第2章自我检测-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

第二章自我检测 数学九年级下册（北师大版） 第二章自我检测 (考试时间：90分钟满分：100分) 一、选择题（每小题2分，共16分） 1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是() A.y=2x2-x B.y=2x+1 C.y=1 D 2.抛物线y=(x+2)2-1的顶点坐标是(） A.(2,1) B.(-2,-1) C.(-2,1) D.(2,-1) 3.将抛物线y=(x-1)2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的 抛物线为() A.y=(x-1)2+4 B.y=(x-4)2+4 C.y=(x+2)2+6 D.y=(x-4)2+6 4.已知二次函数y=-x+2x+4,则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是 A.图象的开口向上 B.图象的顶点坐标是(1,3) C.当x<1时，y随x的增大而增大 D.图象与x轴有唯一交点 5.已知二次函数y=a+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax+ bx+c=0的一个解的范围是( 6.17 6.18 6.19 6.20 -0.03 -0.01 0.02 0.04 A.-0.01<x<0.02 B.6.17<x<6.18 C.6.18<<6.19 D.6.19<x<6.20 6.如图是抛物线y=a2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点 (1,n) 坐标为(1，n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)》 之间，则下列结论：①abc<0;②3a+b>0;③4a-2b+c>0;④b2= 4a(c-n);⑤一元二次方程ax+bx+c=n+1有两个互异实根.其中 -2-1012345x x=1 正确结论的个数是() 第6题图 A.2 B.3 C.4 D.5 173 数学 九年级下册（北师大版） 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC= B 2cm,点P在边AC上，从点A向点C移动，点O在边CB 0 上，从点C向点B移动，若点P,Q均以1cm/s的速度同 时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连 第7题图 接PQ,则线段PQ的最小值是() A.20 cm B.18 cm C.2V5 cm D.3V2 cm 8.直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系内的大致图象正确的是( 二、填空题（每小题2分，共12分） 9.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2024的值为 10.将抛物线y=x2-6x+5化成y=a(x-h)2-k的形式，则hk= 11.已知抛物线y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点 12.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格： … -1 0 1 2 3 -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 根据表格上的信息，当x=5时，= 13.要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水 头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m,水柱 落地处离池中心3m,水管长应为 m. m 3 m 第13题图 第14题图 14.已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿 x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=-x+ m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 第二章自我检测 三、解答题(15题8分，16~19题各10分，20,21题各12分，共72分)》 15.如图，抛物线y=x+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线对应的函数表达式，并直接写出顶点P的坐标 (2)求△BCP的面积. 第15题图 16.已知抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)经过点(-2,0). (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标 (2)直线l交抛物线于点A(-4,m),B(n,7),n为正数.若点P在抛物线上且在直 线1下方（不与点A,B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围： 宠 数学 九年级下册（北师大版） 17.在直角坐标系中，设函数y=ax+bx+1(a,b是常数，a≠0). (1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图 象的顶点坐标， (2)写出一组a,b的值，使函数y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说 明理由， (3)已知a=b=l,当x=p,q(p,9是实数，p≠q)时，该函数对应的函数值分别为 P,Q.若p+q=2,求证：P+Q>6. @ 第二章自我检测 18.如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD,为美化环境，用 总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）. (1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE=3BE. (2)在(1)的条件下，设BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2,求y与 x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 D M 第18题图 ⑦ 数学 九年级下册（北师大版） 19.