专题07二次函数的七类实际问题-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题07 二次函数的七类实际问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、围栏问题 2 类型二、图形运动问题 4 类型三、拱桥问题 6 类型四、销售利润问题 8 类型五、投球问题 10 类型六、喷水问题 12 类型七、增长率问题 14 压轴能力测评 15 1.二次函数的图像特点 用配方法可化成：的形式，其中. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）: 顶点坐标是（﹣，）， 对称轴直线x＝﹣， 2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上， x＜﹣时，y随x的增大而减小； x＞﹣时，y随x的增大而增大； x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下， x＜﹣时，y随x的增大而增大； x＞﹣时，y随x的增大而减小； x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 类型一、围栏问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围. 一般涉及到矩形等四边形问题，把图形的面积公式掌握，把需要用到的边和高等用未知数表示，即可表示出面积问题的二次函数的关系式，通过最值问题的解决方法，即可求出最值等问题，注意自变量的取值范围问题。 例．如图，用长为米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米．    (1)求关于的函数解析式； (2)求的最大面积． 【变式训练1】．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 【变式训练2】．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． (1)用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是__________； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)苗圃的面积能否为？若能，请求出x的值；否则请说明理由． 【变式训练3】．如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 类型二、图形运动问题 此类问题一般具体分析动点所在位置，位置不同，所求的结果也不一样，一般把每一段的解析式求出来，根据解析式判断函数类型，从而判断图像形状。 例．矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　） A．B．C．D． 【变式训练1】．如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A．B．C．D． 【变式训练2】．如图，中，，边上的高为，点，，分别在边，，上，且。设点到的距离为，的面积为，则关于的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 【变式训练3】．如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 类型三、拱桥问题 ◆1、建立二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． ◆2、建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （1） 根据题意建立适当的平面直角坐标系； （2） 把已知条件转化为点的坐标； （3） 合理设出函数解析式； （4） 利用待定系数法求出函数解析式； （5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 例．如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 【变式训练1】．如图①，是我市一条河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图②）． (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离； (3)有一条货船宽6米，货箱高3米，问货船能否安全通过该拱桥？ 【变式训练2】．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度米，顶点距水面米（即米），小孔顶点距水面米（即米），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度． 【变式训练3】．如图，一座抛物线形的拱桥，其形状可以用来描述． (1)当水面到拱桥顶部的距离为时，水面的宽为多少？ (2)当水面宽为时，则水面到桥拱顶部的距离为多少？ 类型四、销售利润问题 ◆1、销售问题中的数量关系： 销售利润=销售收入﹣成本； 销售总利润=销售量×单价利润 ◆2、求解最大利润问题的一般步骤： （1） 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. ◆3、在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 例．春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【变式训练1】．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如表： 售价（元件） 周销售量（件） 周销售利润（元） 注：周销售利润周销售量（售价进价） (1)求关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)表格中，当时， ______ ，当时， ______ ； (3)求当售价是多少时，周销售利润最大，最大利润是多少元． 【变式训练2】．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（）天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x（天） 售价（元/件） 90 每天销量（件） 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元． (1)求出y与x的函数关系式； (2)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？ (3)在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5832元，求出a的值． 【变式训练3】．某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，销售单价为元时，每月的销售量为件，而销售单价每降低元，则每月可多售出件，且要求销售单价不得低于成本． (1)求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式；（需求自变量取值范围） (2)若使该商品每月的销售利润为元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ (3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 类型五、投球问题 此类问题一般需要建立平面直角坐标系，设定好每个点的坐标，分析好题目中的每句话的含义是解决这类问题的关键，有排球、足球、高尔夫球、篮球等，首先根据已知条件确定设定的解析式形式，求出解析式，再根据题意了解问题所求的实质是什么求出即可。 例．