专题08反比例函数的五类模型-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题08 反比例函数的五类模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、定值矩形与三角形 3 类型二、平行线之间的定值三角形 4 类型三、重叠型定值矩形、定值三角形 5 类型四、喇叭三角形 6 类型五、中点模型 7 压轴能力测评 8 1. 定值矩形与三角形 条件：P.Q为反比例函数y＝图像两点，PN⊥Y轴，QM⊥X轴 结论：S△NOP＝S△OQM＝|k| 2. 平行线之间的定值三角形 条件： 3.重叠型定值矩形、定值三角形 条件： 4.喇叭三角形 条件： 5.中点模型 条件： 类型一、定值矩形与三角形 例．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过上的两点A，P，其中P为的中点，的面积为8，则k的值为 ． 【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为3，则的值为 ． 【变式训练2】．如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ． 【变式训练3】．如图，A，B 两点在双曲线 y＝上，分别经过 A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S1+S2＝ ． 类型二、平行线之间的定值三角形 例．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 【变式训练1】．点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，联结AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ． 【变式训练2】．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若是轴上的任意一点，连接，，则的面积为 ． 【变式训练3】．如图，点A和点B分别是反比例的数y＝（x＞0）和y＝（x＞0），AB⊥x轴，点C为y轴上一点则m﹣n的值为 ． 类型三、重叠型定值矩形、定值三角形 例．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形AOBC的顶点在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上，则图中两菱形重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 【变式训练1】．已知点A、B分别在反比例函数和的图像上，四边形为平行四边形．将沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图像上的D点，则两个平行四边形重叠部分的面积为 ． 【变式训练2】．在平面直角坐标系中，有反比例函数与的图象和正方形，原点O与对角线，的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则 【变式训练3】．如图，点A，B在反比例函数的图象上，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，若（分别为和中空白部分的面积），S阴影＝1，则k的值为 ． 类型四、喇叭三角形 例．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段的中点，过点作轴于点，点为线段的三等分点，且．连接、，若，则的值为 ； 【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点、两点，连接，若的面积为12，则的值为 ． 【变式训练2】．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为6，则k的值为 ． 【变式训练3】．如图，点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，连结，，，．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 类型五、中点模型 例．如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为 ． 【变式训练1】．如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为 ，点的横坐标为 ． 【变式训练2】．以平行四边形的顶点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，为边上一点，，已知反比例函数的图象经过两点． （1）若为的中点，则点坐标 ． （2）当为的等分点，时，则值 ．（用含的代数式表示） 【变式训练3】．如图，正方形放置在直角坐标系中，反比例函数经过点和边的中点，已知，则的值为 ． 1．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，过点作轴于点，点在轴上，连接、．若的面积为，则的值为 ． 2．如图，，是双曲线上的两点，连接，过点作轴于点，交于点若为的中点，的面积为，点的坐标为，则的值为 ． 3．如图，点，在双曲线上，连接．若，则k的值是 ． 4．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴于点，交于点，且为的中点，若的面积为5，点B的坐标为，则的值为 ． 5．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ． 6．如图，点是反比例函数图象上的一点，作轴于点，轴于点，点、分别是、上的点，且的面积为，的面积为，则的面积为 ． 7．如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点．为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点O，，且顶点A、B、D都在反比例函数的图象上，则顶点C的坐标为 ． 9．如图，点在函数的图像上，过作轴于点，交直线于点，作轴于点，交直线于点，分别在矩形的外侧构造矩形，．若是的中点，图中阴影部分的面积为7，则的值为 ． 10．如图，函数图象上两点A，B的横坐标分别是a，b，点O为坐标原点，则的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 反比例函数的五类模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、定值矩形与三角形 3 类型二、平行线之间的定值三角形 6 类型三、重叠型定值矩形、定值三角形 10 类型四、喇叭三角形 14 类型五、中点模型 19 压轴能力测评 26 1. 定值矩形与三角形 条件：P.Q为反比例函数y＝图像两点，PN⊥Y轴，QM⊥X轴 结论：S△NOP＝S△OQM＝|k| 2. 平行线之间的定值三角形 条件： 3.重叠型定值矩形、定值三角形 条件： 4.喇叭三角形 条件： 5.中点模型 条件： 类型一、定值矩形与三角形 例．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过上的两点A，P，其中P为的中点，的面积为8，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由题意直接根据反比例函数k值的几何意义解答即可，即求出三角形面积即可． 