专题10反比例函数的六大实际问题-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题10 反比例函数的六大实际问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、几何类 2 类型二、表格类 9 类型三、图形类 17 类型四、探究类 23 类型五、利润类 30 类型六、新定义问题 34 压轴能力测评 43 1 几何类 反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法。 2 表格类 解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 3图形类 反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 4 探究类 反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．还能利用图像直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法． 5 利润类 反比例函数的利润问题，往往和二次函数或者一次函数结合，单价、总价、数量的关系，以及函数解析式的求法，要熟练掌握；同时，一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键；表格类问题的利润一般合理从表格中获取关键信息列式是解题的关键． 6 新定义问题 弄懂新定义的概念和性质是关键。 类型一、几何类 反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法。 例．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)为轴上的一动点，连接，若的面积为面积的，求的值． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 把代入，得， ， 把代入，得， ，； （2）解：当时，， ， 为轴上的动点， ， ，， ，，的面积为面积的， ， 或． 【变式训练1】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数的表达式以及m的值； (2)根据图象直接写出当时，的取值范围； (3)连接、，求的面积？ 【答案】(1)一次函数表达式，反比例函数表达式； (2)； (3)． 【分析】（）把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把的坐标代入求出的坐标，把的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式； （）首先求出反比例函数经过点，然后利用图象求解即可； （）求出一次函数与轴的交点的坐标，分别求出和的面积，即可求出答案； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）把代入反比例函数得， ∴反比例函数的表达式是， ∵反比例函数的图象过点， ∴，得， ∴， ∵一次函数的图象过点和点， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式是； （2）当时， ∴反比例函数经过点 由图象可得，当时，； （3）如图，设一次函数的图象与轴交于点， ∵当时，， 解得 ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】．如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． (1)求和双曲线的函数关系式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）把点代入，确定，分别代入，，计算即可． （2）首先求出与相交时两横坐标分别为1，3，结合不等式，运用数形结合思想求解即可． （3）分，计算即可． 【详解】（1）把点代入，得， ∴， 把分别代入，，得， 解得， ∴，． （2）∵当时，由， ∴， 去分母得， ∴， ∴与相交时两横坐标分别为1，3， 根据图象可知不等式的解集是． （3）∵直线，， ∴， 设，则； ∴， ∵把的面积分成两部分， 当时，得， 解得， 故； 当时，得， 解得， 故； 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合确定解析式构成不等式的解集，三角形面积之比，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． 【变式训练3】．如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为，点为双曲线上的一点． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图1，当点的横坐标为4时，判断的形状，并说明理由； (3)如图2，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)为直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，勾股定理的逆定理，熟练利用待定系数法求函数解析式，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）把代入一次函数，求得一次函数的解析式，再求出点A坐标即可；再将点A坐标代入反比例函数，即可解答； （2）求出点坐标，利用勾股定理的逆定理即可判断为直角三角形； （3）过点做垂直交射线于点，过点做垂直轴交轴于点，过点做垂直交直线于点，利用全等三角形的性质得到点的坐标，求得的解析式，点即为反比例函数与一次函数的交点． 【详解】（1）解：直线过点， ，解得：， 直线的表达式为． 点在直线上， ， 点的坐标为． 又双曲线过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：为直角三角形，理由如下： 点在上，且点的横坐标为4， 点的纵坐标为， 即点 ， ， ， 为直角三角形； （3）解：如图（2），过点做垂直交射线于点，过点做垂直轴交轴于点，过点做垂直交直线于点． 又 轴， 又 ， 易得， 设的函数解析式为 即 的函数解析式为 联立， 即， ， 即． 类型二、表格类 解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 例．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，请补充完整： (1) ，再根据表格数据，利用描点法在平面直角坐标系中画出该函数的图象； 0 1 2 3 2 3 0 (2)结合函数的图象，说出两条不同类型的性质； ① ； ． ②的图象是由的图象如何平移得到？ ． (3)当函数值时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)5，见解析 (2)①函数图象为双曲线；关于点中心对称；②向左平移一个单位，再向上平移一个单位 (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，数形结合解决问题． （1）把代入解析式即可求得的值，利用描点法画出函数图象即可 （2）①根据图象解答问题即可；②根据平移的性质解决问题即可． （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：把代入 得，， ， 画出函数图象如图： 故答案为：5； （2）解：观察图象， ①函数图象为双曲线；关于点中心对称； 故答案为：函数图象为双曲线；关于点中心对称； ②的图象是由的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到； 故答案为：向左平移一个单位，再向上平移一个单位； （3）解：由图象可知，当函数值时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式训练1】．为了探索函数的图像与性质，我们参照学习函数的过程与方法． 列表： x … 1 2 3 4 5 … y … 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示： 图1 (1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图像； (2)已知点，在函数图像上，结合表格和函数图像，回答下列问题： 若，则 ；若，则 ； 若x1·x2＝1，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． (3)某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．     图2 ①请写出y与x的函数关系式； ②若该农户预算不超过5.25千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？ 【答案】(1)见解析 (2)＞；＜；= (3)①；② 【分析】（1）用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图像即可； （2）利用图像解决问题； （3）①总造价=底面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可； ②转化为一元二次不等式解决问题． 【详解】（1）解：函数图像如图： （2）由图像可知， 若，y随x的增大而减小，则>； 若，y随x的增大而增大，则＜； 若x1·x2＝1，则x1，x2互为倒数，由题意可得= 故答案为：＞；＜；=； （3）① ② 即 结合图像可得． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题关键是熟练掌握基本知识，学会转化思想． 【变式训练2】．