专题02 三角形（考题猜想，易错必刷79题12种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（湘教版）

专题02 三角形（易错必刷58题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 三角形的相关概念 · 三角形的有关线段 · 三角形的角度问题 · 命题与证明 · 等腰三角形的性质与判定 · 等边三角形的性质与判定 · 线段垂直平分线的性质与判定 · 全等三角形的性质 · 全等三角形的判定 · 全等三角形的判定综合 · 全等三角形的辅助线问题 · 尺规作图 一．三角形的相关概念（共8小题） 1．观察下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 5．现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．一个三角形的两边长分别是12和5，第三边的长恰好是7的整数倍，那么第三边的长是（   ） A．7 B．14 C．21 D．14或21 7．已知一个三角形的两边a，b满足 则此三角形的第三边不可能为（   ） A．3 B．8 C．13 D．19 8．三角形的两边长满足，第三边c的长是奇数，求三角形的周长 二．三角形的有关线段（共8小题） 9．如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 10．如图，的面积为18，为的中线，E、F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 11．如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 12．下列语句中，正确的是（    ） A．三角形的外角和大于它的内角和 B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和 C．三角形的内角小于它的外角 D．三角形的外角和是 13．如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 14．如图，，分别是的高和角平分线．若设，，则用，表示的关系式为（      ） A． B． C． D． 15．如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为_________． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 16．在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 3． 三角形的角度问题（共6小题） 17．如图，在中，，高，交于点，则 ． 18．在三角形中，已知，按角的特点分类，此三角形是 三角形． 19．如图，是的外角，若，，则的度数为 ． 20.已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 21．如图，D是的边上的一点，，，．求的度数． 22．如图，已知点、、在同一直线上，，，若，，求的度数． 23．如图，在中，是边上的高，为角平分线，若，求的度数． 四．命题与证明（共4小题） 24．下列命题中，①一个角的补角大于这个角；②如果，那么；③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行．其中真命题有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 26．如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离．则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题： ①若，则“距离坐标”为的点有且仅有个； ②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有个； ③若，则“距离坐标”为的点有且仅有个． 上述命题中，正确命题的个数是（　　） A． B． C． D． 27．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 五．等腰三角形的性质与判定（共8小题） 28．如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 29．已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 30．如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则 ． 31．如图，在中，，E是内一点，F是上一点，，平分分别交于点D、H，求的度数． 32．如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 33．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，将绕点顺时针旋转得，连接．    (1)当，_____； (2)当为多少度时，是等腰三角形？说明理由． 34．如图，中，，是内一点，连接，，求证：． 35．如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E． (1)过点E作交于点F，求证：． (2)若，求的度数． 六．等边三角形的性质与判定（共9小题） 36．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 37．如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 38．满足下列条件的三角形，不一定是等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且是轴对称图形的三角形 D．三边都相等的三角形 39．等腰的顶角为，过底边上一点作底边的垂线交于，交的延长线于，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形 40．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 41．如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为 ．    42．如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为 ． 43．如图，在中，，点在边上，点在边上，且，将沿折叠，点的对应点为点．若点落在边上，求证：是等边三角形． 44．如图1，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点． (1)证明：； (2)直接写出的度数； (3)如图2连接，探究、、之间满足数量关系，并证明． 七．线段垂直平分线的性质与判定（共8小题） 45．如图，点在直线外，请阅读以下作图步骤：①以点为圆心，以大于点到直线的距离的长为半径作弧，交于点和点；②分别以点和点为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧相交于点，如图所示；③作射线，连接，，，，根据以上作图，下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 46．下列说法中，正确的是（   ） A．过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线 B．若直线是线段的垂直平分线，则也是的垂直平分线 C．线段的中垂线平分线段 D．线段的中垂线有无数条 47．如图，中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是 ． 48．在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ． 49．如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则 50．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 51．如图，，，，相交于点 E．求证：． 52．已知：如图，，，是上的一点． 求证：（利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明） 八．全等三角形的性质（共5小题） 53．下列说法正确的是（   ） A．三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形 C．等腰三角形是等边三角形 D．等边三角形是等腰三角形 54．