专题05二次函数与四类特殊图形-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题05 二次函数与四类特殊图形 （专题涉及后面所学，请择情况而讲） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、直角三角形存在性 4 类型二、等腰三角形存在性 6 类型三、平行四边形存在性 8 类型四、相似三角形存在性 10 压轴能力测评 12 类型一、直角三角形存在性 ①运用勾股定理：a²+b²=c² ②运用剥离法（参照圆证明玻璃法的运用） 类型二、等腰三角形存在性 画弧法：以等腰三角形确定边两端点分别为圆心，确定边长度为半径画弧，与动点所在直线的交点即为所求点，另外确定边的垂直平分线与动点所在直线的交点即为所求点。 类型三、相似三角形存在性 类型四、平行四边形存在性 利用线段长解析式=定值长（平行四边形对边平行且相等）列方程求值 类型一、直角三角形存在性 例．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)如图①，若抛物线的对称轴为直线，． ①点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； ②由①得抛物线的函数表达式为______； (2)将（1）中的抛物线向右平移若干个单位长度，再向下平移若干个单位长度，使平移后的抛物线经过点O，且与轴正半轴交于点，记平移后的抛物线的顶点为，若是直角三角形，则点的坐标为______． 【变式训练1】．如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图2，将沿直线平移得到． ①当点落在抛物线上时，求点的坐标． ②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【变式训练2】．．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，，，若，求点的坐标； (3)在二次函数的图象上是否存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练3】．．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 类型二、等腰三角形存在性 例．如图，抛物线（、为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线； (1)求抛物线w的函数表达式； (2)连接，探究抛物线的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】．．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为．    (1)求该二次函数的关系式； (2)是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】．．二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，顶点为点D． (1)求该二次函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围； (3)连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标． 【变式训练3】．．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接，已知，且抛物线经过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线上位于第四象限内的一点，且，求E的坐标． (3)若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标． 类型三、平行四边形存在性 例．如图，抛物线与直线交于、两点，其中点在轴上，点坐标为，点为轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)以，，，为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． (3)当点运动到直线下方某一处时，过点作，垂足为，连接使为等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标． 【变式训练1】．．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求出点的坐标． 【变式训练2】．．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接．    (1)求的面积； (2)如图2，点P是该抛物线上一个动点，并沿抛物线从点B运动至点A，连接、，并以、为边作平行四边形． ①当平行四边形的面积为9时，求点P的坐标； ②直接写出在整个运动过程中，点Q与线段的最大距离是 ． 【变式训练3】．．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，直线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)将在直线上平移，平移后的三角形记为，直线交抛物线于，当时，求点的坐标； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、相似三角形存在性 例．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，抛物线经过点和点，且其顶点为，点为抛物线与轴的另一个交点 (1)求抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点在抛物线上，若，求点的坐标． (4)连接，延长交轴于点，点是直线上的动点，如果与是相似三角形，求点的坐标． 【变式训练1】．．如图，抛物线W与x轴交于A(1，0)，M(﹣3，0)两点，交y轴于点B(0，3)，抛物线W关于y轴的对称图形为抛物线L． (1)求抛物线W的表达式； (2)如果E是点A关于原点的对称点，D是抛物线L的顶点，那么在x轴上是否存在点P，使得△PAD与△EBO是相似三角形？若存在，求出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】．．如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E． （1）求二次函数的解析式； （2）移动点P，求线段的最大值； （3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标． 【变式训练3】．．已知：直角梯形中，，∠=，以为直径的圆交于点、，连接、、． (1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形： _____________________，______________________ ； (2)直角梯形中，以为坐标原点，在轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点、、，且为抛物线的顶点． ①写出顶点的坐标（用含的代数式表示）___________； ②求抛物线的解析式； ③在轴下方的抛物线上是否存在这样的点，过点作⊥轴于点，使得以点、A、为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 1．