第28章 锐角三角形（知识点及常考题型专题复习）2024-2025学年人教版数学九年级下册

第28章 锐角三角函数 知识点一 锐角三角函数 一、正弦、余弦、正切的定义 · 如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则： 反映：边、角间的关系 二、锐角三角函数 （一）概念：对于锐角A的每一个确定值，sinA、cosA、tanA都有唯一确定的值与之对应，所以把锐角A的 正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数。 （1）锐角三角函数是在直角三角形中定义的，∠A是锐角； （2）锐角三角函数反映了边与角的关系，是一个比值（数值，无单位）； （3）锐角三角函数的大小只与角的大小有关，与边的长短无关； （4）锐角三角函数的取值范围：0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。 （5）增减性： · 对于sinα与tanα：角度越大，函数值越越大； · 对于cosα：角度越大，函数值越越小. （二）书写 ①sinA 、sin40 °、sinα（可省去角的符号） sinA不能写成 sin·A ②sin∠ABC、 sin∠1 （不能省去角的符号❤） ③sin2A，cos2A，tan2A可表示成（sinA）2，（cosA）2，（tanA）2；但不能写成sinA2. 三、锐角三角函数间的关系 （一）“正余互化公式” 如：∠A+∠B=90°，则： （二）同角三角函数的关系： 【考点❶：求三角函数的值】小试牛刀 1．Rt△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（ ） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变 2．Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝，则cosB＝（　 　） A． B． C． D． 3．△ABC中，∠ABC=90º，若AC=100，，则AB=（　 　） A． B． C．60 D．80 4．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC=（　　） A． B．1 C． D． 5．如图，边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，AB为直径，则sin∠ADC=（     ） A． B． C． D． 6．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将矩形沿AE折叠，点D恰好落在F处，则sin∠EFC＝（　　） A． B． C． D． 7．如图，Rt△ABC中，，AC=6，BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，则=（　　） A． B． C． D． 8．如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使A落在D处，若AE=3，则sin∠BFD=（ ） A． B． C． D． 9．如图，是△ABC的外接圆，CD是直径．若CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC=（　　） A． B． C． D． 10．如图，矩形ABCD中，AB=2，，E是BC中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则cos∠ECF=（　　） A． B． C． D． 11．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD中点H，已知sin∠CDB=，BD=5，则AH=（　　） A． B． C． D． 12．如图，⊙A的直径为10，C（0，5），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC=（ ） A． B． C． D． 13．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC=（ ） A． B．2 C． D． 14．如图，矩形ABCD中，点E是边BC中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE=（　　） A． B． C． D． 15．下列说法：①若α是锐角，则sinα随着角度增大而增大；②若α是锐角，则cosα随着角度的增大而增大；③若α是锐角，则tanα随着角度增大而增大；④若α是锐角，则cosα<1，sinα<1，tanα<1，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点❷：三角函数间的关系】 1．α为锐角，若sinα+cosα= ，则sinα﹣cosα=（    ） A． B．±    C． D．0 2．已知：∠A+∠B＝90°，若sinA=，则cosB＝__________. 3．观察下列等式：①sin30°=，cos60°=；②sin45°=，cos=45°=；③sin60°=，cos30°=；… 根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ． 知识点二 特殊角的锐角三角函数 ∠A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 小试牛刀 1．Rt△ABC 中，∠C=90°，若，则sinB=（   ） A． B． C． D． 2．在ABC中， ，则ABC一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．△ABC中，，则△ABC为（      ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 4．点M（-sin60º，cos60º）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 5．若α为锐角，且，则α=（     ） A． B． C． D． 6．计算：（1） （2）． （3） （4）（﹣2）-2﹣|﹣2|+sin60º﹣﹣2cos30° （5） （6） （7） （8）tan230°＋cos230°－sin245°tan45° 7．先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°． 知识点三 解直角三角形 · 一般地，直角三角形中，△除直角外，共有五个元素，即：三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求未知元素的过程，叫解直角三角形． · 知道五元素中至少两元素且其中一个元素是边，就可求其余元素 边、角间的关系 边的关系：勾股定理 a2+b2=c2 角的关系：两锐角互余 ∠A+∠B=90° 小试牛刀 1．如图，△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝，AB=___________． 2．如图，AB为⊙O直径，CD⊥AB，过点B的切线与AD延长线交于点F．若cos∠C=，DF=3，求⊙O半径． 3．如图，Rt△AOB中，∠O＝90°，OA为半径，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P。（1）求证：BP＝BC； （2）若sin∠PAO＝，且PC＝7，求⊙O的半径． 知识点四 解直角三角形的应用 一、坡度：地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫坡度（或坡比）；用字母i表示 二、方位角：指南北线与目标方向线所成的小于90º的夹角。 三、仰角与俯角：视线与水平线所成的夹角。 小试牛刀 1．如图，小明测量一座与地面垂直的古塔AB高度，从B前行30m到达斜坡CE的底部C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D，在D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡斜面坡度，则AB=（　　） A． B． C． D． 2．如图给出了一种机器零件的示意图，其中m=2米、n=3米，则AB=（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，从楼顶A看楼下荷塘C的俯角为，看D处的俯角为，楼高AB为30米，则荷塘的宽CD＝________．（结果保留根号） 4．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向，从A以20海里/h的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是?． 5．小明到公园实践，在A处看到B、C各有一棵被湖水隔开的银杏树，测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A走了20米到达B，又在B测得C在北偏东60°方向． （1）求∠C的度数； （2）求两颗银杏树B、C间的距离（结果保留根号） 6．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A出发时，发现北偏东45º方向有一信号发射塔P．由A沿正东方向骑行km到达B地，此时P在他的北偏东15º方向，然后他由B沿北偏东75º方向骑行12km到达C地．（1）求A与信号发射塔P之间的距离； （2）求C与信号发射塔P之间的距离．（结果保留根号） 1 学科网（北京）股份有限公司 图19.4.5 $$