如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 55．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是 ，的对应角是 ．    56．如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 57．如图，，，，求的长． 九．全等三角形的判定（共9小题） 58．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 59．如图，在和中，、相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 60．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 61．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 62．如图，，，，求证：． 63．完成下面的证明： 如图（1），，E、F分别是、的中点．那么． 证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵ ． 在和中， （                   ） （2）根据（1）的证明，若连接，如图7（2）．请证明：． 64．如果，，点E在上． (1)求证：平分； (2)求证：． 65．如图，在中，，平分，于点E， (1)求证：； (2)若，求的度数． 66．已知，如图，， ， ，求证： 一十．全等三角形的判定综合（共5小题） 67．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 68．如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则 ． 69．阅读材料： 已知，求作，使得． 作法：如图． ①作； ②分别以点为圆心，线段长为半径作弧，两弧相交于点； ③连接线段，则即为所求的三角形． 请你根据以上材料解答下列问题： (1)完成下面说明过程（将正确答案填在相应的空上）； 由作图可知，在和中， 所以______． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）． ①AAS      ②ASA      ③SAS      ④SSS 70．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且?若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 71．如图，在中，，，直线过顶点，过分别作直线的垂线，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，，直接写出的面积． 一十一．全等三角形的辅助线问题（共4小题） 72．已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 73．如图，在△和△中，，，．连接，取中点，连接，求证：为等腰直角三角形． 74．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 75．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 一十二．尺规作图（共4小题） 76．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明依据是（   ） A． B． C． D． 77．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明 （写出全等的简写）． 78．图中的黑色球 （填“能”或“不能”）被击入右下角的袋中．（先估测，再用直尺和圆规作出反射角加以检验） 79．如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹） $$专题02 三角形（易错必刷58题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 三角形的相关概念 · 三角形的有关线段 · 三角形的角度问题 · 命题与证明 · 等腰三角形的性质与判定 · 等边三角形的性质与判定 · 线段垂直平分线的性质与判定 · 全等三角形的性质 · 全等三角形的判定 · 全等三角形的判定综合 · 全等三角形的辅助线问题 · 尺规作图 一．三角形的相关概念（共8小题） 1．观察下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形是由三条线段首位顺次连接形成的封闭图形，即可解答． 【详解】解：A、C、D不是三角形，不符合题意； B是三角形，符合题意； 故选：B． 2．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 3．如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的个数问题，掌握不在同一直线上三点可以确定一个三角形成为解题的关键． 根据不在同一直线上三点可以确定一个三角形进行解答即可． 【详解】解：根据图示知，图中的三角形有：，共有5个． 故选：C． 4．三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．根据三角形按边的分类方法即可确定． 【详解】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形包括腰和底不相等的等腰三角形和等边三角形， 故选：B． 5．现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】考查了三角形的三边关系．首先把每三根组合的所有情况列举出来，再根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”进行分析． 【详解】解：其中每三根组合，有2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5； 其中能组成三角形的有2，3，4；2，4，5；3，4，5三组． 故选：C． 6．一个三角形的两边长分别是12和5，第三边的长恰好是7的整数倍，那么第三边的长是（   ） A．7 B．14 C．21 D．14或21 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边的长恰好是7的整数倍，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是12和5，设第三边长为， ∴，即：， ∵第三边的长恰好是7的整数倍， ∴第三边的长是； 故选B． 7．已知一个三角形的两边a，b满足 则此三角形的第三边不可能为（   ） A．3 B．8 C．13 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质和三角形三边关系，解题关键是利用非负数的性质求出边长，再确定第三边的取值范围即可． 【详解】解：∵a，b满足 ∴，， ∴，， ∴ 则此三角形的第三边c的取值范围是，即， 故此三角形的第三边不可能为19， 故选：D 8．三角形的两边长满足，第三边c的长是奇数，求三角形的周长 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、三角形三边关系，由非负数的性质求出，，再由三角形三边关系得出，结合第三边c的长是奇数得出，即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵第三边c的长是奇数， ∴， ∴三角形的周长． 二．三角形的有关线段（共8小题） 9．如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． 10．如图，的面积为18，为的中线，E、F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线的性质，知道中线等分三角形的面积是解题的关键． 由为的中线得到，再根据共高三角形的面积比等于底之比求解． 【详解】解：是的中线， ， ， 、为的两个三等分点， 又∵与共高，与共高， ，， ， 故选：B． 11．如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的重心，解题的关键是熟练掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点，分别连接三角形两个顶点与各个点并延长与各边相交，用刻度尺测出交点是否为各边的中点，即可作出判断． 【详解】解：A．如图，连接并延长交于点P，显然不是的中点，因此不是重心，故A错误；    B．