专题14四类母子型相似-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题14 四类母子型相似 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、“母子”模型（斜射影模型） 1 类型二、双垂直模型（射影模型） 4 类型三、“母子”模型（变形） 6 类型四、共边模型 12 压轴能力测评（10题） 13 母子相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 4）共边模型 条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 类型一、“母子”模型（斜射影模型） 例．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【变式训练1】．如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； (2)当等于何值时，与相似？ 【变式训练2】．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【变式训练3】．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 类型二、双垂直模型（射影模型） 例．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【变式训练1】．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 【变式训练2】．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（    ）      A．3 B． C． D． 【变式训练3】．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 类型三、“母子”模型（变形） 例．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【变式训练2】．如图1，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动． (1)求的长． (2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值． (3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形． 【变式训练3】．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD． （1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明； （2）求证：； （3）若，⊙O的半径为3，求OA的长． 类型四、共边模型 例．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 【变式训练1】．如图，，为的两条切线，，为切点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【变式训练2】．如图，是的直径，是的弦，是的切线，切点为，，的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 【变式训练3】．如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 1．如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 3．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和2，∠B＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．2 C．4 D．3 4．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 5．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 6．如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是 ． 7．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 8．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ． 9．如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 10．如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 四类母子型相似 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、“母子”模型（斜射影模型） 1 类型二、双垂直模型（射影模型） 4 类型三、“母子”模型（变形） 6 类型四、共边模型 12 压轴能力测评（10题） 13 母子相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 4）共边模型 条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 类型一、“母子”模型（斜射影模型） 例．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 【变式训练1】．如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； (2)当等于何值时，与相似？ 【答案】(1)AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） (2)或 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）分两种情况：当时，当6≤t≤16时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题可知：AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） （2）解：当时 ①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC． ∴ 又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm， ∴ 解得：； ②由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，则有△AQP∽△ACB． ∴， ∴ 解得：t=6.4（不合题意，舍去） 当6≤t≤16时，点P与点C重合， ∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB． ∴ ∴ 解得： 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键． 【变式训练2】．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）AD=． 【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论； （2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD． 【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD•AB． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C， 又∵∠BFE=∠A， ∴∠BFE=∠C， 又∵∠FBE=∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2=BE•BC， ∴BC===， ∴AD=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 【变式训练3】．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 类型二、双垂直模型（射影模型） 例．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 【变式训练1】．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论； （2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案； （3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴∽， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则（）， ∵，， 同（1）得：， ∴， 在中，， 过作于，如图2所示： 则， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作于，如图3所示： ∵， ∴设，则（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴∽， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。 