28.1 锐角三角函数（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

28.1 锐角三角函数 【考点1 锐角三角函数的概念】 【考点2 求角的函数值】 【考点3 已知函数值求边长】 【考点4 特殊角三角函数值】 【考点5 同角三角函数的关系】 【考点6 互余两角三角函数的关系】 【考点7三角函数的计算】 知识点1：锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 注意： (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 【考点1 锐角三角函数的概念】 【典例1】如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，，的对边分别是a，b，c，则下列等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 求角的函数值】 【典例2-1】如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】如图，点、、都在正方形网格的格点上，则的值是 （    ） A． B． C． D． 【变式2-1】在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，正方形网格中，如图所示放置（点，，均在网格的格点上，且点在上），则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点3 已知函数值求边长】 【典例3】在中，，，，则等于（ ） A．25 B．12 C．9 D．16 【变式3-1】在中，，，，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【变式3-3】如图，在直角中，与都相切，且圆心在斜边上，则的半径为（    ）． A． B． C． D． 【考点4 特殊角三角函数值】 【典例4】的值等于 （　　） A． B． C． D． 【变式4-1】的值是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】的值等于（   ） A． B． C．4 D． 【变式4-4】的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【考点5 同角三角函数的关系】 【典例5】如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 【变式5-2】在中，，，则值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则cosA等于（    ） A． B． C． D． 【考点6 互余两角三角函数的关系】 【典例6】在中，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-1】如果α是锐角，，那么cosα的值是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】在△ABC中，∠C是直角，cosB=， 则sinB=（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB＝，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【考点7三角函数的计算】 【典例7】计算： 【变式7-1】计算：． 【变式7-2】计算：． 【变式7-3】计算：． 1．在中，，，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 2．点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．在中，，则 (  ) A． B． C． D． 4．中，，，边上的中线，则为（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 7．如图， 在中， ， ， 垂足为D， 若 则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，点A，B，O都在格点上，则的正切值是（    ） A． B． C． D． 9．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为，的三个顶点均在格点上，则的值为 （     ） A． B． C． D． 10．的值为（   ） A．1 B． C． D． 11．如图，已知点，，将沿所在的直线翻折，点落在点的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，，，则线段的长 ．​ 13．在中，，则 ． 14．计算： ． 15．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，斜边，则 ． 16．在正方形中，E、F分别是边的中点，交于点G，则 ． 17．计算：． 18．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值． (2)当时，求的长． 19．人教版初中数学八年级下册第64页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法： ①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．请你根据提供的材料完成下面的问题． (1)填空： ； (2)求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 28.1 锐角三角函数 【考点1 锐角三角函数的概念】 【考点2 求角的函数值】 【考点3 已知函数值求边长】 【考点4 特殊角三角函数值】 【考点5 同角三角函数的关系】 【考点6 互余两角三角函数的关系】 【考点7三角函数的计算】 知识点1：锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 注意： (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 【考点1 锐角三角函数的概念】 【典例1】如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 【变式1-2】在中，，的对边分别是a，b，c，则下列等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义选出正确答案即可． 【详解】解：A、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； B、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； C、，即，该式计算错误，符合题意，故本选项正确； D、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； 故选：C． 【变式1-3】如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, 故选：． 【考点2 求角的函数值】 【典例2-1】如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了求角的三角函数值，勾股定理，先利用勾股定理求出，然后根据正弦的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， 故选：． 【典例2-2】如图，点、、都在正方形网格的格点上，则的值是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理与网格问题，正确作出辅助线是解答本题的关键． 过点作，垂足为，先根据勾股定理求出，再根据求出，然后在求出，在中求出，最后根据求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， 在，，， ， ， ， ， 解得：， 在，，， ， 在，， ． 故选：C． 【变式2-1】在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的概念，根据余弦的定义求解即可，正确理解在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边是解题的关键． 【详解】解：如图， ∴， 故选：． 【变式2-2】如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数，根据网格特点，先求得，再根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，，， 在中，， 故选：D． 【变式2-3】如图，正方形网格中，如图所示放置（点，，均在网格的格点上，且点在上），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理和三角函数，连接，根据图形求得、、的长，根据得到，从而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 由图可知：，， ， ， ， 故选：B． 【考点3 已知函数值求边长】 【典例3】在中，，，，则等于（ ） A．25 B．12 C．9 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦的定义是关键． 根据正弦的定义及条件求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：在中，， ∴， 故选：C． 【变式3-1】在中，，，，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形．根据的余弦值求得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-2】如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】 本题考查了锐角三角函数，掌握已知正切值求边长是解题的关键，根据正切的概念可得，可得，再由线段中点即可求出答案； 【详解】解：在中，， ， D是的中点， ， 故选：B． 【变式3-3】如图，在直角中，与都相切，且圆心在斜边上，则的半径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，设与的切点分别是点D和点E，连接，设的半径为r，证明四边形是正方形，再证明，利用相似三角形的性质列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：在直角中，， 由可设， ∴， ∴， 解得， ∴， 设与的切点分别是点D和点E，连接，设的半径为r， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】此题考查了切线的性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的性质和切线的性质是解题的关键． 【考点4 特殊角三角函数值】 【典例4】的值等于 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知：． 故选：C． 【变式4-1】的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解： 原式． 故选：C． 【变式4-2】计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算和特殊角的三角函数值，掌握二次根式的运算的运算法则是解答本题的关键．先将的值代入计算，再根据二次根式的运算法则运算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式4-3】的值等于（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故选B． 