如图，连接并延长交于点Q，显然不是的中点，因此F不是重心，故B错误；    C．如图，连接并延长交于点N，连接并延长交于点M，显然M、N分别是、的中点，因此G是重心，故C正确；    D．如图，连接并延长交于点K，显然不是的中点，因此H不是重心，故D错误．    故选：C． 12．下列语句中，正确的是（    ） A．三角形的外角和大于它的内角和 B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和 C．三角形的内角小于它的外角 D．三角形的外角和是 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，根据三角形外角的性质和内角和定理进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的外角和大于它的内角和，故符合题意； B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故不符合题意 C、三角形的内角不一定小于它的外角，故不符合题意； D、三角形的外角和是，故不符合题意； 故选：A． 13．如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①中，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质列式，化简作答；②中，根据等角的余角相等，得，故；③中，根据三角形的面积公式进行作答；④运用四边形内角和360度以及，得出，再结合角平分线的性质，证明全等，即可作答．此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念． 【详解】解：∵ ∴， ∵与的平分线相交于点G， ∴， ∵ ∴； 故①是正确的； ②中，∵ ∴ ∴ 故②是正确的； ， （等底同高）； 故③是正确的； 在四边形中，． 又， 则， 故④是正确的． 故选：A． 14．如图，，分别是的高和角平分线．若设，，则用，表示的关系式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，由高的定义得到，则，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 15．如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为_________． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中线的性质即可解答； （2）根据题意得到，由，利用三角形内角和定理即可解答； （3）利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：的面积为6，是边的中线， 的面积为； （2）解：是的高， ， ， ； （3）解：，， ， 是的角平分线， ， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高，角平分线的性质．熟练掌握知识点是解题的关键． 16．在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 【答案】(1)8 (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ∵的周长为10， ， ， ， ∴的周长． 3． 三角形的角度问题（共6小题） 17．如图，在中，，高，交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，三角形的高，解题的关键是熟练掌握基本知识．利用三角形的内角和定理求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：，是的高， ， ， ， ， 故答案为：． 18．在三角形中，已知，按角的特点分类，此三角形是 三角形． 【答案】钝角 【分析】根据得到最大角为，大于，根据三角形的分类解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握定理和分类标准是解题的关键． 【详解】解：根据， 故三角形的最大角为， 大于， 故该三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 19．如图，是的外角，若，，则的度数为 ． 【答案】75 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ，， ， 故答案为：75． 20.已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由，可知与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的平分线与的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 21．如图，D是的边上的一点，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合，推出，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 22．如图，已知点、、在同一直线上，，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．由可得，推出，再根据三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 23．如图，在中，是边上的高，为角平分线，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的高、三角形的角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形的高的定义可得，再结合“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，由角平分线的定义可知，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴． 四．命题与证明（共4小题） 24．下列命题中，①一个角的补角大于这个角；②如果，那么；③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行．其中真命题有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题、补角、绝对值的性质、对顶角性质、平行线的判定，熟练掌握这些性质和判定是解题关键．根据补角的定义（和为的两个角互为补角）即可判断①错误；根据绝对值的性质即可判断②错误；根据对顶角的性质即可判断③正确；根据平行线的判定即可判断④正确． 【详解】解：①一个角的补角不一定大于这个角，如的补角等于，则此命题是假命题； ②如果，那么，则此命题是假命题； ③对顶角相等，则此命题是真命题； ④内错角相等，两直线平行，则此命题是真命题； 综上，真命题有2个， 故选：B． 25．下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了学生判断命题真假的能力，解题关键是正确理解相关定理． 根据平行线的性质和判定、平行公理及推论，逐一分析判断即可． 【详解】解：A．两直线平行时，才有同位角相等，不是真命题，故此选项不符合题意； B．垂直于同一条直线的两条直线平行，必须是同一平面内，不是真命题，故此选项不符合题意； C．必须过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，不是真命题，故此选项不符合题意； D．平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故此选项不符合题意． 故选：D． 26．如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离．则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题： ①若，则“距离坐标”为的点有且仅有个； ②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有个； ③若，则“距离坐标”为的点有且仅有个． 上述命题中，正确命题的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义“距离坐标”，解题的关键是理解题意．根据“距离坐标”的定义，以及，，逐一判断即可． 