专题09反比例函数与一次函数的五类模型-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题09 反比例函数与一次函数的五类模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、一次函数与反比例函数图像综合判断 2 类型二、一次函数与反比例函数的图像交点问题 3 类型三、一次函数与反比例函数的实际应用 5 类型四、一次函数与反比例函数的几何综合 7 类型五、一次函数与反比例函数的其它综合应用 9 压轴能力测评 11 1 一次函数与反比例函数图像综合判断 根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同或者对于各函数形式中，对应的字母意义分析。 2 一次函数与反比例函数的图像交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 3 一次函数与反比例函数的实际应用 反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。 二元一次方程组的应用。 平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键． 4 一次函数与反比例函数的几何综合 （1）掌握待定系数法求解函数解析式，一般用点的坐标表示图形面积；． （2）解题时，利用反比例函数图象上点的坐标特征，同时要注意运用数形结合的思想； （3）涉及到平行四边形性质及应用等，根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题； （4）反比例函数的性质、的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，都是运用的关键； （5）作图要根据步骤做规范作图。 5 一次函数与反比例函数的其它综合应用 类型一、一次函数与反比例函数图像综合判断 根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同或者对于各函数形式中，对应的字母意义分析。 例．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（  ） A．B．C． D． 【变式训练1】．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【变式训练2】．如图所示，满足函数和的大致图象是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【变式训练3】．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．  B．  C． D   类型二、一次函数与反比例函数的图像交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 例．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A． B．或 C．或 D． 【变式训练1】．如图，一次函数与反比例函数相交于点和点，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练2】．若双曲线与直线的两个交点分别为，，若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则下列结论正确的个数是（    ） ①；②点到的距离为；③方程有一个解为；④当，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型三、一次函数与反比例函数的实际应用 反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。 二元一次方程组的应用。 平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键． 例．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【变式训练1】．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【变式训练2】．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 类型四、一次函数与反比例函数的几何综合 反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。 二元一次方程组的应用。 平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键． 例．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【变式训练1】．如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【变式训练2】．如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 【变式训练3】．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段（即：当时，大棚内的温度是时间的反比例函数），已知点A坐标为． 请根据图中信息解答下列问题： (1)当时，求大棚内的温度y与时间x的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度； (3)若大橱内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 类型五、一次函数与反比例函数的其它综合应用 （1）掌握待定系数法求解函数解析式，一般用点的坐标表示图形面积；． （2）解题时，利用反比例函数图象上点的坐标特征，同时要注意运用数形结合的思想； （3）涉及到平行四边形性质及应用等，根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题； （4）反比例函数的性质、的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，都是运用的关键； （5）作图要根据步骤做规范作图。 例．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)若动点是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，，，，若的面积等于的面积的三分之一，则点的横坐标为 ． 【变式训练1】．已知反比例函数与正比例函数相交于A，B两点，A点横坐标为2． (1)______；当，x取值范围是______． (2)若A点坐标为，则B点坐标为______；（用a，b表示） (3)将正比例函数图象向下平移3个单位长度，分别交反比例函数图象于点C，D．交y轴于点E．连接，，求的面积． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，与y轴正半轴，x轴分别相交于C，D两点． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)求证：； (3)若点P是位于点C上方的y轴上的动点，过P，A两点的直线与该反比例函数的图象交于另一点E，连接．当，且的面积为18时，求点E的坐标． 【变式训练3】．已知点、点都在反比例函数图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S，求S； (3)一次函数的图象过点P、Q，求一次函数的表达式，并根据图象直接写出不等式的解集． 1．一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围） 2．已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是 ； ． 3．如图，直线与双曲线的图象在第一象限内交于点A，过A点的另一直线交双曲线于第三象限内的点B，则不等式的解集是 ． 4．如图，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴于点B，，则k的值为 ． 5．如图，直线与反比例函数的图像在第一象限交于点．若，则的值为 ． 6．将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 7．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    8．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作． （1） ； （2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是 ． 9．