【详解】解：如图，连接，作轴，垂足为E，轴，垂足为D， ∵P为的中点， ∴，, ∵反比例函数的图象经过点A、P， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键． 【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】3 【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质确定k的值． 【详解】连接OC，如图， ∵轴于点A，C是线段AB的中点， ∴， 而， ∴， 而， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【变式训练2】．如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ． 【答案】 【分析】因为P点在反比例函数的图像上，故点P的横、纵坐标之积是k，而点P的横、纵坐标的绝对值又对应矩形的长OM、宽ON，由已知条件“矩形的面积为3”，即OM·ON=3，从而建立k的方程，求出k的值即可得到该反比例函数的解析式． 【详解】解：设P的坐标是， ∵P在上，∴， 又矩形的面积为3，∴，即， 由于点P在第二象限，故， ， ∴，即， ∴， ∴该反比例函数的解析式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式中比例系数k的几何意义．要求反比例函数解析式，关键是确定比例系数k．一般而言，只须把函数图像上的一个已知点的坐标代入所设函数解析式中，即可求出k．但有时候只需知道该点横、纵坐标之积即可．因为由函数解析式变形可知：．本题借助“矩形的面积为3”这一条件间接给出了点P的横、纵坐标之积，这是解题的关键．通过本题我们可以总结得出反比例函数比例系数的几何意义：一般地，对于反比例函数上的任意一点，它与坐标轴围成的矩形面积就等于． 【变式训练3】．如图，A，B 两点在双曲线 y＝上，分别经过 A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S1+S2＝ ． 【答案】4 【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2． 【详解】解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3， ∴S1+S2=3+3-1×2=4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度． 类型二、平行线之间的定值三角形 例．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 【答案】 【分析】先证明四边形AMBN是平行四边形，的面积实际上就是面积的2倍，则S△ABM＝，结合图象可知． 【详解】解：∵OA=OB，ON=OM， ∴四边形AMBN是平行四边形， ∵S四边形AMBN＝1， ∴S△ABM＝， 设点A的坐标为（x，y）， ∴B的坐标为（−x，−y）， ∴×2x×y＝， ∴xy＝， ∴k＝xy＝． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键． 【变式训练1】．点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，联结AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ． 【答案】6 【分析】首先根据平行四边形的性质得出，从而有，然后根据k的几何意义求解即可． 【详解】如图， ∵点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D， ． ∵四边形ACBD是面积为12的平行四边形， ， ∴A，B关于原点对称， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及k的几何意义，掌握平行四边形的性质以及k的几何意义是解题的关键． 【变式训练2】．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若是轴上的任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，再根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】 连接OA、OB， 轴，和同底边AB， ， ， 反比例函数和的图象交于点和点， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论是解题的关键． 【变式训练3】．如图，点A和点B分别是反比例的数y＝（x＞0）和y＝（x＞0），AB⊥x轴，点C为y轴上一点则m﹣n的值为 ． 【答案】4 【分析】连接AO，BO，将△ABC面积转化为△ABO的面积，再通过求解． 【详解】解：连接， ∵AB⊥x轴，点C为y轴上一点， ∴ABy轴， ∴S△ABC＝S△ABO＝2， ∴． ＞＜ ∴ 即m﹣n＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，掌握图形面积与的关系是解题的关键． 类型三、重叠型定值矩形、定值三角形 例．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形AOBC的顶点在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上，则图中两菱形重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，由点A坐标求出，，求得，从而可求出阴影部分的面积 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵, ∴, ∴ ∵在上， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴ 由平移得， ∴点横坐标为2，纵坐标为 ∴ ∴ ∴阴影部分的面积为：, 故答案为： 【变式训练1】．已知点A、B分别在反比例函数和的图像上，四边形为平行四边形．将沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图像上的D点，则两个平行四边形重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，直线与双曲线的交点的求法．先将点A，B代入和，求出反比例函数解析式，利用平行四边形性质求出，设C点往上平移后为，代入，求出，根据平移的性质求出点坐标，由此可求出两个平行四边形重叠部分的平行四边形的面积． 【详解】解：把点A代入，得， 即为， 把B代入，得， 即为， 点A、B， ， ， ， 设C点往上平移后为， 在上， ， ∴， 平行四边形沿y轴向上平移个单位， 设直线的解析式为，代入A， 得，即直线的解析式为， 如图， 当时，，则点， 到距离为， 重叠的阴影部分的面积为． 故答案为：． 【变式训练2】．在平面直角坐标系中，有反比例函数与的图象和正方形，原点O与对角线，的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，正方形的性质，将不规则图形的面积转化为正方形的面积的一半，再求出解即可． 【详解】由图象可知反比例函数与的图象和正方形具有中心对称性， 可知图中y轴左侧正方形内部非阴影等于右侧正方形内阴影部分的面积， 所以正方形的面积， 解得． 故答案为：4． 【变式训练3】．