如图，小贤与小刚在进行篮球的传球训练，小贤在点处，小刚在点处，两人相距6米，小贤给小刚传球，篮球的飞行轨迹可看成是抛物线．已知小贤投出球时手离地面米，篮球飞行的水平速度为10米/秒，篮球与小贤的水平距离（单位：米）与离地高度（单位：米）的数据如下表所示（水平距离水平速度时间）： /米 … 1 2.5 4 5.5 7 … /米 … 3 3.75 4 3.75 3 … (1)求关于的函数解析式． (2)小刚在小贤传球瞬间就作出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地高度不大于小刚的最大接球高度，则视为接球成功．已知小刚面对篮球后退的过程中的速度为2米/秒，最大接球高度为米．请问小刚能否成功接球？并说明理由． 【变式训练1】．如图1为弹球游戏示意图，弹力球从桌子左边沿正上方某一高度向右发射后与桌面接触，连续弹起降落，以O为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系如图2，设小球高度为，水平方向的距离为．小球运动轨迹由多个抛物线组成，其中第一段抛物线的解析式为，后续抛物线均可由第一段抛物线平移得到．已知桌长为，小球每次撞击桌面后弹跳的最大高度为前一次最大高度的．（忽略小球体积） (1)若第一次落点刚好在桌子正中间，求第一段抛物线的解析式； (2)在（1）的情况下，判断小球是否会再次接触桌面，并说明理由； (3)若小球只接触桌面一次，求发射高度的取值范围． 【变式训练2】．鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 0 9 12 15 18 21 … 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …      (1)根据表中数据预测足球落地时，_______m； (2)求h关于s的函数解析式． 【变式训练3】．如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度（m）与运行的水平距离（m）满足关系式，已知球网与O点的水平距离为9m，球网高度为2.43m，球场另一边的底线距点的水平距离为18m． (1)当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） (2)当时，球能否越过球网？球会不会出底线？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，且刚好落在底线上，求h的值． 类型六、喷水问题 此类问题跟投球问题差不多，首先根据坐标系和题意确定点的坐标情况，根据点的坐标求 出解析式。 例．现有一瓶洗手液如图1所示．已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧和，它们的圆心分别为点和点，下部分是矩形，且，，点到台面的距离为，如图2所示，若以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，当手按住顶部下压时，洗手液从喷口流出，其路线呈抛物线形，此时喷口距台面的距离为，且到的距离为，此时该抛物线形的表达式为，且恰好经过点． (1)请求出点E的坐标，并求出b，c的值. (2)接洗手液时，当手心距所在直线的水平距离为时，手心距水平台面的高度为多少？ 【变式训练1】．小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度与距离浇水装置的水平距离之间的函数图象，如图所示，已知点，抛物线顶点坐标为点． (1)求水流所形成的抛物线的表达式． (2)小华通过观察发现距离喷水装置处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因． (3)通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案． 【变式训练2】．大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为与的函数表达式为，水柱的最大高度为． (1)求关于的函数表达式． (2)一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发，需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ 【变式训练3】．【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 (1)任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式． (2)任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围． (3)任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？（直接写出答案，精确到米）． 类型七、增长率问题 例．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【变式训练1】．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【变式训练2】．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【变式训练3】．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元. （1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？ （2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？ 1．如图，和都是边长为的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将沿着直线向右移动，当点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为（   ） A．B．C．D． 2．如图，中，，点P从点A出发，以的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，直到它们都到达点C为止．若的面积为，点P的运动时间为，则S与t的函数图象是（    ） A．B．C． D． 3．如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为． 有下列结论： ①当水面宽度为时，水面下降了； ②当水面下降时，水面宽度为； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（    ） A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 9．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品年产量y与x的函数关系是(     ) A．y=20（1﹣x）2 B．y=20+2x C．y=20（1+x）2 D．y=20+20x2+20x 10．已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数的七类实际问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、围栏问题 2 类型二、图形运动问题 6 类型三、拱桥问题 11 类型四、销售利润问题 15 类型五、投球问题 20 类型六、喷水问题 26 类型七、增长率问题 32 压轴能力测评 36 1.二次函数的图像特点 用配方法可化成：的形式，其中. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）: 顶点坐标是（﹣，）， 对称轴直线x＝﹣， 2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上， x＜﹣时，y随x的增大而减小； x＞﹣时，y随x的增大而增大； x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下， x＜﹣时，y随x的增大而增大； x＞﹣时，y随x的增大而减小； x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 类型一、围栏问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围. 一般涉及到矩形等四边形问题，把图形的面积公式掌握，把需要用到的边和高等用未知数表示，即可表示出面积问题的二次函数的关系式，通过最值问题的解决方法，即可求出最值等问题，注意自变量的取值范围问题。 例．如图，用长为米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米．    (1)求关于的函数解析式； (2)求的最大面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据矩形的面积公式即可求解； （）根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意求出关于的函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为． 【变式训练1】．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，设出宽表示出长，根据数量关系，列出关系式． （1）根据长方形的周长公式，表示出的长即可； （2）根据长方形面积公式求出S与x的函数关系式即可． 【详解】（1）解：∵篱笆总长为，鸡场的长为， ∴， 故答案为：． （2）解：， 答：S与的函数关系式为． 【变式训练2】．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． (1)用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是__________； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)苗圃的面积能否为？若能，请求出x的值；否则请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)苗圃的面积不能为，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，列代数式．解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． （1）木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米，即得长； （2）根据题意得：，即可解得的值； （3）设矩形的面积为，，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米， ∴长为：（米）． 故答案为：． （2）根据题意得：， 解得：，， ∵当时，， 当时，， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为8． （3）设矩形的面积为， 则， ∵， ∴时，的值最大，最大值为108， ∴苗圃的面积不能为． 【变式训练3】．如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 【答案】(1) (2)的长为米 (3)12平方米 【分析】此题主要考查的是二次函数的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键. （1）根据题意结合图形即可求解； （2）根据矩形的面积公式列方程求解即可； （3）设小型农场的面积为，求出关于的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答. 【详解】（1）∵点在线段上， 米， （2）解：∵点在线段上， ，即， ； ∵的面积为平方米， ∴， 解得（舍去），， ∴的长为米； （3）解：设小型农场的面积为， 则， ∵ ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，最大，最大为12平方米． 类型二、图形运动问题 此类问题一般具体分析动点所在位置，位置不同，所求的结果也不一样，一般把每一段的解析式求出来，根据解析式判断函数类型，从而判断图像形状。 例．矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数及其图象，一次函数及其图象的知识，根据题意写出其解析式是解题的关键．根据题意写出函数解析式，分情况讨论即可． 【详解】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论： 当时，， 此时函数的图象为抛物线的一部分， 它的最高点为抛物线的顶点，最低点为； 当时，点E停留在B点处， 故，此时函数的图象为直线的一部分， 它的最上点可以为，它的最下点为． 结合四个选项的图象知选A项． 故选：A． 【变式训练1】．如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】解：如图，，，， ①当时， 正方形的边长为， ； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合． 故选：A． 【变式训练2】．如图，中，，边上的高为，点，，分别在边，，上，且。设点到的距离为，的面积为，则关于的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】可过点向作于点，所以根据相似三角形的性质可求出，进而求出函数关系式，由此即可求出答案． 本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出与的函数关系式是解题的关键，也是本题的难点． 【详解】解：过点向作于点， 设点到的距离为，的面积为， ∵， ∴，，， ∴，即， ∴ 所以． 与的关系式为：． 纵观各选项，只有A选项图象符合． 故选：A． 【变式训练3】．如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据点的位置对分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知：当点到点时，；当点到点时，； 当时，如下图所示，此时阴影部分为梯形，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵，，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴； 当，如下图所示，此时阴影部分为三角形，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴， ∵，，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴． 综上所述： 结合图像可得只有项符合题意， 故选：． 【点睛】此题考查的是求实际问题中的函数关系式，二次函数的图像及性质，掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质、梯形面积公式、三角形的面积公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 类型三、拱桥问题 ◆1、建立二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． ◆2、建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （1） 根据题意建立适当的平面直角坐标系； （2） 把已知条件转化为点的坐标； （3） 合理设出函数解析式； （4） 利用待定系数法求出函数解析式； （5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 例．