如图，如图，在中，，，，点P从点B出发，沿折线运动，当它到达点A时停止，设点P运动的路程为x，点Q是射线上一点，，连接设，． (1)求出，与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)补全表格中的值； x 1 2 3 4 6 以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出的函数图象； (3)在直角坐标系内直接画出函数图象，结合和的函数图象，求出当时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可； （2）分别将，，，，代入，求出对应y值，即可填表，再描点连线即得出其图象； （3）描点连线即可得出的图象，再联立，，求出其交点，根据求，即求图象在图象下方时x的取值范围，再结合图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ． ∵点P从点B出发，沿折线运动， ∴， ∴； 当时，， 当时，， ∴； （2）解：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 补全表格中的值如下： x 1 2 3 4 6 6 3 2 1 在直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出的函数图象，如图所示： （3）解：， 则函数图象如图所示， 当时， 解得：或（舍去）； 当时， 解得：或（舍去）； 则由图象可得，当时，x的取值范围是． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，反比例函数和一次函数的综合，利用图象求不等式的解集．利用数形结合的思想是解题关键． 【变式训练3】．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析，减小 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用： （1）①选用相应的已知值代入函数解析式求解即可；②描点，连线得出函数图象， （2）观察函数图象解答即可； （3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量，进而判断是否能称出质量为 的物体的质量． 【详解】（1）①解：∵， 当时，； ②描点，连线，如图： （2）观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，可变电阻随物体质量m的增大而减小， 故电流随物体质量m的增大而减小， 故答案为：减小； （3）不能，理由如下： 当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入电阻值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，，解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为千克， 所以该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 类型三、图形类 反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 例．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为（包含和）的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间变化的函数图像，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：    (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，大棚内的温度是否适宜该品种蔬菜的生长？ (3)恒温系统在一天内保持大棚内该品种蔬菜适宜生长温度的时间为多少？ 【答案】(1) (2)当时，大棚内的温度不适宜该品种蔬菜的生长 (3)恒温系统在一天内保持大棚内该品种蔬菜适宜生长温度的时间为15小时 【分析】（1）利用待定系数法分段求解即可； （2）将代入求出y的值，比较后可得答案； （3）分别求出时x的值，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：设的解析式为， 将点，，代入得：， 解得， ∴的解析式为； ∵段大棚内温度一直不变，恒等于20， ∴段的解析式为； ∵段是双曲线的一部分，经过， ∴， 解得， ∴段的解析式为； 综上所述，与的函数解析式为：； （2）当时，， ∵， ∴当时，大棚内的温度不适宜该品种蔬菜的生长； （3）把代入得， 解得：； 把代入得， 解得：； ∵（小时）， ∴恒温系统在一天内保持大棚内该品种蔬菜适宜生长温度的时间为15小时． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，熟练掌握待定系数法，求出函数关系式是解题的关键． 【变式训练1】．某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销售数据、同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量（单位：万盒）随价格（单位：元/盒）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示．该药品2021年价格为60元/盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳入医保，2022年价格下调至30元/盒．但在制药成本不变的情况下，当年销售该药品的利润还是与2021年相同，根据已知信息解决下列问题：    (1)求2022年该药品的年销售量； (2)该企业2023年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低40%．为惠及更多患者，该企业计划在2023年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比2022年至少增加2500万元用于制药技术的研发，请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由． 【答案】(1)700万盒 (2)该药品价格满足元/盒，见解析 【分析】（1）设双曲线的解析式为，代入点，求出解析式，再将代入即可解答； （2）设2021年的制药成本为元/盒，由图象可知，价格为60元/盒时，该药品的年销售量为100万盒，根据2022年销售该药品的利润与2021年相同，列得，求出a，根据2023年该药品的价格，则年销售量为万盒，列得，即可求出答案． 【详解】（1）解：设双曲线的解析式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 可得， 所以， 所以当时，； 答：2022年该药品的年销售量是700万盒； （2）设2021年的制药成本为元/盒， 由图象可知，价格为60元/盒时，该药品的年销售量为100万盒， 因为2022年销售该药品的利润与2021年相同， 可得， 化简得， 解得， 因为2023年继续下调该药品的价格， 所以2023年该药品的价格，则年销售量为万盒， 依题意得， 化简得， 因为，根据不等式的性质，不等式两边同乘以正数，可得， 所以， 答：该药品价格满足元/盒． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． 【变式训练2】．实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，其中当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求点C，D所在反比例函数的表达式和直线的表达式； (2)张老师想在数学课上讲解一道数学综合题，希望学生注意力指标不低于36，那么她最多可以讲______分钟． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设反比例函数的表达式为，将点C代入确定反比例函数解析式，然后即可确定，设的表达式为，利用待定系数法代入求解即可； （2）求出当时，两个函数的值，然后即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将代入得：， ∴． 当时，， ∴． ∴． 设的表达式为， 将，代入， 得：，解得， ∴ （2）当时，，解得， ，解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数综合应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键． 【变式训练3】．某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： (1)该企业4月份的生产数量为多少万支？ (2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 【答案】(1)该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支 (2)该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支 【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将代入求出相应的y的值即可； （2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴，得， ∴， 当时，， 即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支； （2）设技术改造完成后对应的函数解析式为, ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴技术改造完成后对应的函数解析式为， ， 解得， 经检验符合题意， ∵x为正整数， ∴， 答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支． 【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 类型四、探究类 反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．还能利用图像直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法． 例．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)求出y与x之间的函数关系； (2)开始上课后第5分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由． 【答案】(1)； (2)第分钟注意力更集中； (3)能达到，理由见解析． 