专题06直线与抛物线的六类交点问题-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题05 直线与抛物线的六类交点问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、与x轴交点坐标问题 2 类型二、与x轴交点问题 3 类型三、与y轴交点问题 4 类型四、直线与抛物线的交点问题 4 类型五 根据图像确定方程根的情况 5 类型六、x轴与抛物线的截线长 6 压轴能力测评 7 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. 3.二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系： 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况 b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根 b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根 类型一、与x轴交点坐标问题 ①有两个交点二次函数与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）二次函数与轴相切，此时二次函数为； 总结完全平方形式的二次函数与x轴只有一个交点。 ③没有交点二次函数与轴相离.注意这种情况 当a＞0,y值恒＞0，当a＜0,y值恒＜0。 ④平行于轴的直线与二次函数的交点同③一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. 例．抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】．抛物线与x轴的交点坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2】．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D． 【变式训练3】．抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表所示∶ ．．． 0 1 2 ．．． 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中，错误的是（   ） A．抛物线与 轴的一个交点坐标为 B．抛物线与 轴的交点坐标为 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分 随 的增大而减小 类型二、与x轴交点问题 例．已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】．已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（   ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点 【变式训练3】．已知关于x的函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 类型三、与y轴交点问题 图像与y轴的交点即是x＝0的情况求y的值，也就是c的值。 例．抛物线与y轴交点为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】．抛物线与轴交点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】．抛物线与坐标轴交点的个数（    ）． A．必定是1个 B．必定是2 个 C．必定是3个 D．可以是1个也可以是2个 【变式训练3】．抛物线与y轴的交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 类型四、直线与抛物线的交点问题 1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解 2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值. 例．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ． 【变式训练1】．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，点，则关于的方程的解是 ． 【变式训练2】．如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，则关于的方程的解为 ．    【变式训练3】．如图，抛物线与直线交于点，，则关于的方程的解是 ．    类型五 根据图像确定方程根的情况 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系： 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况 b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根 b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根 例．已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 8 3 0 0 ．．． 则满足方程 的解是 ． 【变式训练1】．设二次函数（，，是常数，），如表列出了，的部分对应值．则方程的解是 ． … … … … 【变式训练2】．二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．    【变式训练3】．函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得方程的解是 ．    类型六、x轴与抛物线的截线长 例．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为 ； 【变式训练1】．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；如此进行下去．    （1）点的坐标是 ． （2）若在第段抛物线上，则 ． 【变式训练2】．已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是 ．（请用含字母m的代数式表示） 【变式训练3】．如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．若，则m的值是 ． 1．已知二次函数，当时，，则二次函数的图象可能为（  ） A．B．C． D． 2．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 3．二次函数与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴负半轴交于点，连接，将向左上方平移，得到且点落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，二次函数（a，b，c为常数，）的图像经过点，其中，下列结论：①；②；③时，y随x的增大而减小；④关于x的方程一定有一个小于1的正数根．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 7．将抛物线位于直线以下的图象沿直线向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线的交点少于4个，则a的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 8．已知二次函数是常数，且的图象过点，，若的长不小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ． 