【详解】解：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有个，此点为点，故①正确； ②若，且，则、中有且仅有一个为，当为时，坐标点在上，分别关于点对称的两点，反之在上也有两点，但这种情况不能同时存在，故“距离坐标”为的点有且仅有个，故②正确； ③正确，如下图，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点． 故正确的有：①②③， 故选：D． 27．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两条直线垂直于同一条直线 这两条直线相互平行 【分析】本题考查了命题与定理，平行线公理，把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行， 故答案为：两条直线垂直于同一条直线，这两条直线相互平行． 五．等腰三角形的性质与判定（共8小题） 28．如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】是的中线，，， ， 是的角平分线， ， ∴． 故选：C． 29．已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 或， 或， ∴一定是腰长为的等腰三角形， 故选：C． 30．如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先求出的长，再根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 31．如图，在中，，E是内一点，F是上一点，，平分分别交于点D、H，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理。熟练掌握等边三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，再证明为等边三角形得到，进而根据三角形的内角和为，结合对顶角相等可得． 【详解】解：∵，平分， ∴， 即， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 32．如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，首先根据角平分线的定义得出，然后根据平行的性质，得出，，进而得出，即可得证． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，． ∴． ∴为等腰三角形． 33．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，将绕点顺时针旋转得，连接．    (1)当，_____； (2)当为多少度时，是等腰三角形？说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）由旋转可以得出，，就可以得出是等边三角形，就可以得出，从而得出； （2）由条件可以表示出，得，，当，或时分别求出的值即可． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转得，， ∴，，， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵， ∴，， ①当时， ， 解得：； ②当时 ， 解得：， ③当时， ， 解得：， 综上所述，当为或或时，为等腰三角形． 34．如图，中，，是内一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形判定和性质，解答此题可将绕点A顺时针旋转到的位置，使和重合，变为，连接，可得，从而可得，然后再结合已知代换可得，从而可得． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转到的位置，使和重合，变为，连接， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 35．如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E． (1)过点E作交于点F，求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解答 (2)的度数是 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． （1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证； （2）易得，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，D是边上的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数是． 六．等边三角形的性质与判定（共9小题） 36．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 37．如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，过C作直线l，根据等边三角形性质求出，根据平行线的性质求出，，即可求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 过C作直线l， ∵直线直线m， ∴直线直线， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 38．满足下列条件的三角形，不一定是等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且是轴对称图形的三角形 D．三边都相等的三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的判定，根据等边三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：有两个内角是的三角形是等边三角形，故A正确； 有两边相等且是轴对称图形的三角形不一定是等边三角形；故B错误；符合题意； 有一个内角是且是轴对称图形的三角形是等边三角形．故C正确； 三边都相等的三角形是等边三角形，故D正确； 故选 B 39．等腰的顶角为，过底边上一点作底边的垂线交于，交的延长线于，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，综合利用了等腰三角形和直角三角形的性质．根据是等腰三角形，且，可得，，由，可得，推出，，结合对顶角相等即可求解． 【详解】解：根据题意画出示意图如图， 是等腰三角形，且， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形． 故选：A． 40．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 41．如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质．根据三角形的外角的性质，得出，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， 又， ∴， 故答案为：． 42．如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形 ∵， ∴的最大值为14， 故答案为：14． 43．如图，在中，，点在边上，点在边上，且，将沿折叠，点的对应点为点．若点落在边上，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质,平行线的性质和等边三角形的判定，掌握翻折变换的性质是解题关键．利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出即可得出答案； 【详解】证明：，， ， 将沿折叠，点的对应点为点， ， ， ， 是等边三角形． 44．如图1，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点． (1)证明：； (2)直接写出的度数； (3)如图2连接，探究、、之间满足数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，可得； （2）由可得，再结合，通过等量代换可得答案； （3）在上截取，连接，由可得，再证，，，进而证明是等边三角形，推出，即可证明． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， 证明：如图，在上截取，连接， 由（1）得， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质等，第三问有一定难度，通过作辅助线构造等边三角形是解题的关键． 七．线段垂直平分线的性质与判定（共8小题） 45．