专题11反比例函数与六类特殊图形-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题11 反比例函数与六类特殊图形 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、反比例函数与等腰三角形 1 类型二、反比例函数与直角三角形 4 类型三、反比例函数与平行四边形 6 类型四、反比例函数与矩形 12 类型五、反比例函数与菱形 类型六、反比例函数与正方形 压轴能力测评（10题） 13 1 反比例函数与三角形综合的方法 1， 涉及到面积问题时，往往利用割补法求三角形的面积； 2， 比较函数大小时，通过图像即可比较得出； 3， 利用待定系数法求解析式，解决不等式时也通过图形即可得出。 4， 涉及到等腰三角形的存在和直角三角形的存在时，一般要分类讨论，根据各类情况情况进行分析，涉及到的知识点涵盖：两点间的距离公式，勾股定理等。 5， 直角三角形时，如下图： 6，等腰三角形时，如下图： 画弧法：以等腰三角形确定边两端点分别为圆心，确定边长度为半径画弧，与动点所在直线的交点即为所求点，另外确定边的垂直平分线与动点所在直线的交点即为所求点。 2反比例函数与四边形综合 1， 三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题。 2，待定系数法求函数解析式、函数图象与不等式的关系、菱形的性质以及利用三角形三边关系解决最值问题，同时也会用到等腰三角形的性质、中位线和直角三角形的性质。 3，平行四边形的存在性问题 利用线段长解析式=定值长（平行四边形对边平行且相等）列方程求值 类型一 反比例函数与等腰三角形结合 例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点． (1)根据图象求k的值； (2)根据图象时，写出自变量的取值范围； (3)点P在y轴上，且满足以点A、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出点P所有可能的坐标． 【变式训练1】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，连结，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据函数图象，写出不等式的解集： ． (4)点是轴上的一个动点，连结、，当是等腰三角形时，直接写出点坐标． 【变式训练2】．如图，已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如下图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标； (3)利用（2）的结果为条件，请问：在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标． 【变式训练3】．如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，结合函数图象，请直接写出不等式的解集； (3)点为轴上一个点，连接，当为以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标，不必写出理由． 类型二 反比例函数与直角三角形结合 例．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，． ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 【变式训练1】．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，其中点A的坐标为 (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 【变式训练2】．如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于，两点，点的横坐标为． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，连接，，当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点的坐标． 【变式训练3】．一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，其中． (1)求反比例函数表达式； (2)已知，请结合图象，直接写出时，的取值范围； (3)若点在轴上，且是直角三角形，求点的坐标． 类型三 反比例函数与平行四边形结合 例．如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．    【变式训练1】．如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为 ． 【变式训练2】．已知点A、B分别在反比例函数和的图像上，四边形为平行四边形．将沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图像上的D点，则两个平行四边形重叠部分的面积为 ． 【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则的值为 ． 类型四 反比例函数与矩形结合 例．如图，点在函数的图像上，过作轴于点，交直线于点，作轴于点，交直线于点，分别在矩形的外侧构造矩形，．若是的中点，图中阴影部分的面积为7，则的值为 ． 【变式训练1】．如图，、是反比例函数（）的图象上两点，点、、、分别在坐标轴上，若正方形的面积为6，则矩形的面积为 ． 【变式训练2】．如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 【变式训练3】．如图，矩形的顶点，分别为反比例函数与，点，在轴上，，分别交轴于点，，则阴影部分的面积为 ． 类型五 反比例函数与菱形结合 例．如图，在菱形中，，，菱形的一个顶点C在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为 ． 【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，点在一个反比例函数的图象上，若，且菱形的面积为12，则该反比例函数的表达式为 ． 【变式训练2】．如图，菱形的顶点的坐标为顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点B，则的值为 ． 【变式训练3】．如图所示，四边形是菱形，边在x轴上，点，点，双曲线与直线交于点D，点E，则的面积为 ． 类型六 反比例函数与正方形结合 例．