如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 【答案】(1) (2)9米 (3)米 【分析】（1）设抛物线表达式为，将点、代入得，计算求解，进而可得抛物线的表达式． （2）由题意知，，由，可知当时，y取得最大值，最大值为9，然后作答即可． （3）当时， ，可求，，根据货箱最宽为，计算求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， 将点、代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意知，， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为9． ∴在正常水位时桥面距离水面的高度为9米． （3）解：根据题意，当时， ， 解得，， ∴货箱最宽为（米）． ∴若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程是解题的关键． 【变式训练1】．如图①，是我市一条河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图②）． (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离； (3)有一条货船宽6米，货箱高3米，问货船能否安全通过该拱桥？ 【答案】(1) (2) (3)能安全通过 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键． （1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为，与y轴交点坐标是，设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程； （2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是他们的距离． （3）求出时的函数值，与船高比较即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 把点代入得：，即， ∴抛物线解析式为． （2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4， ∴ ∴ ∴， ∴两景观灯间的距离为米． （3）货船走桥洞的正中间最容易通过， ∵货船宽6米， ∴左侧距离桥的距离为, 当时， ∵货箱高3米，， ∴货船能安全通过改拱桥。 【变式训练2】．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度米，顶点距水面米（即米），小孔顶点距水面米（即米），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度． 【答案】米 【分析】此题主要考查的是待定系数法求解析式以及二次函数的对称性，求出二次函数的解析式是解决问题的关键； 设出大孔抛物线的解析式的一般形式，代入点的坐标求得函数解析式，再由点的纵坐标代入即可解答． 【详解】解：设大孔对应的抛物线解析式为：，依题意得，， ， 解得：， 即， 当时，， 解得：， ，， 即此时大孔的水面宽度为米 【变式训练3】．如图，一座抛物线形的拱桥，其形状可以用来描述． (1)当水面到拱桥顶部的距离为时，水面的宽为多少？ (2)当水面宽为时，则水面到桥拱顶部的距离为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质的运用，将实际问题转化为数学问题是解题的关键； （1）当时，代入函数关系式求出的值就可以求出结论； （2）水面宽为时，由抛物线的对称性就可以得出横坐标为或，代入解析式就可以求出结论． 【详解】（1）解：当水面到拱桥顶部的距离为时， ， 将代入中，得： 解得： 所以水面宽为， 当水面到拱桥顶部的距离为时，水面的宽为 （2）当水面宽为时，取值为， 将代入中，得： 故水面到拱桥顶部的距离为米． 类型四、销售利润问题 ◆1、销售问题中的数量关系： 销售利润=销售收入﹣成本； 销售总利润=销售量×单价利润 ◆2、求解最大利润问题的一般步骤： （1） 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. ◆3、在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 例．春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是，且是整数）； （2）由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是； （3）由（2）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 【变式训练1】．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如表： 售价（元件） 周销售量（件） 周销售利润（元） 注：周销售利润周销售量（售价进价） (1)求关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)表格中，当时， ______ ，当时， ______ ； (3)求当售价是多少时，周销售利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1) (2)， (3)当售价是元件时，周销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （2）该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价； （3）根据周销售利润周销售量售价进价，列出关于的二次函数，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，将，分别代入得： ， 解得． 关于的函数解析式为． （2）解：∵该商品进价是元件； 当时，，当时，元， 故答案为：，； （3）解：由题意得： 二次项系数，抛物线开口向下， 当售价是元件时，周销售利润最大，最大利润是元． 【变式训练2】．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（）天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x（天） 售价（元/件） 90 每天销量（件） 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元． (1)求出y与x的函数关系式； (2)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？ (3)在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5832元，求出a的值． 【答案】(1) (2)共有41天当天销售利润不低于4800元 (3)a的值为1 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）分和两种情况，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）根据题意，列出不等式进行求解即可； （3）根据题意，列出函数关系式，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 综上：； （2）当时，令， 解得：或（舍去）； ∴当时：； 同理：当，时， 解得：， ∴， 综上：当时每天销售利润不低于4800元， 即共有天每天销售利润不低于4800元； （3）∵， ∴， ∴， 由题意，得：， ∵抛物线的对称轴为直线， 当，即：时，时， ， ∴， 解得：或（舍去）； ∴． 