【变式4-4】的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据代入计算，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 【考点5 同角三角函数的关系】 【典例5】如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解： ， ． 故选：． 【变式5-1】在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案． 【详解】解：由题意，得， 故设 则， 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键． 【变式5-2】在中，，，则值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用同角三角恒等式计算出，然后根据求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：熟练掌握同角三角函数之间的关系． 【变式5-3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则cosA等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出，根据的值结合勾股定理，得到三个边的比例关系，再求出的值． 【详解】解：如图，画出， ∵， 设，， 根据勾股定理，， ∴． 故选：D．    【点睛】本题考查锐角三角函数值，解题的关键是掌握根据一个角的正切值求余弦值的方法． 【考点6 互余两角三角函数的关系】 【典例6】在中，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正余弦之间的关系：在直角三角形中，当时， ，且，据此解题即可． 【详解】在中，， 故选:D 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，其中涉及正弦、余弦、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式6-1】如果α是锐角，，那么cosα的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件得出α的度数，再根据特殊角的三角函数值得出cosα的值即可． 【详解】∵α是锐角，sinα＝， ∴α＝60°， ∴cosα＝cos60°＝． 故选：A． 【点睛】此题主要考查三角函数，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值. 【变式6-2】在△ABC中，∠C是直角，cosB=， 则sinB=（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数关系：sin2x+cos2x=1求解． 【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，cosB=， ∴sinB=． 故选B. 【点睛】解答此题要能够熟练运用同角三角函数关系式进行计算． 【变式6-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB＝，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵sin2B+cos2B=1，cosB＝ ， ∴sin2B=1-（ ）2= ， ∵∠B为锐角，∴sinB= ， 故选A． 【考点7三角函数的计算】 【典例7】计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，正切，算术平方根，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．先分别计算零指数幂，正切，算术平方根，负整数指数幂，然后进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式7-1】计算：． 【答案】 【分析】分别计算余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂等知识．熟练掌握余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂是解题的关键． 【变式7-2】计算：． 【答案】5 【分析】先分别计算零指数幂，负整数指数幂，余弦值，绝对值然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，余弦，绝对值等知识．熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，余弦，绝对值是解题的关键． 【变式7-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，余弦，绝对值．熟练掌握有理数的乘方，余弦，绝对值是解题的关键． 分别计算有理数的乘方，余弦，绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 1．在中，，，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：A． 2．点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，特殊角的三角函数值．先根据特殊三角函数值求出点坐标，再根据对称性解答． 【详解】解：，， 点． 点关于轴对称点的坐标， 关于轴的对称点的坐标是． 故选：B． 3．在中，，则 (  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求正弦值，根据正弦的概念，即可解答． 【详解】 由题意得：． 故选：A． 4．中，，，边上的中线，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后利用勾股定理得到长，然后计算正弦即可． 【详解】解：∵，边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故选A． 5．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 6．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的基本定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，，设，则，根据计算即可． 【详解】解：构造直角三角形如下： 根据题意，得， 设， 则， ∴， 故选：A． 7．如图， 在中， ， ， 垂足为D， 若 则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是得到．由勾股定理求出，由等角的余角相等得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，点A，B，O都在格点上，则的正切值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 过点作于点，连接并延长，过点作交延长线于点，根据勾股定理可求出，，设，再由勾股定理可求出x的值，从而求出，即可的正切值． 【详解】解：如图，过点作于点，连接并延长，过点作交延长线于点， 在中， ∵，，， ∴由勾股定理可知：， 同理，在中，由勾股定理可知：， 设， 在中，由勾股定理可知：； 同理，在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得：，即， ∴， ∴， 故选：C． 9．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为，的三个顶点均在格点上，则的值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角函数，将所求角放到直角三角形中是关键．将放入直角三角形即可得答案． 【详解】解：是的一个锐角， ， 而， ， , 故选：C． 10．的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 11．如图，已知点，，将沿所在的直线翻折，点落在点的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，，则，如图，作轴于，由折叠的性质可知，，，则，，，进而可求点的坐标． 【详解】解：由题意知，， ∴， 如图，作轴于， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正切，折叠的性质，正弦，余弦，点坐标等知识．熟练掌握正切，折叠的性质，正弦，余弦，点坐标是解题的关键． 12．如图，在中，，，，，则线段的长 ．​ 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键；过点B作，垂足为E，交于点F，由题意易得，，然后可根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点B作，垂足为E，交于点F，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为：． 13．在中，，则 ． 【答案】 【分析】根据，得，结合解答即可． 本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键． 【详解】解：根据，得， 故． 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握零指数幂运算法则与特殊角的三角函数值是解题的关键． 先把特殊角三角函数值代入，并根据零指数幂运算法则计算，去绝对符号，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：3． 15．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，斜边，则 ． 【答案】 【分析】根据，可以得到，因而就可以把求的问题转化为求的三角函数值的问题．本题考查特殊角的三角函数值． 【详解】解：斜边， ． ． 故答案为： 16．在正方形中，E、F分别是边的中点，交于点G，则 ． 【答案】1 【分析】过B作于H，根据正方形的性质得到，，证得，然后根据全等三角形的性质得到，进而求得． 【详解】解：过B作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点E，F分别是边的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 17．计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值． (2)当时，求的长． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（）由勾股定理和题意得，，，即得，再分和两种情况解答即可求解； （）过点作于，则，由可得，设，则，由可得，得到，，即得，再由，可得，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 又由题意得，，， ∴， 当时，， 则， ∴， 解得； 当时，， 则， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似； （2）解：过点作于，则， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 19．人教版初中数学八年级下册第64页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法： ①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．请你根据提供的材料完成下面的问题． (1)填空： ； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，特殊角度三角函数值； （1）根据折叠判断线段关系即可计算比值； （2）由（1）可知，可得到，即可得到，然后在根据折叠计算即可． 【详解】（1）由折叠可知：，， ，； 故答案为： ； （2）在中，， ， ， 由折叠可得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$