如图，正方形 放置在直角坐标系中，点A的坐标为，点 B的坐标为反比例函数经过点C，将正方形向上平移m个单位长度后，点D恰好落在双曲线上，则m值为 ． 【变式训练1】．如图，四边形是矩形，是正方形，点C在y轴的正半轴上，点F在上，点B和点E在的图象上，，，则正方形的边长为 ． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A点，交y轴于B点，以为边作正方形（C、D在第一象限）其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形沿x轴向右平移a个单位，使得顶点B落在双曲线上，则a的值为 ． 【变式训练3】．如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若轴，点的横坐标为2，则的值为 ． 1．如图，菱形的顶点A，分别在轴，轴上，轴，，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 2．如图，把边长为2的菱形放在平面直角坐标系中，边在x轴上，，点A的坐标是，E是边的中点，反比例函数的图象经过点E，则k的值是 3．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M．若的面积为4，则k的值为 ． 4．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为 ． 5．如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 6．如图，是面积为4的等腰三角形，底边在轴上，若反比例函数图象过点，则该反比例函数的表达式为 ．    7．如图，直线与反比例函数图象交于点A，B为的中点，过点B作y轴的平行线交双曲线于点D，交x轴于点C，连接．若为等腰三角形，则 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数（）的图象经过的中点，交于点，则 ． 9．如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的顶点在原点，直角边在轴上，，反比例函数的图象分别交边于点，连接，若，，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 反比例函数与六类特殊图形 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一 反比例函数与等腰三角形结合 4 类型二 反比例函数与直角三角形结合 10 类型三 反比例函数与平行四边形结合 18 类型四 反比例函数与矩形结合 23 类型五 反比例函数与菱形结合 28 类型六 反比例函数与正方形结合 32 压轴能力测评 37 1 反比例函数与三角形综合的方法 1， 涉及到面积问题时，往往利用割补法求三角形的面积； 2， 比较函数大小时，通过图像即可比较得出； 3， 利用待定系数法求解析式，解决不等式时也通过图形即可得出。 4， 涉及到等腰三角形的存在和直角三角形的存在时，一般要分类讨论，根据各类情况情况进行分析，涉及到的知识点涵盖：两点间的距离公式，勾股定理等。 5， 直角三角形时，如下图： 6，等腰三角形时，如下图： 画弧法：以等腰三角形确定边两端点分别为圆心，确定边长度为半径画弧，与动点所在直线的交点即为所求点，另外确定边的垂直平分线与动点所在直线的交点即为所求点。 2反比例函数与四边形综合 1， 三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题。 2，待定系数法求函数解析式、函数图象与不等式的关系、菱形的性质以及利用三角形三边关系解决最值问题，同时也会用到等腰三角形的性质、中位线和直角三角形的性质。 3，平行四边形的存在性问题 利用线段长解析式=定值长（平行四边形对边平行且相等）列方程求值 类型一 反比例函数与等腰三角形结合 例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点． (1)根据图象求k的值； (2)根据图象时，写出自变量的取值范围； (3)点P在y轴上，且满足以点A、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出点P所有可能的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、求函数解析式、运用图像求不等式的解集，等腰三角形的性质等知识点，掌握两函数图像的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键． （1）先利用正比例函数求出，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）先求出反比例函数与正比例函数的另外一个交点，直接根据函数图像即可解答； （3）设，则，分，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：联立， 令，则， 解得：或， 根据题意， 根据函数图象得：时，或； （3）解：设，则， ， 当时， 则， 解得：或， 点P的坐标为或； 当时， 则， 解得：或（舍去）， 点P的坐标为； 当时， 则， 解得：， 点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【变式训练1】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，连结，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据函数图象，写出不等式的解集： ． (4)点是轴上的一个动点，连结、，当是等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：； (2) (3)或 (4)点坐标为或或或或． 【分析】本题考查了反比例函数的综合应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）将，坐标代入两个函数解析式即可得到两个解析式； （2）设直线与轴交于点，利用代入数据计算即可； （3）根据函数图象直接写出不等式的解集即可； （4）分三种情况①当时，②当时，③当时，利用勾股定理建立方程求出点横坐标即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ，，， ，，， 一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：； （2）解：设直线与轴交于点，令，则， ， ． （3）解：根据函数图象，不等式的解集为：或． 