【变式训练3】．某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，销售单价为元时，每月的销售量为件，而销售单价每降低元，则每月可多售出件，且要求销售单价不得低于成本． (1)求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式；（需求自变量取值范围） (2)若使该商品每月的销售利润为元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ (3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)与的函数关系式为； (2)当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元； (3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元． 【分析】（）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可； （）根据题意，按照等量关系“销售量（售价成本）”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价； （）设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可； 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． 【详解】（1）依题意，得：， ∴与的函数关系式为； （2）∵依题意得：，即， 解得：，， 又∵， 答：当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元； （3）设每月总利润为元，依题意得， ， ∵，此图象开口向下， 当时，有最大值， 答：为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元． 类型五、投球问题 此类问题一般需要建立平面直角坐标系，设定好每个点的坐标，分析好题目中的每句话的含义是解决这类问题的关键，有排球、足球、高尔夫球、篮球等，首先根据已知条件确定设定的解析式形式，求出解析式，再根据题意了解问题所求的实质是什么求出即可。 例．如图，小贤与小刚在进行篮球的传球训练，小贤在点处，小刚在点处，两人相距6米，小贤给小刚传球，篮球的飞行轨迹可看成是抛物线．已知小贤投出球时手离地面米，篮球飞行的水平速度为10米/秒，篮球与小贤的水平距离（单位：米）与离地高度（单位：米）的数据如下表所示（水平距离水平速度时间）： /米 … 1 2.5 4 5.5 7 … /米 … 3 3.75 4 3.75 3 … (1)求关于的函数解析式． (2)小刚在小贤传球瞬间就作出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地高度不大于小刚的最大接球高度，则视为接球成功．已知小刚面对篮球后退的过程中的速度为2米/秒，最大接球高度为米．请问小刚能否成功接球？并说明理由． 【答案】(1) (2)小刚不能成功接球．理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意得，抛物线与轴的交点为，可设抛物线为，又抛物线的对称轴是直线，且过点，可得方程组，求出，即可得解析式； （2）依据题意，设秒时，篮球位于小刚正上方，从而可得球飞行的水平距离为，求出，进而可得，再代入解析式，结合题意即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线与轴的交点为， 可设抛物线为， 又抛物线的对称轴是直线，且过点， ． ． 所求函数的解析式为； （2）解：小刚不能成功接球． 理由：设秒时，篮球位于小刚正上方， 球飞行的水平距离为． ． ． ． ， 小刚不能成功接球． 【变式训练1】．如图1为弹球游戏示意图，弹力球从桌子左边沿正上方某一高度向右发射后与桌面接触，连续弹起降落，以O为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系如图2，设小球高度为，水平方向的距离为．小球运动轨迹由多个抛物线组成，其中第一段抛物线的解析式为，后续抛物线均可由第一段抛物线平移得到．已知桌长为，小球每次撞击桌面后弹跳的最大高度为前一次最大高度的．（忽略小球体积） (1)若第一次落点刚好在桌子正中间，求第一段抛物线的解析式； (2)在（1）的情况下，判断小球是否会再次接触桌面，并说明理由； (3)若小球只接触桌面一次，求发射高度的取值范围． 【答案】(1) (2)小球不会再次接触桌面，理由见解析 (3)当时，小球只接触桌面一次 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）把，，代入，求出b即可求解； （2）设第二段抛物线解新式为，把，，代入求出h值，得到，再把人攻求出x，然后再与80比较即可得出结论； （3）分两种情况：①若小球第一次正好接触桌面边缘，②若小球第二次下落正好接触桌面边缘，分别求解即可． 【详解】（1）解：设 当时，， 解得 （2）解：第一段抛物线的最大高度为 则第二段抛物线的最大高度为 设第二段抛物线解新式为 当时，， 或（舍去） 当时， 解得或40 又 小球不会再次接触桌面 （3）解：①若小球第一次正好接触桌面边缘， 当时，， 则 解得 ②若小球第二次下落正好接触桌面边缘 第一段： 第二段： 当时， 解得 因为正好接触边缘 当时，小球只接触桌面一次． 【变式训练2】．鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 0 9 12 15 18 21 … 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …      (1)根据表中数据预测足球落地时，_______m； (2)求h关于s的函数解析式． 【答案】(1)30 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴和待定系数法求抛物线解析式是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性先求抛物线的对称轴，再根据对称轴求解； （2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此解答即可． 【详解】（1）解：由表格可知，时和时，相等， 抛物线关于对称， 又当时，， ∴ 时，， 故答案为：30． （2）解：由（1）知，抛物线关于对称，设， 把代入上述解析式， ， 解得：， ． 【变式训练3】．如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度（m）与运行的水平距离（m）满足关系式，已知球网与O点的水平距离为9m，球网高度为2.43m，球场另一边的底线距点的水平距离为18m． (1)当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） (2)当时，球能否越过球网？球会不会出底线？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，且刚好落在底线上，求h的值． 【答案】(1)； (2)球能越过网，球会过界，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，解题的关键是利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围． （1）利用将点，代入解析式求出即可； （2）利用当时，，当时，分别得出即可； （3）代入和18得到有关的方程，求得的值即可． 【详解】（1）解：把，，及代入到 即， ， ； （2）解：， 当时， 球能越过网， 时， 球会过界； （3）解：，，代入到得；依题意： 时，① 时，② 由①，②得． 