如图，点A，B在反比例函数的图象上，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，若（分别为和中空白部分的面积），S阴影＝1，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键；利用，根据题意，即可求解 【详解】解：由题意，知和都是直角三角形， ，      ， ， ， 由图，可知， 故答案为： 类型四、喇叭三角形 例．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段的中点，过点作轴于点，点为线段的三等分点，且．连接、，若，则的值为 ； 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．设，其中，则由B是中点可求得点坐标，由点C在y轴上，得m与n的关系，从而得D、E的坐标；连接，则得，根据，则可求得k的值． 【详解】解：设，其中， 由于点B是的中点， 则； 因点C在y轴上，则， ∴； 即，； ∵轴于点，点为线段的三等分点，且 ∴D点的坐标为，E点坐标为， ∴，； 如图，连接， ∵点为线段的中点， ∴； ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：； 故答案为：． 【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点、两点，连接，若的面积为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用两直线k值相等两直线平行得到，代入数据求出点A的横坐标，继而求出A点的纵坐标，最后得到k值即可． 【详解】解：如图，连接， 直线的解析式为直线， ， 两条直线的k值相等， ， ， ， 将代入正比例函数得， ， 在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 【变式训练2】．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由题意知延长则经过点B，设，则，确定点，然后结合图形及反比例函数的k的几何意义，得出，再代入求解即可． 本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，割补法处理三角形面积，数形结合的思想以及方程思想是解决本题的关键． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， 设点， ∵矩形的对称中心为M， ∴延长则经过点B，， ∵， ∴， ∴， 过点M作于点N， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式训练3】．如图，点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，连结，，，．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 【答案】 【分析】如图，过作轴于，过作轴于，证明四边形是平行四边形，可得，证明，再建立方程求解即可； 【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于， ∵点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积为16， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，的几何意义，熟练的利用的几何意义解题是关键. 类型五、中点模型 例．如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据正方形的性质和折叠性质得到，，设，再利用两点坐标距离公式解方程求得，进而利用待定系数法求得直线的表达式为和直线的表达式为，联立方程组求得，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求得m值即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4，点D是边的中点， ∴，，则，，， ∵沿折叠得到， ∴，， 设，则，， 解得，，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得， ∴， ∵反比例函数的图象经过点F， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、折叠性质、两点坐标距离公式、解方程等知识，利用数形结合思想建立各知识的联系是解答的关键． 【变式训练1】．如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为 ，点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰直角三角形的判定和性质．分别过点，，，作轴的垂线，垂足分别为，，，，设，则，点，则点的横坐标为，再根据点在反比例函数 的图象上可求出，进而得点的横坐标为4，设，同理，则点，点的横坐标为，然后可求出，进而得点的横坐标为，设，则，点，点的横坐标为，然后求出，进而得点的横坐标为，同理：点的横坐标为，点的横坐标为，，以此类推即可点的横坐标． 【详解】解：分别过点，，，作轴的垂线，垂足分别为，，，，如下图所示： 是以为直角顶点的等腰直角三角形， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 设，则， 点的坐标为，则点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， （舍去负值）， 点的横坐标为4， 设，同理， 则点，点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 点的横坐标为， 设，则，点，点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 点的横坐标为， 同理：点的横坐标为，点的横坐标为， ，以此类推，点的横坐标为． 点的横坐标为，点的横坐标为． 故答案为：；． 【变式训练2】．以平行四边形的顶点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，为边上一点，，已知反比例函数的图象经过两点． （1）若为的中点，则点坐标 ． （2）当为的等分点，时，则值 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与平行四边形性质的综合题，涉及含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形等知识， （1）过点作轴的垂线交于点，利用含30度角的直角三角形的性质求得点C的坐标，进而得到点B的纵坐标，利用中点坐标公式可得点D的纵坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征求解即可； （2）过点作轴的垂线交于点，，则，利用30度角的直角三角形的性质得到，则，在中，利用30度角的直角三角形的性质得到求得点D的纵坐标为，进而D的横坐标为，则，求得即可求解． 【详解】解：（1）过点作轴的垂线交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，则； ∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点D为为的中点， ∴点D的纵坐标为， 将代入中，则， ∴点D坐标为， 故答案为：； （2）过点作轴的垂线交于点， ， 设，则， ， ，则， ， ， ,， ∴点D的纵坐标为，代入反比例函数中，得点D的横坐标为， ， ． 故答案为：． 【变式训练3】．