故答案为：或； （4）解：，， ， 分三种情况讨论， ①当时，设则有： 整理得：，解得，即，， 或； ②当时，，设，则有： ， ， 解得，， 或； ③当时，设，则有，则有： ， 整理得：， ． 综上分析，点坐标为或或或或． 【变式训练2】．如图，已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如下图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标； (3)利用（2）的结果为条件，请问：在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式． （2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可． （3）先求出的距离，然后根据：，，分情况讨论解决． 【详解】（1）将，代入得， 解得 ∴反比例函数的解析式为； （2）由 解得， ∵点A在第一象限 ∴ 将代入 ∴点A的坐标为； （3）设， ∵点A的坐标为 ∴ ，与x轴所夹锐角为， ∵为腰 ∴当时， ∴ ∴ ∴P点坐标为或； 当时， ∴ ∴或0（舍去） ∴P点坐标为 综上所述，P点坐标为或或． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，勾股定理，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数的解析式． 【变式训练3】．如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，结合函数图象，请直接写出不等式的解集； (3)点为轴上一个点，连接，当为以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标，不必写出理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或或 【分析】（1）先求出点A的坐标，再代入计算即可； （2）根据函数图象写出结果即可； （3）分和两种情况求解． 【详解】（1）把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴； （2）由函数图象可知，当时，成立； （3）当时，作轴于点D，      ∵， ∴． 当时，， ∴， ∴． ∵，轴 ∴， ∴， ∴． 当时， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 综上可知，或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，求反比例函数解析式，利用函数图象解不等式，等腰三角形的性质，分类讨论是解（3）的关键． 类型二 反比例函数与直角三角形结合 例．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，． ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)①4；②或 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图像和性质，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据题意求出，代入反比例函数即可求出答案； （2）①过点M作轴交直线于点N，则，根据对称性质得到，分情况计算出面积即可； ②分当时，当时两种情况分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入，得 又∵直线与反比例函数的图象交于点A，B 故反比例函数的表达式为 （2）解：①如图， 过点M作轴交直线于点N，则，由对称性可知， 当时， 当时， 综上所述，的面积为4 ②由题意可知，直线的函数表达式为，令，则；令，则 直线与x轴的交点为，与y轴的交点为 ， 点M在直线的第一象限图象上，当是直角三角形时，存在以下两种情况. （i）当时， 设，过点作一条直线平行轴，过点作垂线交直线于点，使． 根据坐标系可知，， 根据勾股定理可得，，， 由①得： ， 解得， ； （ii）当时，设，连接 是直角三角形，且点O是线段的中点， . 整理，得，解得，（舍去） 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或． 【变式训练1】．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，其中点A的坐标为 (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入求出，再把代入求出k的值即可； （2）当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式为和，推出，推出， 得到，推出，得到，得到． 【详解】（1）解：将代入， 得，， ∴, ∴， 将代入，得，， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：①当时，轴， ∴； ②当时， 如图，过点A作轴于点D， 则， ∵， ∴，， ∵直线的表达式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键． 【变式训练2】．如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于，两点，点的横坐标为． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，连接，，当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合题． （1）根据正比例函数的表达式求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数表达式求出的值，即可得出反比例函数的表达式；根据与关于原点对称，点横坐标与纵坐标分别与点横坐标与纵坐标互为相反数； （2）根据图象分析，不等式即的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应的x的取值范围； （3）设，根据勾股定理表示出，，进而根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为，代入正比例函数， 得， ∴, ∴，解得： ∴反比例函数， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点， ∴与关于原点对称，则； （2）解：根据函数图象可知，不等式，即的解集为：或； （3）解：设， ∵,， ∴，，， 当是直角三角形且以为直角边时，则 或 即或， 解得：或， ∴或 ． 