【变式训练2】．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（    ）      A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】过D做于点H，由正方形ABCD的性质，通过证明和计算得到，再通过证明从而求得CE的长． 【详解】如下图，过D做于点H      ∴ ∵正方形ABCD ∴ 且 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴   又∵正方形ABCD ∴ ∴ ∵于点G ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵且 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 方法二： ∵∠BEC+∠FCD=90°， ∠DFC+∠FCD=90°， ∴∠BEC=∠DFC， 又∵∠CDF=∠BCE, BC=CD, ∴△BCE≌△CDF， ∴CE=DF=4-1=3; 【点睛】本题考查了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知识；求解的关键是熟练掌握正方形、相似三角形的性质，从而完成求解． 【变式训练3】．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 类型三、“母子”模型（变形） 例．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在与中，已知有一对公共角∠B，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误． 【详解】A．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； B．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； C．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； D．若，但夹的角不是公共等角∠B，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键． 【变式训练1】．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 【变式训练2】．如图1，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动． (1)求的长． (2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值． (3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)10 (2)或时，以点、、为顶点的三角形与相似 (3)或或时，为等腰三角形 【分析】(1)根据三角函数解得即可； (2)分①当时和②当时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可； (3)分①当时，②当时，③当时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比例解答即可． 【详解】（1）解： （2）解：解：①当时， ， 即， 解得：， ②当时， ， 即， 解得：， 综上所述，或时，以点、、为顶点的三角形与相似， （3）解：①如图3，当时，， 解得：， ②如图4，当时，过点作于， 则∠，，， ， ， ， ， 即， 解得：， ③如图，当时，过点作于， 则，， ， ， ， 即， 解得：， 综上所述，或或时，为等腰三角形 【点睛】本题考查考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，已知正切求边长，解题的关键是掌握辅助线的作法，数形结合，分类讨论思想的应用． 【变式训练3】．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD． （1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明； （2）求证：； （3）若，⊙O的半径为3，求OA的长． 【答案】（1）相切，见解析；（2）见解析；（3）5． 【分析】（1）连接OC，由等腰三角形“三线合一”性质证明OC⊥AB，据此解题； （2）连接OC，90°圆周角所对的弦是直径，证明DE为⊙O的直径，再证明△BCD∽△BEC，最后根据相似三角形的对应边成比例解题； （3）根据正切定义得到，解得OC=OE=3，再由△BCD∽△BEC，设BC=x，根据相似三角形对应边成比例，及勾股定理得到9+x2=（2x-3）2，解此一元二次方程，验根即可解题． 【详解】解：（1）AB与⊙O相切，连接OC， ∵OA=OB，CA=CB， ∴OC⊥AB， ∵点C在⊙O上， ∴AB与⊙O相切； （2）连接OC， ∵OC⊥AB， ∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°， 又∵DE为⊙O的直径， ∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2， ∵OE=OC， ∴∠E=∠2， ∴∠1=∠E， ∵∠B=∠B， ∴△BCD∽△BEC， ∴， ∴BC2=BD•BE； （3）∵，∠ECD=90°， ∴， ∵⊙O的半径为3， ∴OC=OE=3， ∵△BCD∽△BEC， ∴，设BC=x， ∴， ∴OB=2x-3， ∵∠OCB=90°， ∴OC2+BC2=OB2， ∴9+x2=（2x-3）2， ∴x1=0（舍去），x2=4， ∴OA=OB=5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质等知识，切线的证明方法有两种：1、有点连接此点与圆心，证明夹角为直角；2、无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径，利用方程思想解题是关键． 类型四、共边模型 例．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3． 【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论； （2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论； （3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论； 【详解】（1）∵与互为母子三角形， ∴或2 故选：C （2）是的角平分线， ， ， ． 又， 与互为母子三角形．        （3）如图，当分别在线段上时， 与互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又， ． ， ， ． 如图，当分别在射线上时， 与互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又， ． ， ， ． 综上所述，或3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解． 【变式训练1】．如图，，为的两条切线，，为切点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）如图，作辅助线，证明∠APO=∠BPO得，再由为的直径可得AB⊥AD，从而可得结论； （2）设，则，由勾股定理得，再证明可求出，从而通过解直角三角形可得结论． 【详解】（1）证明：连接交于点， ∵，为的两条切线， ∴，， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴． （2）∵， ∴设，则． ∵， ∴． 不妨设，则．在中，． ∵，为的切线， ∴． ∴， ∴． ∴，解得． ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质、解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理与判定定理是解答此题的关键． 【变式训练2】．如图，是的直径，是的弦，是的切线，切点为，，的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接OD，由题意易证△CDO≌△CBO，然后根据三角形全等的性质可求证； （2）由题意易得△EDA∽△EBD，然后根据相似三角形的性质及可求解． 【详解】（1）证明：连接OD，如图所示： AD∥OC， ∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD， 又OA=OD， ∠DAO=∠ADO， ∠COD=∠COB， OD=OB，OC=OC， △CDO≌△CBO， ∠CDO=∠CBO， BC是的切线， ∠CBO=∠CDO=90°， 点D在上， CD是的切线； （2）由（1）图可得： ∠ADO+∠EDA=90°，∠ODB=∠DBO， 是的直径， ∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°， ∠EDA=∠ODB=∠DBO， 又∠E=∠E， △EDA∽△EBD， ， 的半径为4，， AB=8，EB=AE+8， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查圆的切线定理与判定定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线定理及判定定理是解题的关键． 