10．若抛物线与x轴交于、两点，若，则c的最大值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 直线与抛物线的六类交点问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、与x轴交点坐标问题 2 类型二、与x轴交点问题 4 类型三、与y轴交点问题 7 类型四、直线与抛物线的交点问题 8 类型五 根据图像确定方程根的情况 11 类型六、x轴与抛物线的截线长 13 压轴能力测评 16 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. 3.二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系： 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况 b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根 b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根 类型一、与x轴交点坐标问题 ①有两个交点二次函数与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）二次函数与轴相切，此时二次函数为； 总结完全平方形式的二次函数与x轴只有一个交点。 ③没有交点二次函数与轴相离.注意这种情况 当a＞0,y值恒＞0，当a＜0,y值恒＜0。 ④平行于轴的直线与二次函数的交点同③一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. 例．抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键． 本题现将点代入，得到和的关系，于是解析式变为：，令，由于，于是，解方程即可． 【详解】把点代入得，， ∴解析式变为：， 令，由于， ∴， 解得：，， 此抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 故选：． 【变式训练1】．抛物线与x轴的交点坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点的交点问题，根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标，解出两根即可得到抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标， 解方程得，． ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 故选：A． 【变式训练2】．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论． 【详解】解：由图象可知：二次函数图象的对称轴为直线， ∵图象与轴的一个交点为， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的两实数根是 故选B． 【变式训练3】．抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表所示∶ ．．． 0 1 2 ．．． 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中，错误的是（   ） A．抛物线与 轴的一个交点坐标为 B．抛物线与 轴的交点坐标为 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分 随 的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据表格中信息，可得点，在抛物线上，从而得到A、B正确；又有当 时， ，当 时，，可得抛物线的对称轴为 ，故C正确；根据 ，得到抛物线开口向下，然后利用二次函数的增减性即可判断D错误；即可求解． 【详解】解：根据表格中信息，得： 当 时， ，当时 ， ， ∴点，在抛物线上，故A、B正确，故本选项不符合题意； 根据表格中信息，得： 当 时， ， 当 时，， ∴抛物线的对称轴为 ，故C正确，故本选项不符合题意； ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故D错误，故本选项符合题意； 故选：D． 类型二、与x轴交点问题 例．已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据当时，，，得出当时，再根据图象经过点．得出，，再根据对任意实数，恒有，即恒成立，整理得 ，然后由判别式，求出的值，从而得出结论，解题的关键熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵， ∴当时，， 即， ∴时，， ∵图象经过点， ∴当时，， 即，， 解得：，， ∵对任意实数，恒有， ∴恒成立，即， ∴，即， 解得：， 此时， ∴抛物线的表达式为， 故选：． 【变式训练1】．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 【变式训练2】．已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（   ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，利用一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：对于抛物线， 当时，即， ∵ ∴抛物线与轴的交点情况是有两个不同的交点， 故选：C． 【变式训练3】．已知关于x的函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，，函数关系式为：， 当时，， ∴函数与x轴的交点为：，满足题意， 当时，函数为二次函数，则：， 解得：且， 综上：时，函数图象与x轴有交点． 故选：B． 类型三、与y轴交点问题 图像与y轴的交点即是x＝0的情况求y的值，也就是c的值。 例．抛物线与y轴交点为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数图象与坐标轴的交点是解题的关键．将代入，即可求得抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：将代入， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标是． 故选：D． 【变式训练1】．抛物线与轴交点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征以及抛物线与坐标轴交点的点的特征． 把代入抛物线解析式即可求出与y轴交点的纵坐标． 【详解】解：当时，， 即与y轴交点的纵坐标为， 故选：A． 【变式训练2】．抛物线与坐标轴交点的个数（    ）． A．必定是1个 B．必定是2 个 C．必定是3个 D．可以是1个也可以是2个 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，正确利用函数解析式分析是解题关键． 直接利用抛物线解析式进而得出与坐标轴的交点个数． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴顶点在x轴上，即与x轴有1个交点． 当时，与y轴的正半轴相交，当时，与y轴的负半轴相交，即与y轴有1个交点， ∴与坐标轴交点的个数必定是2 个． 故选B． 【变式训练3】．抛物线与y轴的交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查与y轴的交点的特征，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：与y轴的交点即， ， 故坐标是， 故选C． 