【分析】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）根据上题求出的和的函数表达式，再分别求第5分钟和第30分钟的注意力指数，最后比较判断； （3）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差和比较，大于则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：当时，设线段所在的直线的解析式为， 把代入得，， ∴． 当时，， 当时， 设C、D所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴y与x之间的函数关系为：； （2）当时，， 当时， ∴， ∴第分钟注意力更集中． （3）能达到； 令， ∴， ∴， 令， ∴， ∴ ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【变式训练1】．模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： (1)建立函数模型： 设矩形相邻两边的长分别为，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图像在第__________象限内的交点的坐标． (2)画出函数图像： 函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． (3)平移直线，观察函数图像： 当直线平移到与函数的图像有唯一交点时，写出周长的值__________； (4)得出结论： 若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长的取值范围__________．（直接写出结论） 【答案】(1)一 (2)见详解 (3)8 (4) 【分析】（1）根据题意可知都是正数，即可获得答案； （2）结合题意作出图形即可； （3）将点代入，求解即可； （4）在直线平移过程中，可知交点个数有0个、1个、2个三种情况，满足题意的是交点个数为1个或2个，然后联立和并整理，由一元二次方程的根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，都是边长， ∴都是正数， ∴点在第一象限． 故答案为：一； （2）图像如下所示； （3）将点代入， 可得， 解得． 故答案为：8； （4）在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况， 联立和并整理， 可得， 当时，两个函数有交点， 解得或（不合题意，舍去）， ∴周长的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、绘制一次函数图像、反比例函数与一次函数综合应用、一元二次方程的根的判别式等知识，解题关键是理解题意，运用数形结合的思想分析问题． 【变式训练2】．函数图象是研究函数的重要工具探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质． (1)列表，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； x y (2)观察函数图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，函数图象关于直线对称； ②当时，函数有最小值最小值为－2； ③时，函数y的值随x的增大而减小 其中正确的是______（请写出所有正确命题的序号） (3)结合图象，请直接写出不等式的解集 【答案】(1)见详解 (2)②③ (3)x＜﹣2或0＜x＜2 【分析】（1）利用函数解析式分别求出x和x对应的函数值；然后利用描点法画出图象即可； （2）观察图象可知当x＜0时，y随x值的增大而增大； （3）利用图象即可解决问题． 【详解】（1）列表得： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 2 0 ﹣2 … 画出函数图象如图： （2）观察函数y的图象， ①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于原点对称；错误； ②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；正确； ③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小，正确． 故答案为②③； （3）由图象可知，函数y与直线y＝﹣x的交点为（﹣2，2）、（0，0）、（2，﹣2） ∴不等式x的解集为x＜﹣2或0＜x＜2． 故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2． 【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键． 【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为．其中． (1)四边形是____．(填写四边形的形状) (2)当点A的坐标为时，四边形是矩形，求的值． (3)试探究：随着k与m的变化，四边形能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)平行四边形 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据对称性和中心对称图形的性质可得，，由此即可得到结论； （2）先求出点A的坐标，进而利用矩形的性质和勾股定理求出m的值即可得到答案； （3）由于菱形对角线互相垂直，若为菱形，则，则点A在y轴上，这与反比例函数与y轴没有交点矛盾，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数 的图象分别交于A、C两点， ∴由反比例函数的对称性可知点A与点C关于原点对称， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）解：∵，且A在反比例函数图象上， ∴，即， ∴． ∵ 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． （3）解：不能，理由如下： ∵当四边形为菱形时，则． ∵在x轴上， ∴在y轴上， 而反比例函数y=与y轴没有交点， 则随着k与m的变化，四边形不能成为菱形． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 类型五、利润类 反比例函数的利润问题，往往和二次函数或者一次函数结合，单价、总价、数量的关系，以及函数解析式的求法，要熟练掌握；同时，一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键；表格类问题的利润一般合理从表格中获取关键信息列式是解题的关键． 例．一商店销售某种商品， 平均每天可售出20件， 每件盈利40元． 为了扩大销售、 增加盈利， 该店采取了降价措施， 在每件盈利不少于25元的前提下， 经过一段时间销售， 发现销售单价每降低1元， 平均每天可多售出2件． (1)若销售单价降低5元， 那么平均每天销售数量为多少件？ (2)若该商店每天销售利润为1200元， 问每件商品可降价多少元？ (3)当每件商品降价多少元时， 商店可获得最大利润？ 最大利润为多少元？ 【答案】(1)平均每天销售数量为30件 (2)若该商店每天销售利润为1200元， 问每件商品可降价10元 (3)当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元 【分析】（1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可求出结论； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，利用总利润=每件盈利×平均每天的销售量，即可得到关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合题意，即可得出结论； （3）设每件商品降价元，商店可获得利润为元，根据总利润=每件盈利×平均每天的销售量，列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：根据题意可得： (件) 答：平均每天销售数量为30件； （2）解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据题意得： ∴， ∵ ∴ ∴ 答：若该商店每天销售利润为1200元， 问每件商品可降价10元； （3）解：设每件商品降价元，商店可获得利润为元，根据题意得： ∵， ∴当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和一元二次方程的应用，找出相等关系，根据题意正确列出二次函数的解析式和一元二次方程是解本题的关键． 【变式训练1】．某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于元，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件． 若每件衬衫降价元，则每天可盈利多少元？ 若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ 降价多少元时，平均每天盈利最大？ 【答案】（1）商场每天销售这种衬衫可以盈利元；（2）每件衬衫降价元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利元；（3）每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多． 【分析】（1）可直接根据每件的利润销售量总利润，求出结果； （2）此题首先根据盈利元，列出一元二次方程：，然后解出．要注意应舍去，要考虑符合实际的要求． 【详解】解：（1）由已知 元． 答：商场每天销售这种衬衫可以盈利元． （2）设每件衬衫降价元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利元， 根据题意得：， 整理得：， ， 解得：，， 为了扩大销售量，商场决定采取降价措施，所以舍去． 答：每件衬衫降价元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利元． （3）设商场平均每天赢利元， 则 ， ， ． ∴   当时，取最大值． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多． 