类型六、喷水问题 此类问题跟投球问题差不多，首先根据坐标系和题意确定点的坐标情况，根据点的坐标求 出解析式。 例．现有一瓶洗手液如图1所示．已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧和，它们的圆心分别为点和点，下部分是矩形，且，，点到台面的距离为，如图2所示，若以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，当手按住顶部下压时，洗手液从喷口流出，其路线呈抛物线形，此时喷口距台面的距离为，且到的距离为，此时该抛物线形的表达式为，且恰好经过点． (1)请求出点E的坐标，并求出b，c的值. (2)接洗手液时，当手心距所在直线的水平距离为时，手心距水平台面的高度为多少？ 【答案】(1)，的值是1，的值是18 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算． （1）由图可得的坐标，再根据待定系数法可得与的值； （2）把代入解析式可得答案． 【详解】（1）由题意得，，， 代入可得， 解得：， ， 答：，的值是1，的值是18； （2），， ， 把代入关系式为， 答：手心距水平台面的高度为． 【变式训练1】．小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度与距离浇水装置的水平距离之间的函数图象，如图所示，已知点，抛物线顶点坐标为点． (1)求水流所形成的抛物线的表达式． (2)小华通过观察发现距离喷水装置处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因． (3)通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)此浇水装置不能浇到古树，见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． （1）根据题意用待定系数法求解析式即可； （2）令，解一元二次方程，求出的与5比较即可； （3）设此浇水装置需向上平移 ，则平移后的解析式为，然后把代入解析式求出即可． 【详解】（1）解：设水流所形成的抛物线的表达式为． 把点代入，得， 解得， 水流所形成的抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得（负值已舍去）， ， 此浇水装置不能浇到古树； （3）解：喷水装置移动之后水流的形状、大小保持不变， 设此浇水装置需向上平移 ，则平移后的解析式为， 把，代入解析式得，， 解得， 此喷水装置需要向上移动的最小距离是． 【变式训练2】．大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为与的函数表达式为，水柱的最大高度为． (1)求关于的函数表达式． (2)一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发，需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ 【答案】(1)关于的函数表达式为 (2)射水鱼需要水平向右游动或才能击中昆虫 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动才能击中昆虫，根据平移的性质得出平移后的解析式，再把代入解析式求出m即可． 【详解】（1）解：水柱的最大高度为， ． 由题意，可知水柱过原点，将代入，得，解得． 关于的函数表达式为． （2）解：设射水鱼水平向右游动能击中昆虫． 游动后的抛物线表达式为．把代入，得，解得或． 射水鱼需要水平向右游动或才能击中昆虫． 【变式训练3】．【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 (1)任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式． (2)任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围． (3)任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？（直接写出答案，精确到米）． 【答案】(1) (2)p的取值范围为 (3)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米 【分析】（1）根据题意得到，，，，设抛弧线的解析式为：，利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式； （2）根据这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，结合农民最高点坐标为，以及二次函数性质求解，即可解题； （3）根据薄膜所在平面和地面的夹角是，设薄膜所在平面的直线解析式为，当抛物线与薄膜所在平面相切时（即只有一个交点），有，即，求出的值，得到薄膜所在平面的直线解析式，根据喷出的水与薄膜的距离至少是厘米，推出薄膜所在的直线应向右平移米，利用平移的规律得到平移后的解析式，即可解题． 【详解】（1）解：由题可知：，，，， 设抛物线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：由题可知：农民常常往返于菜地之间，则此时农民最高点坐标为， 将其代入得： ， 整理得， 解得：，，要农民不会被水淋到， 则， 综上：p的取值范围为； （3）解：由题知，薄膜所在平面和地面的夹角是，设薄膜所在平面的直线解析式为， 当抛物线与薄膜所在平面相切时，有， 整理得， 有， 解得， 薄膜所在平面的直线解析式为， 喷出的水与薄膜的距离至少是厘米， 即薄膜所在的直线应向右平移米， 平移后的直线解析式为， 当时，，解得， 薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，一次函数平移规律，二次函数的实际应用，理解题意，熟练运用相关知识求解是解题的关键． 类型七、增长率问题 例．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【变式训练1】．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 【变式训练2】．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【答案】（1）20%；（2）6125000（元） 【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可； （2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值． 【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0， 由题意得：， 解得：x=0.2或x=-2.2（舍）， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%； （2）设多改造a户，最高投入费用为w元， 由题意得：， ∵a=-50，抛物线开口向下， ∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解． 【变式训练3】．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元. （1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？ （2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？ 