如图，点在直线外，请阅读以下作图步骤：①以点为圆心，以大于点到直线的距离的长为半径作弧，交于点和点；②分别以点和点为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧相交于点，如图所示；③作射线，连接，，，，根据以上作图，下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据同圆的半径相等可知：，，再根据等边对等角和线段垂直平分线的逆定理可得结论．本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的逆定理等知识，解题的关键是学会利用基本作图解决问题． 【详解】解：由①知：， ， 由②知：， 是的垂直平分线， ； 故选：D． 46．下列说法中，正确的是（   ） A．过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线 B．若直线是线段的垂直平分线，则也是的垂直平分线 C．线段的中垂线平分线段 D．线段的中垂线有无数条 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线具备的两个条件：①垂直这条线段；②平分这条线段逐项进行分析即可得到结论．本题主要考查了线段垂直平分线的定义，掌握段垂直平分线具备的两个条件：①垂直这条线段；②平分这条线段是解决问题的关键． 【详解】解：A．经过线段中点且与这条线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线，故本选项不符合题意； B．直线是线段的垂直平分线，则不一定是的垂直平分线，故本选项不符合题意； C．线段的中垂线平分线段，故本选项符合题意； D．线段的中垂线只有一条，故本选项不符合题意； 故选：C． 47．如图，中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，即，求出即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 48．在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质是解题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角得到，根据内角和定理求得，最后根据角度的和差关系即可得到答案． 【详解】解：由作图可知：为线段的垂线平分线， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 49．如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及垂直平分线的判定与性质，等边对等角，以及角平分线的定义，先由三角形的外角性质得，因为，D为的中点，所以是的垂直平分线，则，因为是的角平分线，则是的角平分线，即可作答． 【详解】解：，， ∴， ∵，D为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：． 50．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，   ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴． 51．如图，，，，相交于点 E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可得P，Q在的中垂线上，然后根据两点确定一条直线即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴P在的中垂线上． ∵， ∴Q在的中垂线上， ∴． 52．已知：如图，，，是上的一点． 求证：（利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明） 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线定理及其逆定理，熟练掌握线段垂直平分线定理及其逆定理是解题的关键，证点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，得垂直平分，从而． 【详解】解：∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 八．全等三角形的性质（共5小题） 53．下列说法正确的是（   ） A．三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形 C．等腰三角形是等边三角形 D．等边三角形是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类、等腰三角形与等边三角形的关系、全等三角形的概念等知识．按照三角形的分类、等腰三角形与等边三角形的关系、全等三角形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，故此选项不符合题意； B、全等三角形是指形状相同，大小都相等的两个三角形，故此选项不符合题意； C、等腰三角形一定不一定是等边三角形，故此选项不符合题意； D、等边三角形是特殊的等腰三角形，故此选项不符合题意； 故选：D． 54．如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，根据平移的性质可得，即可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 55．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是 ，的对应角是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的对应边是，的对应角是． 故答案为：，． 56．如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【答案】(1) (2)与，与，与；与，与，与 【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意写出全等三角形即可； （2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角． 【详解】（1）解：点与点，点与点是对应顶点， ； （2）解： ， 故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角． 57．如图，，，，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据，得，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：5． 九．全等三角形的判定（共9小题） 58．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用．根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：，点，分别是，的中点， ， 在和中， ． ， 故选：D． 59．如图，在和中，、相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，找出三组对应边相等，即可根据可判定． 【详解】∵，， ∴当时，根据可判定； 故选：C． 60．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，且， 当添加，根据能判断，选项A不符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 如果添加，不能根据判断，选项C符合题意； 故选：C． 61．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键． 【详解】证明：， 则，即， 在和中， ， ． 62．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 由知，结合、，利用“”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 63．完成下面的证明： 如图（1），，E、F分别是、的中点．那么． 证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵ ． 在和中， （                   ） （2）根据（1）的证明，若连接，如图7（2）．请证明：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定． （1）根据中点的定义得出，，则，即可根据求证； （2）由（1）可得，则，根据中点的定义推出，即可根据证明． 