【点睛】此题综合考查了一元二次方程应用和二次函数的应用，解答关键是利用好基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润． 【变式训练2】．某商场购进某种商品时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是60元时，销售量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件． （1）设该种商品的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W元，并把结果填写在表格中： （2）在（1）的条件下，若商场获得了4000元销售利润，求该商品销售单价x应定为多少元？ （3）当定价多少时，该商场获得的最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）900﹣10x，﹣10x2+1300x﹣36000；（2）单价为50元或80元时，可获得4000元销售利润；（3）为65元时的利润最大，最大利润为6250元 【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件，销售量为（900-10x）件，销售玩具获得利润为-10x2+1300x-36000； （2）根据获得利润为4000元，列方程求解； （3）配方后求得最值即可． 【详解】（1）由题意得，销售量为：300﹣10（x﹣60）＝900﹣10x， 销售获服装得利润为：（x﹣40）（900﹣10x）＝﹣10x2+1300x﹣36000； （2）列方程得：﹣10x2+1300x﹣36000＝4000， 解得：x1＝50，x2＝80． 答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得4000元销售利润； （3）w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+6250， 所以当定价为65元时的利润最大，最大利润为6250元． 故答案为：900﹣10x，﹣10x2+1300x﹣36000． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 【变式训练3】．某厂按用户的月需求量(件)完成一种产品的生产，其中．每件的售价为万元，每件的成本(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量(件)成反比．经市场调研发现，月需求量与月份(为整数，)符合关系式(为常数)，且得到了表中的数据 月份（月）1 1 2 成本（万元/件） 11 12 需求量（件/月） 120 100 (1)直接写出的值； (2)求与满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元； (3)推断是否存在某个月既无盈利也不亏损． 【答案】(1)； (2)一件产品的利润不可能是12万元； (3)不存在某个月既无盈利也不亏损 【分析】（1）根据已知月份与的值，取一组需求量与月份代入即可求出k； （2）根据题意得，由表中数据列方程组求解，即可得到与的关系式； （3）根据不亏损也不盈利列方程求出的值，进行解答； 【详解】（1）将，代入，得 ， ， （2）设基础价为，则根据题意可得，根据表格可得 ， ， . 当利润为12万元时，若，则， ， 一件产品的利润不可能是12万元； （3）当，时也满足当不盈利也不亏损时，成本价为18万元， ， ， ，即 ， 方程无实根， 不存在某个月既无盈利也不亏损． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，理解题意准确梳理所涉及的变量，并熟练掌握待定系数法求函数解析式以及根据利润的相等关系列出关系式是解本题的关键． 类型六、新定义问题 弄懂新定义的概念和性质是关键。 例．阅读与探究．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“绝对函数”．例如，函数y=x+1的“绝对函数”是，即；函数的“绝对函数”是，即；函数的图象如图1，则它的“绝对函数”的图象如图②所示． (1)的“绝对函数”是______； (2)在图3的平面直角坐标系中画出的绝对函数的图象； (3)在（1）的“绝对函数”图象上取一点A，点A关于y轴的对称点为，O是平面直角坐标系的原点，则的面积是______； (4)函数的“绝对函数”与直线有四个交点时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)6 (4) 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的综合应用，一次函数的应用；理解并运用新定义“绝对函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． （1）根据定义直接写出函数即可； （2）根据定义画出函数图象即可； （3）根据函数对称的特点，求出对称的函数的点，再由两个函数与y轴的交点不变，三角形面积计算公式即可； （3）先根据解析式，求出函数图象与y轴的交点，再根据两个函数交点与方程关系，列出方程组求解即可． 【详解】（1）根据题意得： 的“绝对函数”是， 故答案为： （2）的绝对函数是即 如图所示的绝对函数的图象为 （3）如图所示： 的“绝对函数”是，点A关于y轴的对称点为， 设点，则 ， 到x轴距离为y， 的面积是， （4）如图所示： 令，得则函数图象与y轴的交点是； 当直线经过时，直线与图象有三个交点， 此时 当直线向下平移，若直线与函数只有一个交点时， 可得方程有两个相等的实数根， 则， 解得 ， 若函数的“绝对函数”与直线有四个交点时， m的取值范围是． 【变式训练1】．我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体． （1）若矩形A为正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？　 　（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】长为3，宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？ 小鸣和小棋分别有以下思路： 【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立，得，再探究根的情况； 【小棋函数流】如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体． （2）那么长为4．宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因； （3）如果长为5，宽为4的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k需要满足的不等式． 【答案】（1）不存在；（2）不存在，见解析；（3） 【分析】（1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可； （2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可； （3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，，可得，再运用根的判别式即可求得答案． 【详解】解：（1）假设存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体，则正方形B的周长是正方形A周长的2倍， ∴正方形B的边长是正方形A边长的2倍， ∴正方形B的面积是正方形A面积的4倍，这与“完全2倍体”矛盾，所以不存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体． 故答案为：不存在． 深入探究：长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形， 理由：∵矩形的长为3，宽为2， ∴矩形的周长为10，面积为6， 小鸣方程流： 设新矩形长和宽为、，则依题意，， 联立， 整理得：， 解得：，， ∴新矩形的长为，宽为时，周长为20，面积为12， ∴长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形． 小棋函数流：如图，设新矩形长和宽为、，则依题意，， 即，，利用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体，如图：    故长为，宽为的矩形存在完全倍体． （2）方法1：设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，， 联立，得， ∴， ∴方程无解， ∴长为4，宽为3的矩形C不存在完全倍体． 方法2：如图，反比例函数：与一次函数：没有交点，所以不存在完全倍体． （3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解新定义“矩形A是矩形B的完全N倍体”，根据题干过程模仿解题．第（3）题应用一元二次方程根的判别式求k的范围． 【变式训练2】．我们定义：如果一个矩形周长和面积都是矩形的倍，那么我们就称矩形是矩形的完全倍体．    (1)若矩形为正方形，是否存在一个正方形是正方形的完全倍体？______（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】长为，宽为的矩形是否存在完全倍体？ 小鸣和小棋分别有以下思路： 【小鸣方程流】设新矩形长和宽为、，则依题意，， 联立得，再探究根的情况； 【小棋函数流】如图，也可用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全倍体． (2)那么长为4．宽为3的矩形是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因． (3)如果长为4，宽为3的矩形存在完全倍体，请求出的取值范围． 【答案】(1)不存在；长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形，理由见解答 (2)长为3．