弦相交于点，若，则（    ）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，特殊角的三角函数值．连接，由圆周角定理求得，推出，，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵直径为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 31．的值等于（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 32．计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算特殊角的三角函数值，然后进行乘法运算即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 33．的值等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式减法运算等知识，先计算特殊角的三角函数值，再由二次根式减法运算求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值、二次根式减法运算是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 【考点5 同角三角函数的关系】 34．已知为锐角，且，那么的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据求出，然后根据求解即可． 【详解】∵，为锐角， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了求角的正切值，解题的关键是熟练掌握三角函数公式． 35．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系．解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos2A＝1． 36．已知，是锐角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出各条边的长，再求出答案． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α， 由于，因此设BC=5k，则AC=12k， 由勾股定理得，， ∴， 故选 C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出各条边的长是解决问题的关键． 37．已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意设中，对应边分别为，然后根据条件求解，再结合正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：设中，对应边分别为， 则，和， ∵， ∴， 设，则， 由，得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，理解基本三角函数的定义，熟练转换是解题关键． 38．△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanA的值是（　　） A．2 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由sinA的值，利用同角三角函数关系求出cosA的值，进而求出tanA=的值即可． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∴cosA===， 则tanA==， 故选A． 【点睛】此题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键． 39．已知α是锐角，cosα＝，则tanα的值是(       ) A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据sin2α＋cos2α＝1，可得 sinα，根据正切函数与正弦函数、余弦函数的定义，可得答案． 【详解】由sin2α＋cos2α＝1，α是锐角，，得 ， ， 故选B． 【点睛】本题考查的知识点是同角三角函数的关系，解题关键是熟记sin2α＋cos2α＝1. 40．已知，为锐角，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用sin=，设AB=5x，则BC=3x，可得AC=4x，再利用锐角三角函数关系求出即可． 【详解】如图所示： ∵sinA=， ∴设AB=5x，则BC=3x， 故AC=4x， ∴tanA=． 故选C． 【点睛】此题主要考查了同角三角函数的关系，用同一未知数表示出各边长是解题关键． 【考点6 互余两角三角函数的关系】 41．在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，互余的两个角的正弦和余弦值相等，即可得到答案； 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴； 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是掌握三角函数的定义进行解题． 42．在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答． 【详解】∵在Rt△ABC,∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴sin2A+sin2B=1，sinB>0， ∵sinA=， ∴sinB==. 故选C. 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键. 43．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据cosA=设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanB的值． 【详解】解： ∵cosA=知，设b=4x，则c=5x，根据a2+b2=c2得a=3x． ∴tanB=== . 故选B． 【点睛】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 44．在中，，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°， 则cosB=sinA=． 故选：D． 【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等． 45．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互为余角的两个角的三角形函数之间的关系求解． 【详解】因为∠A＋∠B＝90°， 所以sinB＝cosA， 所以sinB＝． 故选D 【点睛】本题考查了互为余角的三角函数间的关系，如果∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，sinB＝cosA 46．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由△ABC中，∠C=90°，cosA= ，得 sinB=． 由B是锐角，得 ∠B=30°， tanB=tan30°=， 故选C． 点睛：根据互为余角两角的关系，可得sinB，根据特殊角三角函数值，可得答案． 47．在中，，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角函数的求解，根据锐角三角函数的概念，可以证明：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 【详解】解：如图，   ， ， 故答案为：． 【考点7三角函数的计算】 48．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂，熟练掌握这些知识点是解题关键．根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂计算即可． 【详解】解：原式 ． 49．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数值的混合运算、零次幂、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用特殊角三角函数值、零次幂、负整数次幂、绝对值的知识化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 50．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的三角函数值，计算乘法并化简绝对值，最后算加减得结论． 【详解】解： ． 51．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值的化简、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数以及二次根式的加减，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 【详解】原式 ． 52．计算： 【答案】6 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数混合运算，先化简零次幂、正切值正弦值，绝对值，负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： 53．计算： 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，计算绝对值、化简二次根式，零指数幂、特殊角的三角函数值后，进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 54．计算：． 【答案】26 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算 ，然后再合并即可． 【详解】解： 55．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算．利用特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质计算即可． 【详解】解： ． 56．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值、零次幂、负整数次幂、绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先运用含特殊角的三角函数值、零次幂、负整数次幂、绝对值进行化简，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$