【变式训练3】．一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，其中． (1)求反比例函数表达式； (2)已知，请结合图象，直接写出时，的取值范围； (3)若点在轴上，且是直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数与方程与不等式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键． （1）把代入求出，再把代入求出k的值即可； （2）结合图象即可得时，x的取值范围； （3）当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式为和，推出，推出， 得到，推出，得到，得到． 【详解】（1）将代入， 得，， ∴， ∴， 将代入，得，， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）∵，， ∴观察图象可得： 当时，； （3）①当时，轴， ∴； ②当时， 如图，过点A作轴于点D， 则，    ∵， ∴，， ∵直线的表达式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 类型三 反比例函数与平行四边形结合 例．如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，数形结合是解题的关键． 延长交点轴于，由的面积，可求，设点坐标为，可得，进而求解坐标，由中点坐标公式得到坐标，由都在反比例函数图象上列等式，即可求解． 【详解】解：如图，    延长交点轴于， 的面积为，点是的中点， 设点坐标为， ， ， ， 根据中点坐标公式可得， 都在反比例函数图象上， ， 解得， ． 故答案为：． 【变式训练1】．如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数比例系数k的几何意义；根据题意得，，，则由，化简得到，结合反比例函数的比例系数k的几何意义得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，的面积为8， ， 即， ， ， ， 即； 点在函数的图象上， ， 即， ， ； 故答案为：2． 【变式训练2】．已知点A、B分别在反比例函数和的图像上，四边形为平行四边形．将沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图像上的D点，则两个平行四边形重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，直线与双曲线的交点的求法．先将点A，B代入和，求出反比例函数解析式，利用平行四边形性质求出，设C点往上平移后为，代入，求出，根据平移的性质求出点坐标，由此可求出两个平行四边形重叠部分的平行四边形的面积． 【详解】解：把点A代入，得， 即为， 把B代入，得， 即为， 点A、B， ， ， ， 设C点往上平移后为， 在上， ， ∴， 平行四边形沿y轴向上平移个单位， 设直线的解析式为，代入A， 得，即直线的解析式为， 如图， 当时，，则点， 到距离为， 重叠的阴影部分的面积为． 故答案为：． 【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点的坐标是解题的关键． 作于，由等腰三角形三线合一的性质得出，利用平行四边形的性质可知，故设，则，代入即可求得的值． 【详解】解：作于， ， ， ， 设，则， 点在函数的图象上． ， 故答案为：6． 类型四 反比例函数与矩形结合 例．如图，点在函数的图像上，过作轴于点，交直线于点，作轴于点，交直线于点，分别在矩形的外侧构造矩形，．若是的中点，图中阴影部分的面积为7，则的值为 ． 【答案】6 【分析】设，则，，根据阴影部分的面积为7，列出方程求出值，从而计算出值，即可得值． 【详解】解：设，则，， 阴影部分的面积为7， ， 解得（舍去）或， 当时，， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：6． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合、反比例函数与一次函数的综合，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【变式训练1】．如图，、是反比例函数（）的图象上两点，点、、、分别在坐标轴上，若正方形的面积为6，则矩形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较常见的考查点．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的面积的关系即，进行解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：6． 【变式训练2】．如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，作轴，设点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作轴于G，连接，设和交于I， 设点，， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴(， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴），即：， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 【变式训练3】．如图，矩形的顶点，分别为反比例函数与，点，在轴上，，分别交轴于点，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．设点，求出的长，根据相似三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：设点， 则， 的纵坐标为， ， ， 的横坐标为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 类型五 反比例函数与菱形结合 例．如图，在菱形中，，，菱形的一个顶点C在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题是反比例函数和几何综合题，过C作于E，利用菱形的性质和含角的直角三角形的性质求出点C的坐标，再根据顶点C在反比例函数的图象上求出k的值，即可得到答案． 【详解】解：过C作于E， ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴点C的坐标为， ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴，得， 即， 故答案为：． 