宽为2的矩形C不存在完全倍体 (3) 【分析】（1）根据“完全倍体”的定义及题干示例解答即可； （2）运用新定义“完全倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可； （3）设所求矩形的长为，则所求矩形的宽为：，根据新定义“完全倍体”可得：，再运用根的判别式即可求得答案． 【详解】（1）不存在． 理由：因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在． 深入探究：长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形， 理由：∵矩形的长为3，宽为2， ∴矩形的周长为10，面积为6， 小鸣方程流： 设新矩形长和宽为、，则依题意，， 联立， 整理得：， 解得：，， ∴新矩形的长为，宽为时，周长为20，面积为12， ∴长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形． 小棋函数流：如图，设新矩形长和宽为、，则依题意，， 即，，利用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体，如图：    故长为，宽为的矩形存在完全倍体． （2）解：长为3，宽为2的矩形C的周长为10，面积为6， 小鸣方程流：设新矩形长和宽为、，则依题意，， 联立得， 整理得：， ∵， ∴此方程没有实数根，即长为3．宽为2的矩形C不存在完全倍体； 小棋函数流：如图，设新矩形长和宽为、，则依题意，， 即，， 利用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，无交点，意味着不存在完全2倍体，如图：    故长为4．宽为3的矩形不存在完全倍体． （3）解：设所求矩形的长为，则所求矩形的宽为：， 由题意得， 整理得：， ， ∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积倍， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴k的取值范围为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解新定义“矩形是矩形的完全倍体”，根据题干过程模仿解题．第（3）题应用一元二次方程根的判别式求的范围． 【变式训练3】．如图，已知直线l：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线（，）交于D、E两点，若点D的坐标为，点E的坐标为．    (1)求直线l和双曲线的表达式； (2)当时，请直接写出x的取值范围； (3)若将直线l向下平移m（）个单位得到新直线，当m为何值时，新直线与双曲线在第一象限内有且只有一个交点M． 【答案】(1)， (2)或 (3)时新直线与双曲线在第一象限内有且只有一个交点M． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可求解． （2）当时，只需得出直线l的图象在双曲线下方的部分即可． （3）根据题意列出二元一次方程组，进而得出一元二次方程，根据直线l与双曲线有且只有一个交点，根据判别式判断一元二次方程的根即可求解． 【详解】（1）解：由于点D和点E在直线和双曲线的图象上， 则：，解得；， ，． （2）点D和点E， 当时，x的取值范围为：或． （3）由题意得：， ∴， ∵直线l与双曲线有且只有一个交点， ∴， ∴或， ∵时，新直线与双曲线的交点在第二象限，不合题意舍去， ∴时新直线与双曲线在第一象限内有且只有一个交点M． 【点睛】本题考查了一次函数与双曲线的综合问题，根据判别式判断一元二次方程的根，熟练掌握一次函数的图像及性质和双曲线的图象及性质是解题的关键． 1．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数；（2）每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元. 【分析】（1）先求出每件商品的售价上涨x元后的月销量，再根据“月利润=每件利润月销量”列出等式即可；根据x为正整数，和每件售价不能高于65元写成x的取值范围； （2）根据题（1）的结论，利用二次函数图象的性质求解即可. 【详解】（1）设每件商品的售价上涨x元，则商品的售价为元，月销量为件 由题意得： 整理得： 由每件售价不能高于65元得：，即 又因x为正整数 则x的取值范围为：，且x为正整数 综上，y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数； （2）的对称轴为： 则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 因x为正整数，则当时，，y取得最大值；当时，，y取得最大值，比较这两个最大值即可得出最大利润 将代入得：，此时售价为 将代入得：，此时售价为 答：每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意建立等式是解题关键.需要注意的是，在根据函数的增减性求最大利润时，要考虑对称轴的两侧，避免漏解. 2．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a= ，y与t的函数关系如图所示． （1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值； （2）求y与t的函数关系式； （3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ （总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本） 【答案】（1）m=600，n=160000；（2）；（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是108500元. 【详解】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可； （2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可； （3）根据W=ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可． 【详解】（1）依题意得 ， 解得：； （2）当0≤t≤20时，设y=k1t+b1， 由图象得：， 解得： ∴y=t+16； 当20＜t≤50时，设y=k2t+b2， 由图象得：， 解得：， ∴y=﹣t+32， 综上，； （3）W=ya﹣mt﹣n， 当0≤t≤20时，W=10000（t+16）﹣600t﹣160000=5400t， ∵5400＞0， ∴当t=20时，W最大=5400×20=108000， 当20＜t≤50时，W=（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）2+108500， ∵﹣20＜0，抛物线开口向下， ∴当t=25，W最大=108500， ∵108500＞108000， ∴当t=25时，W取得最大值，该最大值为108500元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，具体考查了待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 3．2015年9月19日第九届合肥文博会开幕．开幕前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价x（元/件） … 20 30 40 50 60 … 每天销售量（y件） … 500 400 300 200 100 … （1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）开幕后，合肥市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过38元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）一次函数，y=-10x+700；(2) 销售单价定为40元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是9000元；(3) 销售单价定为38元∕件时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是8960元． 【分析】（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可； （2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W=（x-10）（-10x+700），进而利用二次函数最值求法得出即可； （3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案． 【详解】（1）画图： 由图可知，这几个点在一条直线上，所以猜想y与x是一次函数关系． 设这个一次函数为y=kx+b（k≠0）， ∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点， ∴，解得：， ∴此函数关系式是y=-10x+700． （2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得： W=（x-10）(-10x+700）=-10x2+800x-7000 =-10（x-40）2+9000， ∴当x=40时，W有最大值9000． 答：销售单价定为40元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是9000元． （3）对于函数W=-10（x-40）2+9000， 当x≤38时，W的值随着x值的增大而增大， ∴当x=38时，最大=-10×（38-40）2+9000=8960， 答：销售单价定为38元∕件时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是8960元． 4．列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，补全表格见解析 (2)的取值范围为或； 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围； （1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案. 