为鼓励更多的农民工返乡创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企 业按成本价提供产品给农民工自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.小王按 照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10 元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系满足一次函 数y=-5x+400, (1)小王在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的 总差价为多少元？ (2)设小王获得的利润为心（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 最大利润为多少？ @ 第二章自我检测 20.如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器.将发石车置于山坡底部0 处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射 出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y=α(x-20)+h的一部分，山 坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD,墙宽BC=2m,BC与x轴平行，点B与点 0的水平距离为28m、垂直距离为6m. (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10m: ①求抛物线对应的函数表达式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙， (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B,C),求α的取值范围， 0 图1 图2 第20题图 @ 数学 九年级下册（北师大版） 21.某超市销售一种商品，成本价为30元kg,经市场调查，每天销售量y(kg)与销 售单价x(元/kg)之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多 少元？ (3)设每天的总利润为心元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？ 最大利润是多少元？ A y/kg 150 100 0 30 80x/(元/kg) 第21题图 @0参考答案与提示 为(2，-4a+4).当0<aK1时，有-1<a-1<0,3<a+3<4,达式，得7=n2-2n-8.解得n=5或n=-3.n为正数， 抛物线开口向上，2<2-(a-1)<3,1<a+3-2<2,2- n=5.点A坐标为(-4,16)，点B坐标为(5,7).： (a-1)>a+3-2..点P与对称轴的距离大于点Q与对称 抛物线开口向上，顶点坐标为(1，-9)，.抛物线顶 轴的距离.∴点P,Q之间的图象的最高点是点P,最 点在AB下方.-4<K5,-9≤yK16 低点是顶点.∴.a(a-1)2-4a(a-1)+4-(-4a+4)=102.整理 解得 得-16a+9=0.解得a=8-V55,=8+V55(舍去). 17.解：()由题意，得a+6+10, 4a+2b+1=1, 当aK0时，抛物线开口向下.①当a+3≥2，即-1≤a<0 a=l, .该函数表达式为y=x2-2x+1.∴y=x2-2x+1=(x- 时，有-2≤a-1<-1,2≤a+3<3,.3<2-(a-1)≤4,0≤ b=-2. a+3-2<1.2-(a-1)>a+3-2..点P与对称轴的距离大 1)2..该函数图象的顶点坐标为(1,0).(2)答案 于点Q与对称轴的距离..点P,Q之间的图象的最高 不唯一，例如a=1,b=3,此时y=x2+3x+1.b2-4ac=5> 点是顶点，最低点是点P.∴.(-4a+4)-[a(a-1)2-4a(a- 0,.函数y=x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点 1)+4]=10a2.整理得a2+4a+9=0.此方程无实数根，a的 (3)由题意，得P=p2+p+1,Q=g2+q+1,P4Q=p2+ 值不存在.②当a+3<2,即a<-1时，有a-1<a+3<2,. p+1+g2+9+1=p2+92+4=(2-q)2+92+4=2(q-1)2+6≥6.p≠ 点P,Q之间的图象的最高点是点Q,最低点是点P, 9,9≠1.P4Q>6. ∴.[a(a+3)2-4a(a+3)+4]-[a(a-1)2-4a(a-1)+4]=10d.整 18.(1)证明：矩形MEFW与矩形EBCF面积相 理得a+4-0,解得a=-4.综上所述，a的值是8-V55 等，∴ME=BE,AM=GH.:四块矩形花圃的面积相等， 或-4. 即S矩形Aww=2S矩形w,AM=2ME.AE=3BE.(2) 第二章自我检测 解：篱笆总长为100m,2AB+GH+3BC=100,即 1.A2.B3.B4.C5.C6.A7.C8.D 21B+74B+3BC-100AB=40-号BC.BC的长度为 920510121.1,)12-6513.￥ xm,矩形区域ABCD的面积为ym2,y=BC·AB= 14.-6<m<-2提示：当y=0时，-x2+x+6=0,解 x40-号x=名P+40.AB=40-gC,BE=I0- 得1=-2,2=3，则二次函数y=-x2+x+6与x轴的交点 坐标为(-2,0)，(3,0).将该二次函数在x轴上方 80解得199=-号r40r0cc1g0 3 的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的表达式为 19.解：(1)当x=20时，y=-5+400=-5x20+400= y=(x+2)(x-3),即y=x2-x-6（-2≤x≤3).当直线y= 300.300×(12-10)=300×2=600(元).答：政府这个月 -x+m经过点(-2,0)时，2+m=0,解得m=-2;当直 为他承担的总差价为600元.(2)依题意得，w=(x- 线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公 10)(-5x+400)=-5x2+450x-4000=-5(x-45)2+6125. 共点时，方程x2-x-6=-x+m有相等的实数解，解得 a=-5<0,.当x=45时，w有最大值6125元.答：当 m=-6.综上所述，当直线y=-x+m与新图象有4个交 销售单价定为45元时，每月可获得最大利润6125元 点时，m的取值范围为-6<m<-2. 20.解：(1)①设抛物线对应的函数表达式为y= 15.解：(1)·抛物线y= a(x-20)2+10,把(0,0)坐标代入表达式中，得400a+ x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0), 则1-b+c=0, 10=0.