已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，求x的取值范围； (3)若点是轴上的点，的面积是4，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 反比例函数与一次函数的五类模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、一次函数与反比例函数图像综合判断 2 类型二、一次函数与反比例函数的图像交点问题 5 类型三、一次函数与反比例函数的实际应用 9 类型四、一次函数与反比例函数的几何综合 12 类型五、一次函数与反比例函数的其它综合应用 19 压轴能力测评 27 1 一次函数与反比例函数图像综合判断 根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同或者对于各函数形式中，对应的字母意义分析。 2 一次函数与反比例函数的图像交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 3 一次函数与反比例函数的实际应用 反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。 二元一次方程组的应用。 平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键． 4 一次函数与反比例函数的几何综合 （1）掌握待定系数法求解函数解析式，一般用点的坐标表示图形面积；． （2）解题时，利用反比例函数图象上点的坐标特征，同时要注意运用数形结合的思想； （3）涉及到平行四边形性质及应用等，根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题； （4）反比例函数的性质、的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，都是运用的关键； （5）作图要根据步骤做规范作图。 5 一次函数与反比例函数的其它综合应用 类型一、一次函数与反比例函数图像综合判断 根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同或者对于各函数形式中，对应的字母意义分析。 例．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（  ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，根据四个选项中的图象，先由反比例函数图象得到的正负，进而得到直线图象即可得到答案，熟记一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一三四象限，该选项不符合题意； B、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一三四象限，该选项符合题意； C、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一二四象限，该选项不符合题意； D、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一二四象限，该选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可． 【详解】解： A、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过二，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意； B、反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，三象限，与图象相符，故B符合题意； C、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过二，三，四象限，与图象不符，故C不符合题意； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，三象限，与图象不符，故D不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】．如图所示，满足函数和的大致图象是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限． 分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 【详解】解：， 函数过点， 故不合题意； 当时，函数过第一、三、四象限，函数在一、三象限； 当时，函数过第一、二、四象限，函数在二、四象限； 故符合题意； 故选：． 【变式训练3】．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．  B．  C． D   【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识点，利用分类讨论的数学思想解答是解题的关键． 利用一次函数和反比例函数图象的特点逐项判断即可． 【详解】解：在函数和， 当时，函数的图象在第一、三象限，函数的图象过第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确， 当时，函数的图象在第二、四象限，函数的图象过第一、二、三象限，故选项C错误． 故选：D． 类型二、一次函数与反比例函数的图像交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 例．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，的解集为：或； 故选C． 【变式训练1】．如图，一次函数与反比例函数相交于点和点，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像与交点问题，先求出m值，观察图象，在上方的函数图象所对应函数值较大，据此得到对应的自变量取值范围是不等式的解集，会利用函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】把点代入得： ， 解得， 由图象可得不等式的解集是或， 故选A． 【变式训练2】．若双曲线与直线的两个交点分别为，，若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，根据已知条件得到点，与点，关于原点对称是解题的关键．根据已知条件得到点，与点，关于原点对称，求得，，，，代入，求得． 【详解】解：∵双曲线与直线的两个交点分别为，， ∴与点关于原点对称， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练3】．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则下列结论正确的个数是（    ） ①；②点到的距离为；③方程有一个解为；④当，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先求出，，得，，从而得，．从而，利用面积公式计算判断①，利用面积法求出点到的距离判断②，利用数形相结合判断③和④即可． 【详解】解：直线中，当时，，令，则，解得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴轴， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∵． ∴． ∴， ∴，故①错误； 设点到的距离为为， ∵轴，， ∴， ∵，即， ∴点到的距离为为，故②正确； ∵，， ∴， ∵直线与坐标轴交于，两点，与双曲线交于点， ∴方程有一个解为，故③正确； ∵当时，直线在双曲线的下方， ∴当时，，故④正确． ∴正确的个数是个， 故选∶． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，直角三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点及一次函数与双曲线的交点问题，熟练掌握直角三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点及一次函数性质是解题的关键． 类型三、一次函数与反比例函数的实际应用 反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。 二元一次方程组的应用。 平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键． 例．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 【变式训练1】．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键． 【变式训练2】．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 【变式训练3】．小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图像，发现： 当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方， ∴不等式>x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式． 