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， ∵当时，，即， ∴反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， ∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或； 5．如图，在中， ，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止，设点运动的路程为，若点是射线上一点，且，连接，设． (1)求出与的函数关系式，并注明的取值范围； (2)先补全表格中的值，再画出的函数图像 (3)在直角坐标系内直接画出的函数图像，结合和的函数图像，求出当时，的取值范围．(结果取精确值) 【答案】(1)， (2)图象见解析，， (3)图象见解析， 【分析】（1）根据题意可以分别求得和与的函数关系式，并注明的取值范围； （2）根据（1）中的函数解析式，可以将表格补充完整，并画出相应的函数图象； （3）根据（1）中的函数解析式，可以画出的函数图象，然后结合图象可以得到当时，的取值范围． 【详解】（1）解：依题意得 当 时 当 时 ∴，； （2）解：当时，，当时， 填表如下： 故答案为：，． 的图象如图所示， （3）在直角坐标系内直接画出的函数图像，如图所示， 根据图象可得当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查一次函数的图象、反比例函数的图象，解答本题的关键利用数形结合的思想解答． 6．我们定义：如果一个矩形周长和面积都是矩形的倍，那么我们就称矩形是矩形的完全倍体． (1)若矩形为正方形，是否存在一个正方形是正方形的完全倍体？______（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】 长为，宽为的矩形是否存在完全倍体？ 小鸣和小棋分别有以下思路： 【小鸣方程流】设新矩形长和宽为、，则依题意， 联立得，再探究根的情况； 【小棋函数流】如图，也可用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全倍体． (2)那么长为．宽为的矩形是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因． (3)如果长为，宽为的矩形存在完全倍体，请直接写出的取值范围：______． 【答案】(1)不存在 (2)长为．宽为的矩形不存在完全倍体，利用思路说明原因见解析 (3) 【分析】（1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可； （2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可； （3）设所求矩形的长为x,则所求矩形的宽为：k（3+2）-x,即5k-x,根据新定义“完全N倍体”可得： -5kx+6k=0，再运用根的判别式即可求得答案． 【详解】（1）不存在． 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，则面积比必定是，所以不存在． 故答案为：不存在； [深入探究] 长为，宽为的矩形存在完全倍体矩形， ∵矩形长为，宽为， 矩形的周长为，面积为， [小鸣方程流]设新矩形长和宽为、，则依题意， 联立， 整理得， 解得：，， 新矩形的长为，宽为时，周长为，面积为， 长为，宽为的矩形存在完全倍体矩形． [小棋函数流]如图，设新矩形长和宽为、，则依题意， 即，， 利用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全倍体． （2）长为，宽为的矩形的周长为，面积为， [小鸣方程流】设新矩形长和宽为、，则依题意，， 联立得， 整理得：， ， 此方程没有实数根，即长为宽为的矩形不存在完全倍体； [小棋函数流]如图，设新矩形长和宽为、，则依题意， 即，， 利用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，无交点，意味着不存在完全倍体． （3）设所求矩形的长为，则所求矩形的宽为：，即， 由题意得：， 整理得：， ， 一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积倍， ，即：， 令，为开口向上的抛物线， 则由，可得：， 解得：，， 当时，或， 不符合题意， 的取值范围为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解新定义“矩形A是矩形B的完全N倍体”，根据题干过程模仿解题．第（3）题应用一元二次方程根的判别式求k的范围． 7．如图，反比例函数的图象与一次函数的交于A、B两点，已知点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点O为坐标原点，求点O到直线的距离． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求出函数解析式的方法和步骤． （1）把A的坐标代入，得出m的值，即可得出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，将点A和点B的坐标代入求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）令一次函数与x轴相交于点E，与y轴相交于点F，先求出点E和点F的坐标，进而得出，，根据勾股定理得出，过点O作于点H，根据，求出，即可解答． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为． （2）解：令一次函数与x轴相交于点E，与y轴相交于点F， 把代入得：， ∴，则， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∴， 过点O作于点H， ∵， ∴， 解得， ∴点O到直线的距离为． 8．如图，正方形的边长为3，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)点是对角线上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点，使得的值最小？如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数的解析式为 (3)存在， 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、正方形的性质，在解答此题时要注意整体思想的运用． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得出，故可得出结论； （2）根据列方程，解方程即可得出m的值，进而可得出反比例函数的解析式； （3）根据题意可得直线与的交点即为点P，求出直线的解析式，进而得到P点的坐标即可． 【详解】（1）证明：正方形的边长为3， ∴，， ∵点E和F在上， ∴点E的坐标为，点F的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴反比例函数解析式为； （3）解：由题可知点E，F关于直线对称， 则连接交于点P，则长最小， ∵点F的坐标为，点D的坐标为， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 同理可求：直线的解析式为， 解方程组得， ∴点的坐标为． 9．如图，已知：矩形的顶点B在反比例函数的图象上，且． (1)求反比例函数的关系式； (2)若动点E从A开始沿向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，是等腰直角三角形？ ②当时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？说明理由； (3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， (3)存在， 【分析】（1）根据与的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）①如图1所示，若为等腰直角三角形，则有，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果；②根据 题意得到M位于线段上方时，四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质得到，确定出此时M的坐标 即可； （3）若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上存在点D，使的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点， 连接，与y轴交于点D，连接，此时周长最小，求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：∵，且B在第一象限， ∴， 把B坐标代入，得：， 则反比例函数关系式为； （2）解：①由题意得：，， ， 当且仅当时，为等腰直角三角形， 即， 解得：， 则当时，是等腰直角三角形； ②， ， 由题意得：M在线段上方时，四边形为平行四边形，如图1所示， ∴，此时M坐标为； （3）解：存在点D，使周长最小，理由为： 如图，作出E关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点D，连接， 此时周长最小，即， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 在中，， 根据勾股定理得： ， 的周长最小值为． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，对称的性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 10．如图，已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如下图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标； (3)利用（2）的结果为条件，请问：在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式． （2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可． （3）先求出的距离，然后根据：，，分情况讨论解决． 