类型四、直线与抛物线的交点问题 1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解 2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值. 例．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵一次函数与二次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 【变式训练1】．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，点，则关于的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，理解函数解析式就是方程，函数图象上点的坐标就是方程的解是本题的关键． 根据方程的解就是两个函数交点的横坐标，即可求解． 【详解】方程， 方程的解为二次函数与一次函数的图象交点坐标的横坐标的值， 二次函数与一次函数的图象交点坐标，点， 方程的解为：， 故答案为：， 【变式训练2】．如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，则关于的方程的解为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与一元二次方程，由图象可知，、图象的交点的横坐标为和，则当或时，，由此即可得到答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可知，、图象的交点的横坐标为和， 当或时，， 关于的方程的解为或， 故答案为：或． 【变式训练3】．如图，抛物线与直线交于点，，则关于的方程的解是 ．    【答案】， 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与直线交于点，， ∴关于的方程即的解是， 故答案为：，． 类型五 根据图像确定方程根的情况 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系： 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况 b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根 b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根 例．已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 8 3 0 0 ．．． 则满足方程 的解是 ． 【答案】， 【分析】二次函数与轴交点的横坐标是对应方程的根，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意得 当时，， 当时，， 抛物线与的交点为，， 的根为，； 故答案：，． 【点睛】本题考查了二次函数与对应方程之间的关系，理解此关系是解题的关键． 【变式训练1】．设二次函数（，，是常数，），如表列出了，的部分对应值．则方程的解是 ． … … … … 【答案】， 【分析】根据表格知当，时，，可求出抛物线的对称轴为直线，根据表格当时，，则可求出当时， ，然后直接得出方程的根即可． 【详解】解∶由表格知∶当，时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 又当时，， ∴当时， ， ∴方程的解是，． 故答案为∶ ，． 【点睛】题考查了二次函数的性质，解题关键是根据图表确定出抛物线的对称轴． 【变式训练2】．二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据题意可得，二次函数的图象与直线有交点，由图象求出的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，由图象得， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了抛物线与横线的交点，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题． 【变式训练3】．函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得方程的解是 ．    【答案】， 【分析】根据题意知的解为函数与的交点的横坐标，根据图象得到答案． 【详解】解：根据题意知的解为函数与的交点的横坐标， 由图象知：函数与的交点的横坐标，， 故方程的解是，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况，理解函数图象的交点横坐标和方程的根的联系是解题的关键． 类型六、x轴与抛物线的截线长 例．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为 ； 【答案】5 【分析】求出抛物线与x轴的两个交点坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与x轴的交点坐标的纵坐标为0． 【变式训练1】．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；如此进行下去．    （1）点的坐标是 ． （2）若在第段抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】求出拋物线与x轴的交点坐标，由旋转的性质即可确定的坐标；观察图形可知第偶数号抛物线都在轴下方，然后求出抛物线的表达式，再将的横坐标代入计算即可得解． 【详解】解：令，则 ， 解得 ，即 ，， 由旋转得：， ∴的坐标为， ， 故答案为： ． 由图可知，抛物线在轴下方，相当于抛物线向右平移个单位得到， 抛物线解析式为 ， ，在第段拋物线上， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标及函数图象的旋转，找出相应规律求解是解题关键． 【变式训练2】．已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是 ．（请用含字母m的代数式表示） 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】因为二次函数的图象的顶点的横坐标是1， 所以抛物线对称轴所在直线为，交x轴于点C， 所以B，C两点关于对称轴对称， 因为点，且点B在点C的左侧， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的两点间距离的求法，解题的关键是掌握二次函数的对称性． 【变式训练3】．如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．若，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线的解析式和抛物线的对称性质，得点A、B关于y轴对称，设B(p,0)(x>)，则A（-p,0），所以OA=OB=p，AB=p-（-p）=2p，p,-p为方程-x2+m=0的两根，根据地一元二次方程根与系数关系，得p2=m，又因为OC=AB，所以C(0,2P)，代入解析式得2p=m，则可求出m值． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为y轴， 又∵函数图像与x轴交于A、B两点， ∴点A、B关于y轴对称， 设B(p,0)(P>0)，则A（-p，0）， ∴OA=OB=p，AB=p-（-p）=2p，x=p，x=-p为方程-x2+m=0的解， ∴-p2=-m，即p2=m， ∴OC=AB=2p， ∴C(0,2P)， 代入函数解析式，得2p=m， ∴p=, ∴， ∵m>0， ∴m=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查抛物线的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数和关系，熟练掌握二次函数的性质，一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 1．已知二次函数，当时，，则二次函数的图象可能为（  ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 首先得到抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，然后得到二次函数和二次函数的图象关于y轴对称，进而求解即可． 【详解】∵二次函数，当时，， ∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和 ∴， ∴对称轴为 ∵二次函数 ∴对称轴为 ∴二次函数和二次函数的图象关于y轴对称 ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，且开口向下 ∴二次函数的图象可能为 ． 故选：D． 2．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 3．二次函数与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与坐标轴的交点，令中，求解即可出结论．解题的关键是掌握求二次函数的图像与坐标轴交点的方法：①与轴的交点，令后求解；②与轴的交点，令后求解． 【详解】解：令二次函数中， ∴， ∴二次函数与轴的交点坐标是． 故选：D． 4．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴负半轴交于点，连接，将向左上方平移，得到且点落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，抛物线的平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，先利用二次函数解析式求得的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出，则，把代入抛物线解析式求得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的表达式，根据题意求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，∵抛物线与轴交于点，与轴负半轴交于点， 令，得， 解得或， ∴， 令，得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴的横坐标为， 设，则， ∵点落在抛物线上， ∴， 解得， ∴，， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 故选：． 5．抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线的图象与性质，掌握利用抛物线的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键．由抛物线的开口方向、对称轴方程、与y轴的交点位置可判断A 由抛物线的对称轴判断B，由特殊点的函数值即可判断C，由抛物线与轴的交点个数可判断D． 【详解】解： 抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴为 ， ∵抛物线与y轴相交于正半轴， 故A错误，不符合题意； 抛物线的对称轴为 ， ∴ 故B错误，不符合题意； 由图象可知，当时，函数值小于0，即， 故C正确，符合题意； 抛物线与轴有两个交点， 故D错误，不符合题意； 故选：C 6．已知，二次函数（a，b，c为常数，）的图像经过点，其中，下列结论：①；②；③时，y随x的增大而减小；④关于x的方程一定有一个小于1的正数根．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入抛物线解析式可得根据即可判断①；把其中c替换成a，可得，即可判断②；抛物线对称轴，所以时y随x的增大而减小判断③；根据根与系数的关系判断④； 【详解】解：①将点坐标代入抛物线解析式得：， ∵, ∴，故结论①错误； ②∵，，把其中c替换成a，，即， 故②正确 ③∵ ∴ ∵， ∴， ∴抛物线开口向上， ∴时，y随x的增大而减小，故③正确； 令，则，两根之和，，两根之积，， ∴均大于0， 当时，，，抛物线开口向上， ∴抛物线有1个根在0到1之间，即有1个根在0到1之间，故④正确； ∴正确的结论是②③④， 故选：B 7．将抛物线位于直线以下的图象沿直线向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线的交点少于4个，则a的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据函数值确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．分别求出新图象与直线的交点有3个时a的值，再结合图象可得答案． 【详解】解：如图， 在中，令得， 解得：或， ∴， 由图可知，当直线经过B时，新图象与直线的交点有3个， 此时， ∴， 当直线为直线时，新图象与直线的交点有3个， 此时有两个相等实数根， 即的判别式， ∴， ∴， 由图可知，若新图象与直线的交点少于4个，则或， 故选：D． 8．已知二次函数是常数，且的图象过点，，若的长不小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程的关系，由于抛物线所经过的M，N两点的纵坐标为，说明抛物线与直线有两个交点，则是方程的两个不相等的根，由根与系数的关系求得便为的长度，再根据的长不小于2，列出a的不等式求得a的取值范围，再结合方程根的判别式与解得情况的关系式求得a的取值范围，便可得出最后结果． 【详解】令，得 化简得 ∵二次函数（是常数，且）的图象过点， ∴， ∴； ∵ ∴，， ∴ 即； ∵的长不小于2 ∴ ， ∴． 故选：B． 9．已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象与几何变换，正方形的性质，关键是解方程求出，，，坐标． 根据抛物线：求出顶点的坐标，再令，解方程求出，坐标，得出，再根据抛物线与抛物线关于轴对称，求出顶点的坐标，然后根据正方形得到列出关于的方程，解方程求出的值． 【详解】解：抛物线的顶点为点， ， 抛物线与轴分别交于点，（点在点左侧）， ，抛物线开口向上， 当时，， 整理得：， 解得， 点在点左侧， ，， ， 抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为， ， ， ∵四边形是正方形， ∴， 则， ， 经检验，是方程的解，也符合题意， 故答案为：． 10．若抛物线与x轴交于、两点，若，则c的最大值是 ． 【答案】0 【分析】根据根与系数关系定理，结合，转化为不等式组，求解集后定最大值． 【详解】∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴ ∴， 解得， 故c的范围是， c的最大值是0． 故答案为：0 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数关系定理，不等式组的解法，不等式求最值，熟练掌握定理与不等式组的解法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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