【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，点在一个反比例函数的图象上，若，且菱形的面积为12，则该反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，延长交轴于点D，过B点作于E点，先求出，然后根据求出，然后再根据图象的位置解题即可． 【详解】解：延长交轴于点D，过B点作于E点， ∵是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵图象在第二象限， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 【变式训练2】．如图，菱形的顶点的坐标为顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点B，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，由菱形的顶点的坐标为，可求得，继而求得点的坐标，然后由待定系数法即可求得的值，注意根据菱形的性质求得点的坐标是关键． 【详解】解：∵点的坐标为顶点在轴的正半轴上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过顶点B， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】．如图所示，四边形是菱形，边在x轴上，点，点，双曲线与直线交于点D，点E，则的面积为 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，菱形的性质，先利用勾股定理求出，再由菱形的性质得到，则，利用待定系数法求出反比例函数解析式为，直线的解析式为，然后联立两函数解析式求出，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 把代入中得， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴， 故答案为：35． 类型六 反比例函数与正方形结合 例．如图，正方形 放置在直角坐标系中，点A的坐标为，点 B的坐标为反比例函数经过点C，将正方形向上平移m个单位长度后，点D恰好落在双曲线上，则m值为 ． 【答案】 【分析】作于E，于F，利用证明，得，可得点C、D的 坐标，从而得出反比例函数的解析式，进一步求得平移的距离． 【详解】解：作于E，于F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为． ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点C， ∴， ∴， 把代入得，， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标的特征等知识，作辅助线构造全等 三角形是解题的关键． 【变式训练1】．如图，四边形是矩形，是正方形，点C在y轴的正半轴上，点F在上，点B和点E在的图象上，，，则正方形的边长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，反比例函数的图象上点的坐标特征，先求出B点坐标为，可得反比例函数解析式为，设，则，所以E点坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，解方程求出t的值即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形， ∴， ∴B点坐标为， 把代入中，得， ∴反比例函数解析式为， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴E点坐标为， ∵点E在上， ∴， 整理得：， 解得：（舍去），， ∴正方形的边长为2， 故答案为：2． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A点，交y轴于B点，以为边作正方形（C、D在第一象限）其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形沿x轴向右平移a个单位，使得顶点B落在双曲线上，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】依据题意，作轴于H，可证，从而求得D的坐标，代入反比例函数解析式求出k，由正方形向右平移B落在双曲线上，利用B的纵坐标不变代入反比例函数解析式进而求出此时横坐标，即得a的值． 【详解】解：如图，作轴于H， 在中，令，解得：，即B的坐标是． 令，解得：，即A的坐标是． 则． ∵， ∴， 又∵直角中，， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． 把代入， ∴． ∴反比例函数解析式为， ∵， ∵正方形向右平移a个单位， ∴平移后B点的坐标为． 由平移后在双曲线上， ∴． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得平移后B的坐标是关键． 【变式训练3】．如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若轴，点的横坐标为2，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查反比例函数的图象及应用，涉及正方形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．连接交于E，延长交x轴于F，连接、，由四边形是正方形，设，，由轴，可以表示点A，B的坐标，可求得m，a的关系，再由在反比例函数（）的图象上，在（）的图象上，即可解答本题． 【详解】解：连接交于E，延长交x轴于F，连接、，如图： ∵四边形是正方形， ∴． 设，， ∵轴， ∴，． ∵A，B都在反比例函数（）的图象上， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在反比例函数（）的图象上，在（）的图象上， ∴， ∴， 故答案为：8． 1．如图，菱形的顶点A，分别在轴，轴上，轴，，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数图象，菱形的性质，正确理解反比例函数的图象是解题的关键．设菱形的对角线，相交于点E，则根据菱形的性质可求出点B的坐标，代入反比例函数关系式求解，即得答案． 【详解】设菱形的对角线，相交于点E， 则，， 轴， 轴， ， 把代入，得， ． 故答案为：5． 2．