类型四、一次函数与反比例函数的几何综合 反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。 二元一次方程组的应用。 平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键． 例．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)点坐标为，或 (3)，或， 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，反比例函数中的几何意义，一次函数与反比例函数的图象交点坐标，三角形面积，两点间距离公式等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． （1）运用待定系数法即可求得的值，联立方程组可求得点的坐标； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，则，，分两种情况：当时，当时，分别利用三角形面积建立方程即可求得答案； （3）设直线的解析式为，与反比例函数解析式联立可得，则，，进而可得，根据，建立方程求解可得，即直线的解析式为，联立方程组即可求得答案． 【详解】（1）把代入，得， ， 代入，得， ， 反比例函数的解析式为， 联立方程组得：， 解得：，， ； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、， 则，， 当时，如图1，则， ，，， ， ，即， 解得：（舍去），， ，； 当时，如图2，则， ，，， ， ，即， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，点坐标为，或； （3）存在点使得，点坐标为，或，． ， 设直线的解析式为， 联立，得， 整理得：， 则，， 又，，则， ， ，， ， ， 、均在第一象限， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：，， ，或，． 【变式训练1】．如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数表达式为 (2)4 (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入反函数表达式，再求解B的坐标，再求解一次函数的解析式即可； （2）先求解D的坐标，结合点A，点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴反比例的解析式为； 把代入， ∴， ∴， 将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， （2）解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， ∴点B的坐标为，， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 【变式训练2】．如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式： （1）代入点C坐标求得反比例函数的关系式，再计算点B的坐标，将点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）分别求出点A、D和E的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； ∵点B的横坐标为6， ∴点B的纵坐标为4，即点， 将代入得：， 则； （2）解：∵，轴， ∴点， 由（1）可得，直线解析式为， 当时，，点， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴． 【变式训练3】．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段（即：当时，大棚内的温度是时间的反比例函数），已知点A坐标为． 请根据图中信息解答下列问题： (1)当时，求大棚内的温度y与时间x的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度； (3)若大橱内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1)AB解析式为： (2)恒温系统设定恒温为 (3)恒温系统最多关闭，蔬菜才能避免受到伤害 【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数图象求出当时，y的值即可得出答案； （3）先求出反比例函数解析式，然后代入临界值求出x，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：设线段解析式为， ∵线段过点，代入得， 解得， ∴解析式为：； （2）解：∵解析式为：， 当时，， ∴恒温系统设定恒温为； （3）解：设双曲线解析式为：， ∵， ∴，     ∴双曲线解析式为：， 把代入中， 解得：， ∴， ∴恒温系统最多关闭，蔬菜才能避免受到伤害． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，解题的关键是明确题意，注意临界点的应用． 类型五、一次函数与反比例函数的其它综合应用 （1）掌握待定系数法求解函数解析式，一般用点的坐标表示图形面积；． （2）解题时，利用反比例函数图象上点的坐标特征，同时要注意运用数形结合的思想； （3）涉及到平行四边形性质及应用等，根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题； （4）反比例函数的性质、的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，都是运用的关键； （5）作图要根据步骤做规范作图。 例．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)若动点是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，，，，若的面积等于的面积的三分之一，则点的横坐标为 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由反比例函数解析式求出点、的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）根据图象即可求得； （3）先求得的面积，设点的坐标为，，则，用表示出的面积，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：点与点在反比例函数的图象上， ， ， ，， 一次函数的图象经过点、， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）观察图象可知，不等式的解集为或； （3）在直线中，令，则， ， ， 设点的坐标为，，则，如图，连接，，，， ，点到直线的距离为， 的面积等于的面积的三分之一， 的面积， 整理得：或， 解得：或， 又 或， 点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型． 【变式训练1】．已知反比例函数与正比例函数相交于A，B两点，A点横坐标为2． (1)______；当，x取值范围是______． (2)若A点坐标为，则B点坐标为______；（用a，b表示） (3)将正比例函数图象向下平移3个单位长度，分别交反比例函数图象于点C，D．交y轴于点E．连接，，求的面积． 【答案】(1)4，或 (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型． （1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；根据图象反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，即可写出x的取值范围． （2）根据点A和点B关于原点对称即可得点B的坐标； （3）过点B作轴交于点I，由条件可求得D、C的坐标，用的面积减去的面积即可求出． 【详解】（1）解：A点横坐标为2， ， 即， ，即， ∵点A和点B关于原点对称， ∴， 由图像可知，时，或； 故答案为：4，或； （2）解：∵点A和点B关于原点对称，A点坐标为， ∴B点坐标为， 故答案为：； （3）解：由题意可得， ， ， 联立得， 即， 解得， ， 过点B作轴交于点I， 则，， 的高为6，底为3，的高为1，底为3， ． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，与y轴正半轴，x轴分别相交于C，D两点． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)求证：； (3)若点P是位于点C上方的y轴上的动点，过P，A两点的直线与该反比例函数的图象交于另一点E，连接．当，且的面积为18时，求点E的坐标． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中求得a，即可求出A点坐标；把点A坐标代入反比例函数式中求得m，即可求得反比例函数解析式； （2）由一次函数解析式可求得点C、D的坐标，联立一次函数与反比例函数解析式可求得点B的坐标，分别计算即可证明； （3）由已知及（2）的结论得C点是的中点，则可求得k的值，进而求得点C的坐标；连接，易得；设点，则可求得直线解析式，求得点P的坐标，由建立方程即可求得t的值，最后求得点E的坐标． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入一次函数解析式中， 得：， 即A点坐标为； 把点A坐标代入反比例函数式中， 得：， ∴反比例函数解析式为； （2） 证明：在一次函数解析式中，令，得；令，得； 点C、D的坐标为、， 联立一次函数与反比例函数解析式，即， 消去y整理得：， 解得：， 当时，， ∴点B的坐标为； ∵，， ∴； （3） 解：∵，， ∴， ∴C点是的中点，且C、D为线段的三等分点， 由A、C、D三点坐标得：，解得：， ∴点C的坐标为； 如图，连接， ∵C、D为线段的三等分点，， ∴； 设点，设直线解析式为， 把A、E两个点坐标分别代入得：，解得：， 即直线解析式为， 令，得 ∴点P的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等底等高三角形面积相等等知识，有一定的综合性．第（3）小题中把的面积转化为求出的面积是解此问的关键． 【变式训练3】．已知点、点都在反比例函数图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S，求S； (3)一次函数的图象过点P、Q，求一次函数的表达式，并根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)，或． 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，矩形的性质，利用数形结合的方法确定不等式的解集是解本题的关键． （1）把点代入反比例函数可得答案； （2）先求解Q的坐标，再利用矩形面积公式可得答案； （3）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可，再利用函数图象可得的解集． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， 点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S， ∴； （3）∵一次函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴直线为， 由图象可得：的解集为：或． 1．一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围） 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，不等式的解集等知识点，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 利用数形结合思想，观察函数图象即可发现，一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象即可发现，在直线左侧以及轴和直线之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 当或时，， 故答案为：或． 2．已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是 ； ． 【答案】 1 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，根据一次函数与反比例函数的交点坐标的横坐标，即可得到分式方程 的解． 【详解】解：一次函数与 的两个交点坐标分别是， 分式方程 的解是，， 故答案为：，． 3．如图，直线与双曲线的图象在第一象限内交于点A，过A点的另一直线交双曲线于第三象限内的点B，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的数学思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．先求出，从而求出得到即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线的图象在第一象限内交于点A，A点的横坐标是2 把代入解析式，解得： 则 把代入得： 在中，令，则 则 ∴不等式的解集是或 故答案为：或． 4．如图，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴于点B，，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，确定点C坐标是解题的关键．先求出点坐标，进而求出点坐标，得到点坐标，即可得出结论． 【详解】∵直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴时，， 故， ∴， 故答案为：5． 5．如图，直线与反比例函数的图像在第一象限交于点．若，则的值为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、两点之间的距离公式、一元二次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用两点之间的距离公式求出点的坐标，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，设点的坐标为， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 将点代入得：， 故答案为：48． 6．将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”得平移后解析式，与一次函数联立方程，由根与系数关系得出与的关系式，套入所求代数式即可得出结果． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程得交点坐标，本题的关键是利用了根与系数的关系得出、的关系． 【详解】解：根据题意，平移后反比例函数解析式为：， 和一次函数联立得：， 整理得：， 由根与系数的关系得：， 有一根是，则， ， 当时，， ， ． 故答案为：． 7．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 8．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作． （1） ； （2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平面直角坐标系中整点的定义，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出． （2）先由题意得出点坐标，再加上，从而得出直线表达式，再确定，根据在和进行分类讨论，写出区域内所有整数点，列举出满足条件的整数点，进而综合两种情况得到答案． 【详解】解：（1）将代入中， 解得：， 故答案为：． （2）， 当时，， ，且, 设直线表达式为， 代入和坐标可得， 解得：， 直线表达式为， ∴直线过点，， 时，与无交点，不合题意，   、、在上， 均不在区域， 当时，， 当在时，若恰好经点过时，点在直线上， 此时内有一个整点，即， 将代入中， 解得：， 中至少有个整点， ． 当在时，若恰好经过点时， 此时内有两个整点，即，， 将代入中， 解得：，即， 中至少有个整点， , 综上：的取值范围是或， 故答案为：或． 9．已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，求x的取值范围； (3)若点是轴上的点，的面积是4，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求解函数的解析式，坐标与图形面积，利用图象解不等式，掌握“数形结合的方法”是解本题的关键． （1）由A的坐标，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，再求解B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）由一次函数的图象要在反比例函数图象的上方，结合图象可得答案； （3）直线交x轴于点C，先求解，设，再利用，解方程即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过， ∴， ∴反比例函数为， 把代入得，， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得 ， ∴一次函数关系式为； （2）解：由图象可知：中x的取值范围是或． （3）解：直线交x轴于点C，如图， 在直线中，令，则， ∴， 设， ∵的面积是4， ∴， 解得或， ∴或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$