【详解】（1）证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵， ． 在和中， ， ； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ，． ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 64．如果，，点E在上． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题中条件易知：运用证明，可得平分； （2）利用（1）的结论，运用证明，得出． 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用三角形全等的判定方法，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键． 【详解】（1）解：依题意， 在与中， ， ， 即平分； （2）解：由（1）得， 在与中， ， ， ． 65．如图，在中，，平分，于点E， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得出，再得出，利用证明即可． （2）由线段垂直平分线的性质可得出，则可得出，然后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了 全等三角形的判定，角平分线的定义，垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 66．已知，如图，， ， ，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可． 【详解】解：∵， ∴， 即： ∵ ， ， ∴ ∴ 一十．全等三角形的判定综合（共5小题） 67．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 68．如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形判定和性质等．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再证明，继而得到后计算即可． 【详解】解：连接， ， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：． 69．阅读材料： 已知，求作，使得． 作法：如图． ①作； ②分别以点为圆心，线段长为半径作弧，两弧相交于点； ③连接线段，则即为所求的三角形． 请你根据以上材料解答下列问题： (1)完成下面说明过程（将正确答案填在相应的空上）； 由作图可知，在和中， 所以______． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）． ①AAS      ②ASA      ③SAS      ④SSS 【答案】(1)，， (2)④ 【解析】略 70．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且?若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）分类讨论当和两种情况即可； （2）由题意得，可得，类讨论当和两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：厘米， 当时，； 当时，； （2）解：由题意得：， ∴， 当时，， 此时，解得：； 当时，， 此时，解得：（舍）； 综上所述：当时，与的面积相等 （3）解：由题意得：是直角三角形， ∴当，即点在上运动时，有与全等 此时， ∴ ∵，； ∴ ， 解得：； （4）解：分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：； 71．如图，在中，，，直线过顶点，过分别作直线的垂线，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，，直接写出的面积． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的面积为 【分析】本题主要考查垂直的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据垂直的性质可得，由此可证，可得，由即可求证； （2）由（1）的结论代入计算可得，根据三角形的面积计算公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得，，且，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 一十一．全等三角形的辅助线问题（共4小题） 72．已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1)①②见详解 (2) 【分析】（1）①通过证明，得，即可知道； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，先证明，然后得到是等边三角形，进行等边代换，即可得证； （2）先得到，过点G作交于点H，交于点M，通过“”证明，得，，然后连接，再通“”证明，进行角的等量代换以及角和和差关系，即可作答． 【详解】（1）解：因为是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 则， 那么； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，如图所示： 易得，，， 因为， 所以 故 即 因为，， 所以 则， 所以， 因为 所以 即是等边三角形， 所以 因为， 则； （2）解：过点E作， 因为， 所以 即 因为 所以， 则 过点作交于点，交于点，则， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 连接，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 73．如图，在△和△中，，，．连接，取中点，连接，求证：为等腰直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了构造三角形全等．延长至使，连接、，延长交于，证明，则，，再证明，则，，据此即可证明为等腰直角三角形． 【详解】证明：延长至使，连接、，延长交于， ，，且， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形． 74．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）设，则，先求出x的值，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （3）设，则， ∴ ∵， ∴ ∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得 ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18 ∴ ∴， ∵的长为9， ∴， ∴ 75．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 一十二．尺规作图（共4小题） 76．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：作一个角等于已知角．利用基本作图得到，则根据全等三角形的判定方法可根据“”可判断，然后根据全等三角形的性质得到． 【详解】由作法可得， 所以根据“”可判断， 所以． 故选：C． 77．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明 （写出全等的简写）． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图-作角相等的相关知识，由作两个角相等的操作步骤，确定从而得到答案，熟记尺规作图-作角相等的操作是解决问题的关键． 【详解】解：由尺规作图的操作可知，，， ， 故答案为：． 78．图中的黑色球 （填“能”或“不能”）被击入右下角的袋中．（先估测，再用直尺和圆规作出反射角加以检验） 【答案】能 【分析】本题考查了作图的应用与设计，解题的关键是根据“作角等于已知角的基本作法”作图． 【详解】解：图中的黑色球能被击入右下角的袋中， 如图所示：作即可， 故答案为：能． 79．如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，解题的关键是根据角的和差关系，作出有公共边的两个角，继而得到结果． 【详解】解：如图，． $$