如图，把边长为2的菱形放在平面直角坐标系中，边在x轴上，，点A的坐标是，E是边的中点，反比例函数的图象经过点E，则k的值是 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质以及，证得是等边三角形，由E是边的中点，得出，解直角三角形求得E的坐标，根据待定系数法即可求得． 【详解】解：连接， ∵菱形的边长为2，， ∴， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点，则， ∴， ∴，， ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， 故答案为：． 3．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M．若的面积为4，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，利用中心对称的性质可得，则，再根据比例关系得到，从而计算出，继而求出k值． 【详解】如图，M是矩形的对称中心，延长必过点B，则， ∵的面积为4， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点)，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心， ∴延长恰好经过点， ∵点在上，且， ∴， ∴， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 5．如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，勾股定理的应用，判断出只有或两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用． 由对称性可知为的中点，则当为等腰三角形时只能有或，设点坐标为，可分别表示出和，从而可得到关与的方程，可求得，可求得点坐标． 【详解】解：反比例函数图象关于原点对称， 、两点关于对称， 为的中点，且， 当为等腰三角形时有或， 设点坐标为， ，， ，，， 当时，则有，解得或10，此时点坐标为或； 当时，则有，解得或，此时点坐标为或； 综上可知点的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 6．如图，是面积为4的等腰三角形，底边在轴上，若反比例函数图象过点，则该反比例函数的表达式为 ．    【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 作轴，根据条件可得，所以，依据图象在第四象限即可得到反比例函数解析式． 【详解】解：作轴，垂直为点，   是等腰三角形，底边在轴上，， ， ， 反比例函数图象在第四象限， ， 故反比例函数解析式为：， 故答案为：． 7．如图，直线与反比例函数图象交于点A，B为的中点，过点B作y轴的平行线交双曲线于点D，交x轴于点C，连接．若为等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】 本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，分为顶点，为顶点，以及为顶点，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：设点，则：， ∵轴， ∴， ①当为顶点时：过点作，则：， ∵， ∴为的中点， ∴，此方程无解， ∴此情况不存在； ②当为顶点时，则：， ∴， 解得：（负值已舍掉）； 经检验是方程的解； ∵在直线上， ∴； ③当为顶点时，则：， ∴， 解得：（负值已舍掉）； 经检验是方程的解； ∴； 故答案为：或． 8．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数（）的图象经过的中点，交于点，则 ． 【答案】 【分析】先根据直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半求出，再根据勾股定理求出，在中求出，，最后根据点是的中点求出点的坐标，利用待定系数法求出的值即可． 本题考查了反比例函数与几何的综合题，熟知直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握勾股定理，求出点的坐标是此题的关键． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ，，， ， 由勾股定理得， 在中，，， ， 由勾股定理得， 点是的中点， ，， 点在第一象限， 点的坐标是， 反比例函数的图象经过的中点， ， 故答案为：． 9．如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为 ． 【答案】或． 【分析】设点，则，进而得点，由此可得直线的表达式为，解方程组，得点，再由两点间的距离公式得，，，当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，由勾股定理得，则，由此解出，②当时，由勾股定理得，则，由此解出，综上所述即可得出的值． 【详解】解：设点的横坐标为， 轴， 点的横坐标为， 点在直线上， 点， 又点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， 点， 设直线的表达式为：， ， ， 直线的表达式为：， 解方程组：，得，（不合题意，舍去）， 点， 点， ，，， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， 即：， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当为直角三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交，直角三角形的性质，勾股定理，公式法解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法求正比例函数解的析式，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 10．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的顶点在原点，直角边在轴上，，反比例函数的图象分别交边于点，连接，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的意义，由得到，又由，，得到，列出方程即可求解，掌握反比例函数系数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$