如图，正方形放置在直角坐标系中，反比例函数经过点和边的中点，已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】设，则，，过点作轴于，过点作轴于，证明，得，，从而得点，则，证明，得，，得点，进而求出点，则，可得，解出即可得解． 【详解】解：∵点， ∴， 设，则，， 如图，过点作轴于，过点作轴于， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， 整理得：t2﹣3t﹣8＝0， 解得：，或（不合题意，舍去）， 当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，反比例函数的图像，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识点．解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定和性质，理解函数图像上的点的坐标满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图像上． 1．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，过点作轴于点，点在轴上，连接、．若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与三角形的综合，掌握反比例函数图像的性质，三角形的面积计算方法是解题的关键．点在函数的图像上，设，过点作轴于点，可求出的长，点在轴上，可知，点到线段的长，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵点在函数的图像上， ∴设， ∵过点作轴于点，点在轴上， ∴，点到线段的长为， ∵的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，，是双曲线上的两点，连接，过点作轴于点，交于点若为的中点，的面积为，点的坐标为，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用的面积转化为△的面积，然后即可得出k的值，然后再把 代入反比例函数上， 即可得出m的值． 【详解】解：∵D为的中点，的面积为3， ∴的面积为6， ∴． ∴， ∵点在反比例函数上， ∴ 故答案为：6． 3．如图，点，在双曲线上，连接．若，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，连接，依据，即可得到k的值． 【详解】解：如图，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，连接． ∵点，在双曲线上， ∴，即， ∴点，， 则， ∵， ∴， 即， 解得：或6， ∵双曲线位于第二，四象限内， ∴， ∴． 故答案为： 4．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴于点，交于点，且为的中点，若的面积为5，点B的坐标为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用是解题关键．由三角形等底同高面积相等，得出，，再由几何意义求出k，即可求出m． 【详解】解：∵且D为的中点， ∴， ∴， ∴， 由几何意义得，， ∵， ∴， ∵点B 是双曲线上的点， ∴， 即． 故答案为：10． 5．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形的面积为1，矩形的面积是3，则矩形的面积为． 【详解】解：过点A作轴于点E，轴， 则点在同一直线上， ∵点A在双曲线上，点B在双曲线上， ∴矩形的面积为1，矩形的面积是3， ∴矩形的面积为， 故答案为：2． 6．如图，点是反比例函数图象上的一点，作轴于点，轴于点，点、分别是、上的点，且的面积为，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用面积将线段和用含有、的代数式表示出来，进而将线段和也用的代数式表示出，利用面积公式即可求出． 本题考查了反比例函数中值的几何意义，，图象上点的坐标之积等于． 【详解】解：设点的坐标为，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点．为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的应用，根据直角三角形的性质，求出、两点坐标，作出辅助线，证得，利用勾股定理及待定系数法求反比例函数解析式，再求出、的解析式，再联立方程组，求得点的坐标，分两种情况讨论即可求解． 【详解】在中，，， ， ， 是的中点， ， 如图，过点作于， ∴， ， 在中，， ，． 反比例函数的图象经过斜边的中点， ， 解得． ∴反比例函数， 设直线的解析式为， 则， 解得， 的解析式为， ∵， 直线的解析式为， 点既在反比例函数图象上，又在直线上， 联立得， ∴， ∴，， ∴， ； 故答案为：4． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点O，，且顶点A、B、D都在反比例函数的图象上，则顶点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，设，则由对称性可知，先证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，，则，再求出点D的坐标为点D的坐标为，由点D在反比例函数图象上，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接， 设，则由对称性可知， ，， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， 轴，轴， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 点B平移到点A和点C平移到到点D的平移方式相同， 点D的坐标为， 又点D在反比例函数图象上， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， 故答案为： 9．如图，点在函数的图像上，过作轴于点，交直线于点，作轴于点，交直线于点，分别在矩形的外侧构造矩形，．若是的中点，图中阴影部分的面积为7，则的值为 ． 【答案】6 【分析】设，则，，根据阴影部分的面积为7，列出方程求出值，从而计算出值，即可得值． 【详解】解：设，则，， 阴影部分的面积为7， ， 解得（舍去）或， 当时，， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：6． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合、反比例函数与一次函数的综合，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 10．如图，函数图象上两点A，B的横坐标分别是a，b，点O为坐标原点，则的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数k值的几何意义，分别过点A、B作x轴、y轴的平行线，交y轴于点C，交x轴于点D，两直线交于点E，根据题意可知，利用代入求值即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B作x轴、y轴的平行线，交y轴于点C，交x轴于点D，两直线交于点E， 根据题意可知， ， 点A、B在反比例函数图象上， ， ， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$