【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元 【分析】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，即可求解； (2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元，列不等式，求出a的范围，再求出的函数解析式，进而可求出答案. 【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得:，（舍去）. 答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%； （2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元. 根据题意，得:， 解得:， ， ∵， ∴随a的增大而减小. ∵a为整数， ∴当时，最小，最小值为（万元）. 此时，. 答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元. 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键. 1．如图，和都是边长为的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将沿着直线向右移动，当点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象和二次函数图象性质，分当时和时两种情况分析即可， 解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：如图，当时，过点作于， ∵和均为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 当时，，且抛物线的开口向上， 如图所示：时，过点作于，   同理得，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上， 故选：． 2．如图，中，，点P从点A出发，以的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，直到它们都到达点C为止．若的面积为，点P的运动时间为，则S与t的函数图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：当时，过作交于点，；当时，．本题考查二次函数的图象性质，动点运动，三角形面积．点是点运动的分界点，将运动过程分两种情况进行讨论是解题的关键． 【详解】解：①当时，点在上， ，， 过作交于点， ∵中，， ， ∵， ∴， ， ， ， ∵ ∴开口向上 ②当时，点在上， ， ∵ ∴开口向下 综上所述，正确的图象是B． 故选：B． 3．如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，结合图象表示出函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为 ∴ 则种花的面积的最大值为；故②正确 当时，即 即 ∴， ∴铺设草坪的面积可以是；故①正确 当时，即 ∴ 解得：，故③正确， 故选：D． 4．如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为． 有下列结论： ①当水面宽度为时，水面下降了； ②当水面下降时，水面宽度为； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用——搭桥问题．根据已知条件建立适当坐标系，从而得出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解决问题的关键． 建立直角坐标系，设坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C，进而求出二次函数解析式，设水面下降到位置，当水面宽5米时，设；当水面下降时，设；当水面下降时，设；逐一代入判断，即得． 【详解】如图，建立平面直角坐标系，坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C， 根据题意得，，， 由对称性知， ∴，，， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得，， ∴， 设水面下降到位置， 当水面宽5米时， 设， 则， ∴水面下降了，①正确； 当水面下降时， 设，则， 解得，， ∴水面宽度为，②正确； 当水面下降时， 设，则， 解得， ∴水面宽度为， ∴水面宽度增加了，③正确． 故选D． 5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程应用的最值问题. 根据题意用未知数表示出未知量；根据题目的条件列出一元二次方程，转化为一般式，求出最值. 【详解】解：∵每星期可以卖出300件， 又∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价x元， ∴实际卖出件. 故①正确； 设降价y元，那么卖出件， 根据题意可得：所获得的利润. 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 故②错误； 设涨价x元， 由题意可得：所获利润 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价为65元时利润最大. 故③错误. 故答案选：B 6．杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（    ） A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，设利润为，先根据“利润（售价进价）销售量”得出与的关系式，再根据二次函数的性质求解是解题关键． 【详解】解：设利润为，由题意可得， ， ，， 则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值， 故选B． 7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 8．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标； 设解析式为由题意得到顶点坐标及与轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；令，代入求解即可得到答案； 【详解】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为6， 将点代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数关系式为， 当时，， ∴点的纵坐标为； 则的高度是， 故选：B． 9．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品年产量y与x的函数关系是(     ) A．y=20（1﹣x）2 B．y=20+2x C．y=20（1+x）2 D．y=20+20x2+20x 【答案】C 【详解】由题意得：一年后该产品的年产量应为：20+20x=20(1+x)； 两年后该产品的年产量应为：[20(1+x)]+[20(1+x)]x=20(1+x)2， 故两年后该产品年产量应为：y=20(1+x)2 故答案为：C. 10．已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【分析】本题考查函数与不等式的关系，正确应用数形结合思想是解题关键． 令，根据题意画出的图象草图，再据此求解即可． 【详解】令， 一元三次方程的解为，，， 的图象与x轴的交点为，，． 当时，， ， 函数的图象与x轴的交点不含， 的图象草图如下： 从图象上可以看出时，即时，x的取值范围是或． 关于x的不等式的解集是或． 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$