如图，平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，点P为抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1时，求出m的值； (4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； (3)若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 5．如图，已知抛物线与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点，顶点为D． (1)求出该抛物线的表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A的坐标是，P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在第二象限内，且，求的面积． (3)在（2）的条件下，若M为直线上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的关系解析式； (2)点p是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 8．综合与探究 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的面积等于的面积的时，求的值； (3)在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 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②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)①点的坐标为或；②点的坐标为或或或 【分析】（1）抛物线的表达式为：，即，解方程即可得到答案； （2）①将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；②根据题意，分为直角、为直角、为直角三种情况，由勾股定理分别列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线解析式为， 则，即， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：抛物线与x轴交于点，， 函数的对称轴为，故点； 设直线的表达式为：， 将点、的坐标代入得，解得， 直线的表达式为， 设点， ∵，则点， ①将点的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故点的坐标为或； ②点，点的坐标分别为、，则，，， 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为或； 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为； 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定二次函数表达式、待定系数法确定一次函数表达式、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握二次函数图象与性质及二次函数综合问题解法是解决问题的关键． 【变式训练2】．．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，，，若，求点的坐标； (3)在二次函数的图象上是否存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】本题考查二次函数与几何综合，注意数形结合，以及分类讨论是解题关键． （1）利用二次函数交点式即可确定函数解析式； （2）连接，将的面积转化为即可； （3）分类讨论：①为直角边；②为直角边，分别构造一线三垂直相似模型，设出点坐标，利用相似性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为=； （2）如图，连接， 设点的坐标为， 当的时，得, 则， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（点在第四象限，故舍）， ∴． （3）设点的坐标为， 如图，当为直角边时， 过点作轴于点， 易得， ∴，即， 化简得， 解得，或（舍）， 故； ②如图，当为直角边时， 过点作轴于点， 易得， ∴，即， 化简得， 解答，或（舍）， 故， 综上，存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．点的坐标为，． 【变式训练3】．．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线的函数关系式为：或． 【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答． （1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，据此即可求解； （3）设点的坐标为，求得，，，分点在轴上方和点在轴下方，利用勾股定理列式，求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）解：连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （3）解：假设存在，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 当点在轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 当点在轴下方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线的函数关系式为：或． 类型二、等腰三角形存在性 例．如图，抛物线（、为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线； (1)求抛物线w的函数表达式； (2)连接，探究抛物线的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，，， 【分析】本题主要考查了二次函数动点特殊三角形问题，属于二次函数综合题，解答本题的关键是先求出解析式，设点分类讨论等腰三角形的腰． （1）将点，代入即可得到答案； （2）由（1）知：拖物线的对称轴为：，，所以抛物线的对称轴为：， 令，根据两点间距离公式得到三角形三边的平方的代数式，再分类讨论腰相等列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将点，代入得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：存在 由（1）知：抛物线的对称轴为：，， 抛物线的对称轴为：， 令， ，，， ①当时，， 解得：，， ，； ②当时，， 解得：，， ，； ③当时，， 解得：， 综上，满足要求的点的坐标为，，，，． 