【变式训练3】．如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2． 【分析】（1）先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质即可得证； （2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据角的和差即可得； （3）设，从而可得，再根据相似三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出a的值，最后根据直角三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）， ， 在和中，， ， ， ； （2）， 是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ， 点E是AC的中点， ， ， 在和中，， ， ， 又， ， ； （3）设， 是等腰直角三角形， ， 点分别是的中点， ， 在中，， ， 由（1）知，， ，即， 解得， 在中，， ， 在和中，， ， ，即， 解得， 又， ， 解得， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 1．如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明△PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；连接AD，根据PQAB和点D在∠BAC的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9， ∴AC＝＝＝12． ∵＝＝，＝＝， ∴＝． ∵∠C＝∠C， ∴△PQC∽△BAC， ∴∠CPQ＝∠B， ∴PQAB； 连接AD， ∵PQAB， ∴∠ADQ＝∠DAB． ∵点D在∠BAC的平分线上， ∴∠DAQ＝∠DAB， ∴∠ADQ＝∠DAQ， ∴AQ＝DQ． ∵PD＝PC＝3x，QC=4x ∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x. ∴DQ＝2x． ∵AQ＝12﹣4x， ∴12﹣4x＝2x，解得x＝2， ∴CP＝3x＝6． 故选C． 【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键． 2．如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据正方形性质和旋转性质得到∠BAC和∠EAF和∠ADB都等于45°，再加上公共角得到△AEF与△DEA相似，得到对应边成比例即可得到结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠ADB=45°， ∵把△ABC绕点A逆时针旋转到， ∴∠EAF=∠BAC=45°， ∴∠EAF=∠ADB=45°， ∵∠AEF=∠DEA， ∴△AEF∽△DEA， ∴， ∴EF·ED=AE2， ∵AE=4， ∴EF·ED=16， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键． 3．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和2，∠B＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．2 C．4 D．3 【答案】D 【分析】设AG交CE于点H，通过得出，即可得出EH的长，将阴影部分的面积分为和的和，分别求出两个菱形的高即可． 【详解】如图，设AG交CE于点H， ∵菱形ABCD的边AB∥CD， ∴， ∴CH：AB＝GC：GB， 即， 解得， 所以，EH＝CE﹣CH＝ ∵∠B＝120°， ∴∠BCD＝∠FEC＝180°﹣120°＝60°， ∴点B到CD的距离为， 点F到CE的距离为， ∴阴影部分的面积＝S△AEH+S△GEH ＝ 故选：D． 【点睛】本题考查菱形与相似三角形的性质，将阴影部分的面积拆分成两部分来解是解题的关键，属于中考常考题型． 4．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 5．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键． 6．如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是 ． 【答案】 （答案不唯一，也可以增加条件：或）． 【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似． 【详解】若增加条件：∠ACD=∠ABC， ∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键． 7．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴． ∵AC=，AD=1， ∴， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2． 故答案为2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 8．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长； （2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值． 【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F， 又∵AG平分∠DAE， ∴∠DAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠F， ∴EA＝EF， ∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点， ∴BE＝EC＝1， ∴AE＝＝， ∴EF＝， ∴CF＝EF﹣EC＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF， ∴AG＝FG， 在△ADG和△FCG中 ， ∴△ADG≌△FCG（AAS）， ∴DG＝CG， 设CD＝2a，则CG＝a， CF＝DA＝2a， ∵EG⊥AF，∠GCF＝90°， ∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°， ∴∠EGC＝∠F， ∴△EGC∽△GFC， ∴， ∵GC＝a，FC＝2a， ∴， ∴， ∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a， ∴λ＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答． 9．如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 【答案】经过或秒时，与相似 【分析】设经过t秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t秒时，与相似， 则，，， ∵， ∴当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； 综上所述：经过或秒时，与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 10．如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）或；（3）四边形ABQP与CPQ的面积不相等，理由见解析 【分析】（1）根据矩形和勾股定理的性质，计算得，结合题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据相似三角形的性质列方程并求解，即可得到答案； （3）过点P作，交BC于点M，通过证明，根据相似比的性质，推导得，根据题意列一元二次方程，根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）∵矩形ABCD中，， ∴m ∵动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动， ∴， ∴ 故答案为：，，； （2）根据（1）的结论，得，，， ∵ ∴当，或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似 当时，得 ∴ ∴； 当时，得 ∴ ∴； （3）如图，过点P作，交BC于点M ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形ABQP与CPQ的面积相等,四边形ABQP面积 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴无解，即四边形ABQP与CPQ的面积不相等． 【点睛】本题考查了代数式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$