4.2.2指数函数的图象与性质（教学课件）数学湘教版必修第一册

4.2 指数函数 4.2.2 指数函数的图象与性质 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 复习引入 指数函数(且)的性质，归根结底源于幂运算的性质.例如，由于任意非零次的零次幂为1，即，可见任意指数函数的图象都经过点；由于正数的任意次幂仍为正，所以任意指数函数的图象都在轴上方.由前述幂运算的基本不等式可得： 对任意的正数和两数，有，即. 对任意的正数和两数，有，即. 可见：当时，指数函数在上单调递增； 当时，指数函数在上单调递减. 新知探索 当时，设，可以证明.这表明只要足够大则可以大于任意给定的正数，而则可以小于任意给定的正数.由此可得指数函数的值域为. 有了这样基本的理性认识，就能够在作图之前预见到图象的大致模样.等到图象出来，对照栩栩如生的曲线来检验自己的想法，就更为亲切，更有成功感. 新知探索 活动1(例3)：作出指数函数和的图象. 通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图以下. … … … … … … … … 新知探索 活动(例3)：作出指数函数和的图象. 指数函数，的底数都大于.一般地，当底数时，指数函数的图象走势类似于左图(即从左到右，呈上升趋势). 新知探索 从图象看指数函数的性质，和理性认识相符，例如： (1)图象总在轴上方，且图象与轴永不相交，值域是. (2)图象恒过点，用式子表示就是. (3)函数是区间上的增函数. 当然，作出来的图象是有限的，从图象得出来的这些结论是看曲线走势发挥想象力的结果. 新知探索 活动2：作出指数函数和的图象. 通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图以下. … … … … … … … … 新知探索 活动2：作出指数函数和的图象. 指数函数，的底数都小于.一般地，当底数时，指数函数的图象走势类似于左图(即从左到右，呈下降趋势). 新知探索 从图象看指数函数的性质，和理性认识相符，例如： (1)图象总在轴上方，且图象与轴永不相交，值域是. (2)图象恒过点，用式子表示就是. (3)函数是区间上的减函数. 当然，作出来的图象是有限的，接下来我们借助“网络画板”，来看一下底数对指数函数图象走势的影响吧！ 新知探索 从动画中看指数函数且的性质，和理性认识相符. 新知探索 如果底数，则它的倒数.若点在函数的图象上，由于，则点关于轴的对称点一定在函数的图象上，反之亦成立.所以函数与函数的图象关于轴对称.例如与的图象关于轴对称，如图所示. 新知探索 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.事实上，函数与函数的图象关于轴对称. 函数的图象可以看成指数函数的代表.与时的区别，仅仅在于递增和递减的不同.其他如定义域与值域，恒过点等都是一样的.将这些性质对比列表如下： 新知探索 表达式 图象 定义域 值域 性质 函数图象过定点 ，即 在上递减 在上递增 例析 例 4 比较下列各组中两个数的大小： (1)，；(2)，；(3)，. 解 (1)，可看作函数的两个函数值. 由于底数，所以指数函数在上是增函数. 因为，所以. 解 (2)，可看作函数的两个函数值. 由于底数，所以指数函数在上是减函数. 因为，所以. 例析 例 4 比较下列各组中两个数的大小： (1)，；(2)，；(3)，. 解 (3)因为在上是减函数，所以. 由得. 所以. 比较两个数的大小，既可以作差，也可以用比(即作商)的方法. 例析 例 5 已知指数函数的图象经过点，求和. 解 因为的图象经过点， 所以， 解得，于是. 所以， . 例析 例 6 一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的量是原来的，画出这种物质的剩余量随时间变化的图象，并从图象上观察大约要经过多少年，剩余量是原来的. 解 可设原来的量是1个单位，经过年后，剩余量是个单位. 可得函数解析式为.列表如下： … … … … 例析 在直角坐标系中画出的图象，如下图所示.从图象和上表都可以看到，大约经过4年，剩余量是原来的. 练习 题型一：指数函数的定义域和值域 例1.求下列函数的定义域和值域： (1) (2); (3) . 解：(1)定义域：.值域：. (2)定义域：.值域：. (3)定义域：.值域：. 练习 指数函数定义域、值域的处理技巧： (1)关注定义域，比如分母、奇(偶)次方根等； (2)关注值域，有时候需要分离系数、结合二次函数的性质求解，再结合着指数函数的单调性求解值域. 练习 变1.求下列函数的定义域和值域： (1) (2); (3) . 解：(1)定义域为.∵，∴， 又，∴，故函数的值域为. (2)定义域为.∵，∴. (3)定义域为.令，则， ∴ 故函数的值域为. 练习 题型二：指数函数的图象及应用 例2.函数()的图象可能是：( ). 答案：C.当时，，故函数的图象过定点 练习 指数函数图象问题的处理技巧： (1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象恒过定点. (2)利用图象变换，如函数图象的平移变换（左加右减、上加下减）. (3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性决定函数图象的走势. 练习 变2.已知,则函数图象必定不经过（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D. 图象恒过点， ∵，∴点在轴正半轴上. 故图象不经过第四象限. 练习 题型三：利用指数函数性质比大小 例3.比较下列各题中两个值的大小： (1),;(2),;(3), 解：(1) (2). (3). 练习 比较指数式大小的类型及处理方法： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断. (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断. (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较. 变3.已知,则的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 练习 答案：D. ∵， 又 ∴. 故. 例4.求满足下列条件的的取值范围： (1);(2);(3)> 练习 解：(1)的取值范围是： (2)的取值范围是： (3)的取值范围是：当 当0< 题型四：利用指数函数性质解不等式 练习 指数不等式的三种求解方法： (1)性质法：解形如的不等式，可借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况讨论. (2)隐含性质法：解形如的不等式，可先将转化为以为底数的指数幂的形式，再借助函数的单调性求解. (3)图象法：解形如的不等式，可利用对应的函数图象求解. 变4.(1)解不等式; (2)已知，求的取值范围. 练习 解：(1)的取值范围是： (2)当时，的取值范围是： 当时，的取值范围是： 课堂小结&作业 小结： (1)指数函数的图象及性质； (2)利用指数函数的性质比较实数大下的方法. 作业： (1)整理课件题型； (2)课本P110的练习1——4题； (3)课本P110的习题4.2的5、6、7、8、9题； (4)课本P110的习题4.2的10、11、12、13、14、15题. 谢谢学习 Thank you for learning $$