【变式训练1】．．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为．    (1)求该二次函数的关系式； (2)是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的值有最大值，此时点的坐标为 (3)存在，的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． （1）先利用一次函数解析式确定点和点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）作轴交于，设，则，利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）先配方得到，则，抛物线的对称轴为直线，设，利用等腰三角形的性质，当时，即；当时，即；当时，即；然后分别解关于的方程即可得到对应的点坐标． 【详解】（1）解：当时，，则， 当时，，解得：，则， 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为： （2）作轴交于，如图，    设，则， ， 当时，的值有最大值，此时点坐标为 （3）∵抛物线， ∴顶点，对称轴为直线， 设 当时，为等腰三角形，即， 解得： 此时点坐标为：，， 当时，为等腰三角形，即， 解得：， 此时点坐标为： 当时，为等腰三角形，即， 解得：（舍去），， 此时点坐标为：； 综上所述，的坐标为或或或 【变式训练2】．．二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，顶点为点D． (1)求该二次函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围； (3)连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）由,得 在 中,根据( 列方程即可得到根据a的取值范围即可求出的取值范围; （3）证明，并求出的取值范围，分①若；②若 ；③若 ；三种情况讨论，结合等腰三角形的性质即可求出点的坐标. 【详解】（1）由题意得: 解得：， 则抛物线的表达式为：， （2）由抛物线的表达式知，点的坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 由点在线段上，设点的坐标为，则， ， ， ， ， 在中, ， ， 整理得 ， ∴当时, 取得最大值； 当 时，取得最小值； ； （3）由抛物线对称性可得, , ∵, ∴, 把代入； 解得 ∴点的坐标为, 设点的坐标为, ∵点在线段上 (含端点) , ∴, ①若, 则, ∵, ∴, 得点与点重合，则点与点重合， ∴点的坐标为； ②若, 则, ∵, ∴, ∴, 即 解得：， ∴点的坐标为； ③若, 则, ∵是的外角, ∴, ∵, ∴, ∵ ∴, ∴, ， 解得： ∴点的坐标为 ； 综上所述，若是等腰三角形，则点的坐标为或或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的额性质与判定，二次函数与等腰三角形的存在性问题，本题的关键是把握题目等腰三角形的条件，利用分类讨论思想解决问题. 【变式训练3】．．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接，已知，且抛物线经过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线上位于第四象限内的一点，且，求E的坐标． (3)若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3)或或或 【分析】（1）根据待定系数法可求抛物线的解析式； （2）在中，当时，，可得，当时，，得到，根据待定系数法可求的解析式，如图1，过点作轴的垂线交直线于点，设点，点，其中，根据，得到关于的方程，解方程即可求解； （3）如图2，设，则，，根据勾股定理得到，①当时，则，②当时，可得即，解方程即可求解；③当时，点在的垂直平分线上，根据相似三角形的性质得到，④当时，可得，于是得到结论． 【详解】（1）解：把，代入得 ，解得：． 故抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ， ， 当时，， ， ， ， 设的解析式为，把，代入得， 解得． ， 如图1，过点作轴的垂线交直线于点，    设点，点，其中， ， ， 或， 解得（舍去），，，， ，，； ∴E的坐标为或或． （3）解：在中，当时，， ， ， 如图2，    设，则，，， ①当时，则， ； ②当时，即， ， ； ③当时，点在的垂直平分线上， 则， ， ， ， ， ④当时，， ． 综上所述，点的坐标或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线和分类讨论是解题的关键． 类型三、平行四边形存在性 例．如图，抛物线与直线交于、两点，其中点在轴上，点坐标为，点为轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)以，，，为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． (3)当点运动到直线下方某一处时，过点作，垂足为，连接使为等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）设，则，则，根据题意可得当，存在以，，，为顶点的平行四边形，据此建立方程求解即可； （3）过点作直线轴，过点作于，过点作于，证明，得到，，设，则，，可得，，，代入解析式可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解；直线与轴交于点A， ， 把，代入中得， ， 抛物线解析式为； （2）解：设，则， ， ， 当，存在以，，，为顶点的平行四边形， ， ①当时， ，（舍， ， ， ②当时， ，， 当时，， ， 当时，， ， 点的坐标为或或； （3）解：如图1，过点作直线轴，过点作于，过点作于， 由题意得，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ，， 设， ， ， ， ， ，， ， ， 或（舍， ． 【变式训练1】．．