【详解】（1）将，代入得， 解得 ∴反比例函数的解析式为； （2）由 解得， ∵点A在第一象限 ∴ 将代入 ∴点A的坐标为； （3）设， ∵点A的坐标为 ∴ ，与x轴所夹锐角为， ∵为腰 ∴当时， ∴ ∴ ∴P点坐标为或； 当时， ∴ ∴或0（舍去） ∴P点坐标为 综上所述，P点坐标为或或． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，勾股定理，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 反比例函数的六大实际问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、几何类 2 类型二、表格类 4 类型三、图形类 7 类型四、探究类 9 类型五、利润类 12 类型六、新定义问题 13 压轴能力测评 16 1 几何类 反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法。 2 表格类 解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 3图形类 反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 4 探究类 反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．还能利用图像直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法． 5 利润类 反比例函数的利润问题，往往和二次函数或者一次函数结合，单价、总价、数量的关系，以及函数解析式的求法，要熟练掌握；同时，一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键；表格类问题的利润一般合理从表格中获取关键信息列式是解题的关键． 6 新定义问题 弄懂新定义的概念和性质是关键。 类型一、几何类 反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法。 例．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)为轴上的一动点，连接，若的面积为面积的，求的值． 【变式训练1】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数的表达式以及m的值； (2)根据图象直接写出当时，的取值范围； (3)连接、，求的面积？ 【变式训练2】．如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． (1)求和双曲线的函数关系式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标． 【变式训练3】．如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为，点为双曲线上的一点． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图1，当点的横坐标为4时，判断的形状，并说明理由； (3)如图2，当时，求点的坐标． 类型二、表格类 解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 例．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，请补充完整： (1) ，再根据表格数据，利用描点法在平面直角坐标系中画出该函数的图象； 0 1 2 3 2 3 0 (2)结合函数的图象，说出两条不同类型的性质； ① ； ． ②的图象是由的图象如何平移得到？ ． (3)当函数值时，x的取值范围是 ． 【变式训练1】．为了探索函数的图像与性质，我们参照学习函数的过程与方法． 列表： x … 1 2 3 4 5 … y … 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示： 图1 (1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图像； (2)已知点，在函数图像上，结合表格和函数图像，回答下列问题： 若，则 ；若，则 ； 若x1·x2＝1，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． (3)某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．     图2 ①请写出y与x的函数关系式； ②若该农户预算不超过5.25千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？ 【变式训练2】．如图，如图，在中，，，，点P从点B出发，沿折线运动，当它到达点A时停止，设点P运动的路程为x，点Q是射线上一点，，连接设，． (1)求出，与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)补全表格中的值； x 1 2 3 4 6 以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出的函数图象； (3)在直角坐标系内直接画出函数图象，结合和的函数图象，求出当时，x的取值范围． 【变式训练3】．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 类型三、图形类 反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 例．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为（包含和）的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间变化的函数图像，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：    (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，大棚内的温度是否适宜该品种蔬菜的生长？ (3)恒温系统在一天内保持大棚内该品种蔬菜适宜生长温度的时间为多少？ 【变式训练1】．某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销售数据、同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量（单位：万盒）随价格（单位：元/盒）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示．该药品2021年价格为60元/盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳入医保，2022年价格下调至30元/盒．但在制药成本不变的情况下，当年销售该药品的利润还是与2021年相同，根据已知信息解决下列问题：    (1)求2022年该药品的年销售量； (2)该企业2023年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低40%．为惠及更多患者，该企业计划在2023年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比2022年至少增加2500万元用于制药技术的研发，请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由． 【变式训练2】．实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，其中当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求点C，D所在反比例函数的表达式和直线的表达式； (2)张老师想在数学课上讲解一道数学综合题，希望学生注意力指标不低于36，那么她最多可以讲______分钟． 【变式训练3】．某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： (1)该企业4月份的生产数量为多少万支？ (2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 类型四、探究类 反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．还能利用图像直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法． 例．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)求出y与x之间的函数关系； (2)开始上课后第5分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由． 【变式训练1】．模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： (1)建立函数模型： 设矩形相邻两边的长分别为，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图像在第__________象限内的交点的坐标． (2)画出函数图像： 函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． (3)平移直线，观察函数图像： 当直线平移到与函数的图像有唯一交点时，写出周长的值__________； (4)得出结论： 若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长的取值范围__________．（直接写出结论） 【变式训练2】．函数图象是研究函数的重要工具探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质． (1)列表，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； x y (2)观察函数图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，函数图象关于直线对称； ②当时，函数有最小值最小值为－2； ③时，函数y的值随x的增大而减小 其中正确的是______（请写出所有正确命题的序号） (3)结合图象，请直接写出不等式的解集 【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为．