解得a=40∴抛物线对应的函数表达式为y- B(4,0), 解得 16+4b+c=0. 0x-20P+10,即y=一02+r(0≤≤40).②石块 b=-3 c=-4. 抛物线的表达式为y= 能飞越防御墙AB.理由如下：把x=28+2=30代入表达 -34.p3,2 .(2) 式)0r,得)广000-30=75.756，石块 如图，连接OP,A(-1,0), 第15题答图 能飞越防御墙AB.(2)由题可知B(28,6),抛物线 84.0.c0,4,P是.2.Sm4号3 y=a(x-20)2+h,.把(0,0)，B(28,6)代入表达式， Sm=7X4x空-空，S6m=号x4x4-85ae=5a+ 得a0200。解得a高把0.0.C30.6 la(28-20)2+k=6. 42 5rsar3+2-8号 代人表达式，得。年得一司a的取 2 16.解：(1)把点(-2,0)代入y=ax2-2ax-8, 值范围为-0≤a≤石 得0=4a+4a-8.解得a=1..抛物线的函数表达式为y= 21.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+ x2-2x-8.y=x2-2x-8=(x-1)2-9,.抛物线的顶点坐标 b(k≠0)，将(30,150)，(80,100)坐标分别代入 为(1，-9).(2)把(-4，m)代入y=x2-2x-8,得 y=(-4)2-2x(-4)-8=16..m=16.把(n,7)代入函数表 表达式中，得30+6150：解得，y与之同 180k+b=100 lb=180. 数学 九年级下册（北师大版） 的函数关系式为y=-x+180(30≤x≤80).(2)设利 19.(1)证明：∠ADC和∠ABC分别是△CDE 润为U元，由题意，得u=(x-30)(-x+180)=-X2+210x- 和△CBF的外角，∴.∠ADC=∠E+∠ECD,∠ABC= 5400(30≤x≤80).令-x2+210x-5400=3600,解得= ∠F+∠FCB.∠E=∠F,∠ECD=∠FCB,.∠ADC= 60或=150（舍去）.答：如果该超市销售这种商品每 ∠ABC.(2)解：如图，连接EF,:∠A+∠BCD= 天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60 180°，∠DCE+∠BCD=180°，.∠DCE=∠A.:∠DCE= 元.(3)将函数U=-x2+210x-5400配方，得0=-(x- ∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2.∠A+∠1+∠2+∠AEB+ 105)2+5625.-1<0,.抛物线开口向下，对称轴为x= ∠AFD=180°，，2∠A+∠AEB+∠AFD=180°.：∠AEB= 105..当x≤105时，w随x的增大而增大.30≤x≤ 40°，∠AFD=42°，..2∠A=98°...∠A=49° 80,.当x=80时，0最大，最大利润为5000元.答： 当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最 大利润是5000元. 第三章自我检测 1.B2.C3.A4.B5.B6.C7.30° 8.2V/3cm9.124°10.2011.7012.5 13.(3,-2 第19题答图 第20题答图 14.解：连接AE,CF,则∠DFC=∠AEB=90° DF=BE,AB=DC,.△ABE≌△CDE∴∠B=∠D=50° 20.(1)证明：如图，连接EF,:∠BAC=90°， 15.解：连接AO并延长交⊙0于点D,连接DC, ,EF是⊙0的直径.OA=OE..∠BAD=∠AEO.点D 则∠ACD=90°.∠B=∠D,∠B=60°，∠D=60°.在 是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD=BD.∠B= Rt△ACD中，AC=3cm,∠D=60°，.AD=2V3cm, ∠BAD.∴.∠AEO=∠B..OE∥BC.EG⊥BC,.OE⊥ .⊙0的直径为2V3cm. EG.:点E在⊙0上，∴EG是⊙0的切线.(2)解： 16.解：AB∥CE.理由：：四边形ABCD是圆内接 ⊙0的半径为5，EF=20E=10.在Rt△AEF中，AF 四边形，∠ED1=∠B又8e,△ED 6,根据勾股定理，得AE=VEF-AF=V10-6=8.由 △CBA...∠DAE=∠CAB..∠DAE=∠ACD,∴.∠ACD= )知0E/BC,小品-品01=0,6能=4B=8 ∠CAB..AB∥CE. 21(1)证明：如图，连接0E,0E=0C, 17.解：(1)连接A0并延长交⊙0于点E,连接 ∠OEC=∠OCE.:DF=FE,∴.∠FED=∠FDE:LFDE= EC,EB,则∠ACE=∠ABE=90°.AE=4,AB=2V3, ∠CDO,OC⊥AB,即∠CD0+∠OCD=90°，.∠FED+ ∴.∠BAE=30°..∠BCE=∠BAE=30°..∠ACB=∠ACE+ ∠0EC=90°.∴.∠FE0=90°，即OE⊥FE.OE是⊙0的 ∠BCE=120°.(2)过点D作DH⊥AB于点H. 半径，.EF为⊙0的切线.(2)解：设⊙0的半径 S=ABDH,AB=2V3,当DH最大时，SA E0=B0=r,则BD=BF=T-1.∴.FE=2BD=2(r-1).在 Rt△OEF中，由勾股定理，得FE+OE-0F,.(2r-2)2+ 最大.点D在优弧ADB上，DH过圆心O时最大 2-(2r-1)只.解得=3或=1（舍去）..⊙0的半径为3. .当DH最大值=2+V22-(V3)2=3时，Sm最大=3V3. 18.(1)证明：AC是⊙0的直径，.∠ABC=90° .∠BAC+∠ACB=90°..CF与⊙0相切，AC是⊙0的 直径，∴.∠ACF=90°.∴.∠F+∠FAC=90°.：B,D两点关 于AC对称，AB=AD,AC⊥BD..∠BAC=∠FAC.. ∠ACB=∠F(2)解：如图，连接OD,B,D两点 关于AC对称，AC⊥BD..BC=DC.OE=CE, ∴.OD=CD..0C=OD=CD=20E=2.∴.△0CD是等边三角 第21题答图 形.∴LC0D=60°.DC=60xm×2=4如 180 3 22.(1)证明：.OA为⊙0的半径，AB与⊙0相 切于点A,.OA⊥AB..∠OAB=90°.BD⊥OB, ∠DBC=90°..OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA.∠OCA= ∠BCD,.∴∠OAC=∠BCD.'∠OAC+∠BAD=90°，∠D+ ∠BCD=90°，∴.∠BAD=∠D.∴AB=BD.(2)解： ∠OAB=90°，AB=BD=5V3,BC=5,∴AB+A0=OB .(5V3)2+0A2=(0A+5)2..0A=5..0B=10..0A= 第18题答图 248