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)在抛物线上存在点P， 使得是以为底的等腰三角形，P点坐标为 (3)N点的坐标为或或 【分析】 （1）用待定系数法直接求二次函数解析式即可． （2）过点P作轴于点D，利用等腰三角的性质得出，进而求出点P的横坐标，然后代入二次函数解析式即可求出点P的纵坐标． （3）利用平移的性质得出的解析式，设，，并分三种情况：当①，为平行四边形的对角线时，②当，为平行四边形的对角线时，③当，为平行四边形的对角线时，按照平行线分线段成比例列出等式，分别求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线， 得∶， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）存在点P，使得是以为底的等腰三角形，理由如下∶ 如图，当时，过点P作轴于点D，则． ∵， ∴ ∴，即P点横坐标为， 当时，， ∴P点坐标为 ∴在抛物线上存在点P， 使得是以为底的等腰三角形，P点坐标为． （3）令，则， ∴． ∵， ∴抛物线沿x轴正方向平移的距离与沿y轴正方向平移的距离之比为． ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线沿x轴正方向平移个单位长度，沿y轴正方向平移个单位长度， ∴ ∴新抛物线的对称轴为直线：， 设，， ①当，为平行四边形的对角线时， 解得：， ∴． ②当，为平行四边形的对角线时， 解得： ∴ ③当，为平行四边形的对角线时， 解得： ∴ 综上所述，N点的坐标为或或． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例， 具有较强的综合性，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活运用知识结合的思想是解题的关键． 【变式训练2】．．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接．    (1)求的面积； (2)如图2，点P是该抛物线上一个动点，并沿抛物线从点B运动至点A，连接、，并以、为边作平行四边形． ①当平行四边形的面积为9时，求点P的坐标； ②直接写出在整个运动过程中，点Q与线段的最大距离是 ． 【答案】(1)6 (2)①或；② 【分析】（1）在中，令，得，由，得、，则可求三角形的面积； （2）①由平行四边形的面积是9，知的面积是4.5，有，由，即得的坐标为或； ②连接，过作轴交于，设，，，根据四边形是平行四边形，可得，故，由，可得直线解析式为，，有，可得，即得，设点与线段的距离为，则，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：在中，令，得， ， 令，有， 解得或， ，， ，； 的面积； （2）解：①平行四边形的面积是9， 的面积是4.5， ， ， 在中，令得：， 解得：或， 的坐标为或； ②连接，过作轴交于，如图：    设，， 四边形是平行四边形， 、互相平分，即，的中点重合， ， 解方程组消去可得， ， 由，可得直线解析式为，， ， ， ， 设点与线段的距离为，则， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 点到的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，三角形面积，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 【变式训练3】．．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，直线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)将在直线上平移，平移后的三角形记为，直线交抛物线于，当时，求点的坐标； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）把点，代入抛物线方程，用待定系数法即可求解； （2）根据题意得是等腰直角三角形，将在直线上平移，设向右平移个单位长度，则向上移动同样的单位长度，可得用含表示点，的坐标，根据即可求解； （3）本题应分情况讨论：①将平移，令D点落在x轴（即E点）、B点落在抛物线（即F点）上，可根据平行四边形的性质，得出F点纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求得F点坐标；②过D作x轴的平行线，与抛物线的交点符合F点的要求，此时F、D的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出F点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， ，解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：直线经过点，且， ，解得，， ∴直线的解析式为， ， 是等腰直角三角形， 将在直线上平移，设向右平移个单位，则向上平移为个单位， ∴点的对应点的坐标为，直线交抛物线于，则， 当点在点下方时，，且， ，解得，， ∴点的坐标为或； 当点在点上方时，，且， ，解得，， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或； （3）解：①平移直线，交x轴于E点，交抛物线于F点，    当时，四边形为平行四边形，此时点和点的纵坐标互为相反数， ， 设，则， 解得：或， 或， ②过D作轴与抛物线交于点点，过点作，交x轴于点，过点作，交x轴于点，此时四边形，为平行四边形，此时点点的纵坐标为，代入， 得：， 解得：或， 或， 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法是解题的关键． 类型四、相似三角形存在性 例．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，抛物线经过点和点，且其顶点为，点为抛物线与轴的另一个交点 (1)求抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点在抛物线上，若，求点的坐标． (4)连接，延长交轴于点，点是直线上的动点，如果与是相似三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据一次函数可以求出点和点坐标，把点和点坐标代入即可求出抛物线的表达式； （2）先利用（1）中所得到的抛物线的表达式求出点和顶点的坐标，再利用勾股定理分别求出、、的长度，再根据勾股定理逆定理可以证明是直角三角形，从而可以求出的正切值； （3）根据，再结合（2）的结论，可得出的正切值，可知满足的点在点的左侧，可以在轴的上方或下方，又点在抛物线上，可设出点的坐标，利用正切值的定义建立方程求解即可； （4）过点作交于点，首先设直线的解析式为，再将点和点的坐标代入解析式即可求出和的值，从而求出直线与轴的交点的坐标，从而确定的长度，再利用勾股定理求出和的长度，然后在中，根据，可求出的长，然后在和分别求出和的正弦值，从而确定，根据条件与是相似三角形，则点在点的右侧，然后分和两种情况进行讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于、两点， 当时，， 当时，， ∴，， ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）如图：∵， ∴，， 又∵，， ∴， ， ， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的正切值为． （3）如图：点在抛物线上，过点作交轴于点，设， ∴是直角三角形，， ∵， ∴点在点的左侧，且满足条件的点有两个， ∵ ∴， 解得：，（舍去），，（舍去）， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或． （4）过点作交于点，设抛物线的对称轴交轴于点，设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∵，，，， 在中， ，，， ∵， ∴， ∴， 在中， ，，， ∴， ∴， 若与是相似三角形，则点在点的右侧，又点在直线上，设（）， 在中， ， ， ， 有以下两种情况： ①，则， 即， 解得：， ∴ ∴； ②，则， 即， 解得， ∴ ∴． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题．考查了一次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理以及勾股定理逆定理、锐角三角函数、相似三角形的性质、分类讨论思想．灵活运用相关知识和分类讨论的思想方法是解决问题的关键． 【变式训练1】．．如图，抛物线W与x轴交于A(1，0)，M(﹣3，0)两点，交y轴于点B(0，3)，抛物线W关于y轴的对称图形为抛物线L． (1)求抛物线W的表达式； (2)如果E是点A关于原点的对称点，D是抛物线L的顶点，那么在x轴上是否存在点P，使得△PAD与△EBO是相似三角形？若存在，求出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3，过程见解析； (2)存在，点P的坐标为P1（，0）或P2（，0）或P3（﹣11，0）或P4（13，0），过程见解析． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出W的表达式； （2）根据（1）得出点E和点D的坐标，设出P的坐标为（m，0），根据相似三角形的性质求出m即可得出P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线W与x轴交于A（1，0），M（﹣3，0）两点， ∴设y＝a（x﹣1）（x+3），代入点B（0，3）， 得3＝a×（﹣1）×3，解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3； （2）解：存在符合条件的P点，如下图， 求解过程如下： 由（1）知W的顶点为（﹣1，4），得L的顶点D（1，4）， ∵E是点A关于原点的对称点，A（1，0）， ∴E（﹣1，0）， 综上可知，OE=1，BO=3，AD=4， 设P（m，0），则∠DAP＝∠BOE＝90°，AP=， 若△PAD∽△EBO， 则 ， 则 ，解得m＝或m＝， ∴P1（，0）或P2（，0）， 若△DPA∽△EBO， 则， 则 ，解得m＝13或﹣11， ∴P3（﹣11，0）或P4（13，0）， 综上，P的坐标为P1（，0）或P2（，0）或P3（﹣11，0）或P4（13，0）． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求二次函数的解析式，牢记相似三角形的性质． 【变式训练2】．．如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E． （1）求二次函数的解析式； （2）移动点P，求线段的最大值； （3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标． 【答案】（1）二次函数的解析式为：；（2）ED最大值为；（3）点P坐标为（0，0）或（，0）． 【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）先待定系数法求BC的函数解析式为：，过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点D作DG⊥EF于点G，证明△DFG～△BCO，再证△EDG∽△CAO，则DG=3k，EG=6k，ED=，ED=EF，要线段DE的最大，只要求EF的最大值．设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），然后表示出EF，结合最值的性质，即可得到答案； （3）△CPD与△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分两种情况讨论：①△DPC∽△DEF，易得P与O重合，点P坐标为（0，0）； ②△DCP∽△DEF先求tan∠DCP=tan∠ACO=，过点B作BQ⊥CB交CP于点Q，过点Q作QM⊥BO于点M，在Rt△CBQ中．，证明△OCB∽△MBQ，求出点Q坐标为（2，），用待定系数法求直线CQ的解析式为：y=+2，当y=0时，x=，即得点P坐标为（，0）． 【详解】解：（1）把点A（-1，0）点B（3，0）和点C（0，2）代入二次函数y=ax2+bx+c，得， ，解得，， ∴二次函数的解析式为：； （2）设BC的函数解析式为：y=mx+n， 把点C（0，2）和B（3，0）代入，得， ， 解得，， ∴BC的函数解析式为：， 过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点D作DG⊥EF于点G， ∴∠GFD=∠BCO， ∵∠BOC=∠DGF， ∴△DFG～△BCO， ∴， ∵AC∥EP，DG∥AO， ∴∠GDE=∠OAC， ∵∠COA=∠EGD=90°， ∴△EDG∽△CAO， ∴， 设GF=2k，则DG=3k，EG=6k， ∴ED=， ∴ED=EF， 要线段DE的最大，只要求EF的最大值． 设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，）， ∴EF= = =； 当时，EF最大=， ∴ED最大=EF=； （3）∵△CPD与△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分两种情况讨论： ①△DPC∽△DEF， ∴点C与点F对应，∠PCD=∠EFD， ∴CP∥EF，即P与O重合， ∴点P坐标为（0，0）； ②△DCP∽△DEF， ∴点E与点C重合， ∴∠DEF=∠PCD， ∵∠DEF=∠ACO， ∴∠DCP=∠ACO， ∴tan∠DCP=tan∠ACO=； 过点B作BQ⊥CB交CP于点Q，过点Q作QM⊥BO于点M， 在Rt△CBQ中，， ∵∠CBO+∠MBQ=90°，∠CBO+∠OCB=90°， ∴∠MBQ=∠OCB， ∵∠COB=∠BMQ， ∴△OCB∽△MBQ， ∴， ∴BM=OC=1，MQ=BO=， ∴点Q坐标为（2，）， 设CQ的关系为： ， 解得：， ∴直线CQ的解析式为：， 当y=0时，， ∴点P坐标为（，0）， 综上，点P坐标为（0，0）或（，0）； 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数待定系数法求关系式，三角形相似的判定与性质的综合运用，解题关键是熟练掌握所学的知识，熟练运用化斜为直的解题策略， 【变式训练3】．．