其中． (1)四边形是____．(填写四边形的形状) (2)当点A的坐标为时，四边形是矩形，求的值． (3)试探究：随着k与m的变化，四边形能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由． 类型五、利润类 反比例函数的利润问题，往往和二次函数或者一次函数结合，单价、总价、数量的关系，以及函数解析式的求法，要熟练掌握；同时，一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键；表格类问题的利润一般合理从表格中获取关键信息列式是解题的关键． 例．一商店销售某种商品， 平均每天可售出20件， 每件盈利40元． 为了扩大销售、 增加盈利， 该店采取了降价措施， 在每件盈利不少于25元的前提下， 经过一段时间销售， 发现销售单价每降低1元， 平均每天可多售出2件． (1)若销售单价降低5元， 那么平均每天销售数量为多少件？ (2)若该商店每天销售利润为1200元， 问每件商品可降价多少元？ (3)当每件商品降价多少元时， 商店可获得最大利润？ 最大利润为多少元？ 【变式训练1】．某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于元，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件． 若每件衬衫降价元，则每天可盈利多少元？ 若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ 降价多少元时，平均每天盈利最大？ 【变式训练2】．某商场购进某种商品时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是60元时，销售量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件． （1）设该种商品的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W元，并把结果填写在表格中： （2）在（1）的条件下，若商场获得了4000元销售利润，求该商品销售单价x应定为多少元？ （3）当定价多少时，该商场获得的最大利润，最大利润是多少元？ 【变式训练3】．某厂按用户的月需求量(件)完成一种产品的生产，其中．每件的售价为万元，每件的成本(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量(件)成反比．经市场调研发现，月需求量与月份(为整数，)符合关系式(为常数)，且得到了表中的数据 月份（月）1 1 2 成本（万元/件） 11 12 需求量（件/月） 120 100 (1)直接写出的值； (2)求与满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元； (3)推断是否存在某个月既无盈利也不亏损． 类型六、新定义问题 弄懂新定义的概念和性质是关键。 例．阅读与探究．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“绝对函数”．例如，函数y=x+1的“绝对函数”是，即；函数的“绝对函数”是，即；函数的图象如图1，则它的“绝对函数”的图象如图②所示． (1)的“绝对函数”是______； (2)在图3的平面直角坐标系中画出的绝对函数的图象； (3)在（1）的“绝对函数”图象上取一点A，点A关于y轴的对称点为，O是平面直角坐标系的原点，则的面积是______； (4)函数的“绝对函数”与直线有四个交点时，求m的取值范围． 【变式训练1】．我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体． （1）若矩形A为正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？　 　（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】长为3，宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？ 小鸣和小棋分别有以下思路： 【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立，得，再探究根的情况； 【小棋函数流】如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体． （2）那么长为4．宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因； （3）如果长为5，宽为4的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k需要满足的不等式． 【变式训练2】．我们定义：如果一个矩形周长和面积都是矩形的倍，那么我们就称矩形是矩形的完全倍体．    (1)若矩形为正方形，是否存在一个正方形是正方形的完全倍体？______（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】长为，宽为的矩形是否存在完全倍体？ 小鸣和小棋分别有以下思路： 【小鸣方程流】设新矩形长和宽为、，则依题意，， 联立得，再探究根的情况； 【小棋函数流】如图，也可用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全倍体． (2)那么长为4．宽为3的矩形是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因． (3)如果长为4，宽为3的矩形存在完全倍体，请求出的取值范围． 【变式训练3】．如图，已知直线l：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线（，）交于D、E两点，若点D的坐标为，点E的坐标为．    (1)求直线l和双曲线的表达式； (2)当时，请直接写出x的取值范围； (3)若将直线l向下平移m（）个单位得到新直线，当m为何值时，新直线与双曲线在第一象限内有且只有一个交点M． 1．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 2．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a= ，y与t的函数关系如图所示． （1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值； （2）求y与t的函数关系式； （3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ （总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本） 3．2015年9月19日第九届合肥文博会开幕．开幕前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价x（元/件） … 20 30 40 50 60 … 每天销售量（y件） … 500 400 300 200 100 … （1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）开幕后，合肥市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过38元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 4．列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 5．如图，在中， ，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止，设点运动的路程为，若点是射线上一点，且，连接，设． (1)求出与的函数关系式，并注明的取值范围； (2)先补全表格中的值，再画出的函数图像 (3)在直角坐标系内直接画出的函数图像，结合和的函数图像，求出当时，的取值范围．(结果取精确值) 6．我们定义：如果一个矩形周长和面积都是矩形的倍，那么我们就称矩形是矩形的完全倍体． (1)若矩形为正方形，是否存在一个正方形是正方形的完全倍体？______（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】 长为，宽为的矩形是否存在完全倍体？ 小鸣和小棋分别有以下思路： 【小鸣方程流】设新矩形长和宽为、，则依题意， 联立得，再探究根的情况； 【小棋函数流】如图，也可用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全倍体． (2)那么长为．宽为的矩形是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因． (3)如果长为，宽为的矩形存在完全倍体，请直接写出的取值范围：______． 7．如图，反比例函数的图象与一次函数的交于A、B两点，已知点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点O为坐标原点，求点O到直线的距离． 8．如图，正方形的边长为3，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)点是对角线上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点，使得的值最小？如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 9．如图，已知：矩形的顶点B在反比例函数的图象上，且． (1)求反比例函数的关系式； (2)若动点E从A开始沿向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，是等腰直角三角形？ ②当时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？说明理由； (3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如下图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标； (3)利用（2）的结果为条件，请问：在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$