已知：直角梯形中，，∠=，以为直径的圆交于点、，连接、、． (1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形： _____________________，______________________ ； (2)直角梯形中，以为坐标原点，在轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点、、，且为抛物线的顶点． ①写出顶点的坐标（用含的代数式表示）___________； ②求抛物线的解析式； ③在轴下方的抛物线上是否存在这样的点，过点作⊥轴于点，使得以点、A、为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)△∽△，△∽△； (2)①（1，）；②抛物线的解析式为： ；③当时，点为（，）、（，），当时，两个点不存在． 【分析】（1）根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证得△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB； （2）①先根据抛物线的对称轴确定出点B的横坐标为1，代入函数关系式即可得出点B的纵坐标-4a，所以B（1，-4a），②令y=0，可先确定出点A的坐标，然后利用△OAD∽△CDB，和抛物线的开口方向确定出a的值即可；③设点P（x，y），分点P在对称轴左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形的性质和抛物线解析式解答即可． 【详解】（1）解：△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB， 故答案为△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB； （2）①（1，-4a）， ②∵ax2-2ax-3a=0，可得A（3，0）， ∵△OAD∽△CDB， ∴， 又OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴，故抛物线的解析式为：； ③当点P在对称轴左侧时如图： ∵， ∴点B为（1，4），点D为（0，3），又A（3，0）， ∴， ∵为圆M的直径， ∴∠ADB=90°， 设点P坐标为（x，y）， ∴PN=-y，AN=3-x， 当△APN∽△ABD时，， ∴， ∴3y=x-3，又， ∴， 解得x=或x=3（不合题意舍去）， ∴y=， ∴点P为（，）； 当△PAN∽△ABD时，， ∴， ∴y=3x-9， 又， ∴， 解得x=-4或x=3（不合题意舍去）， ∴y=-21， ∴点P为（-4，-21）； 当点P在对称轴右侧时如图：同理可得：△APN∽△ABD时，x=或3，都不合题意，或者△PAN∽△ABD时，x=2或3，都不合题意，即当时两个点不存在． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆的基本性质以及二次函数的性质，熟练掌握相似三角形以以圆的性质是解题的关键． 1．如图，平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，点P为抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1时，求出m的值； (4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为1； (3)或； (4)点E的坐标为或. 【分析】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点P的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论； （3）根据（2）的结论结合函数图象，从而确定m的值； （4）设，而、，，，，再利用勾股定理建立方程求解即可. 【详解】（1）解：把点、代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，， 点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称， 点， ，点到的距离为1， ， 的面积为1； （3）解：由（1）知，点到的距离为1， 此时点，， ∴当或时，该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1； （4）解：如图，∵， ∴对称轴为直线， 设，而、， ∴，，， ∵为斜边， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或. 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、轴对称的性质等知识；会利用待定系数法求函数解析式；二次函数与特殊三角形，关键是根据已知条件讨论点P的位置． 2．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； (3)若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积有最大值32，此时 (3)存在，M点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，所以四边形面积，可得当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）先求出，设，分别求出，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可． 【详解】（1）解：将点、代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 把代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ， ， ∴四边形面积， ∵点P在直线上方， ， ∴当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当时，， ， 设， ， ①当为斜边时，， 解得， （舍）； ②当为斜边时，， 解得， ； ③当为斜边时，， 解得或， 或（舍）； 综上所述：M点坐标为或． 3．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在， 【分析】（1）在直线中，分别令和，即可求得、两点坐标； （2）由、的长可求得，用可表示出，，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知只能是，又，由（）可知又由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于的方程，可求得的值，进一步可求得点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：在直线中， 令得， 解得： 令得， ∴， （2）解：由（1）可知， ， 运动时间为秒， 轴， 在中，，， 在中，，， ， ； （3）解：存在． 轴， ， 点不能在抛物线的对称轴上， ， 当为直角三角形时，则有， 又， ， ，， ，且 ， 解得： 即当的值为秒时，为直角三角形， 此时 ∴ ∵抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把点坐标代入得： 解得：， ∴抛物线的解析式为， 即． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；综合运用以上知识是解题的关键． 4．如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据题意求出点，将点和点代入即可求解； （2）过点作轴，设点，则，根据即可求解； （3）分类讨论时、时、时即可求解； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ∴点 将点和点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：过点作轴，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大； （3）解：设点， 时， 解得： ∴； 时， 解得：或 ∴或； 时， 解得： ∴； 综上所述，或或或 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形问题，掌握二次函数的函数与性质是解题关键． 5．如图，已知抛物线与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点，顶点为D． (1)求出该抛物线的表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点M坐标为或或或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，设，求解，可得，，，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当， 解得：，， ∴， ∴，， ， 如图， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴即， 解得：， ∴或， 综上：点M坐标为或或或 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A的坐标是，P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在第二象限内，且，求的面积． (3)在（2）的条件下，若M为直线上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点M坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式，分别表示出，根据和三角形面积公式求解即可； （3）分情况讨论：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线，则点， 则函数的表达式为：， 把代入得：，解得：， 故抛物线的表达式为： ； （2）设直线的表达式为： 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：，解得： 直线的表达式为：，则，则， 设点，则点，点， ∵， ∴， 解得：（舍）或， 即点 ； （3）由题意得：是以为腰的等腰三角形， ①当时，过点M作轴于点H， ， 则， 则 故点； ②如图， 当时，过点D作于H， ∴， 在中，， ∴， 过点M作轴于G， ， ， ∴ 点M（，）； 故点M坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合题，解题的关键要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的关系解析式； (2)点p是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，使面积最大 (3)存在， 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）设点P坐标为，连接，作轴于M，轴于N．根据，最后利用二次函数的性质求解即可． （3）假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况①若平行于x轴，②若不平行于x轴，分别画出图形，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将，两点带入可得： 解得： ∴二次函数解析式为； （2）设点P坐标为，如图连接，作轴于M，轴于N． ，，． 当时，， ∴ ∴ ， ∵， ∴函数有最大值，当时，有最大值， 此时； ∴存在点，使面积最大． （3）存在， 假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形 ①若平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点 此时 ∵轴， ∴点M、点关于对称轴对称， ∴， ∴．由， ∵ ∴； ②若不平行于x轴，如下图，过点M作轴于点G， 则 ∵，且， ∴， ∴， ∴，，即． 设， 则有， 解得：． 又， ∴， ∴， 综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，Q点坐标为： ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数求三角形面积的最值， 二次函数和四边形的综合问题，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 8．综合与探究 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，S有最大值，S的最大值为 (3)存在，点M的坐标为或 或 【分析】（1）将点A、B坐标直接代入函数解析式即可得出答案； （2）过点P作x轴的垂线交线段于Q，再根据，根据二次函数的性质即可得答案； （3）分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别求解即可得答案． 【详解】（1）将点代入得， ，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点Q， 如图，抛物线与y轴交点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∴当时，S有最大值，S的最大值为； （3）存在． ①如图2，当四边形 为平行四边形时，． ∵抛物线的对称轴为直线，点． ∴点； ②如图3，当四边形为平行四边形时，过点M作轴于点Q． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设点， ∴，解得，， ∴点 或， 综上所述，点M的坐标为或 或 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 9．如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的面积等于的面积的时，求的值； (3)在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)点的坐标为或或，或，． 【分析】（1）由题意得出方程组，解方程组即可； （2）过点作轴于，交于，过点作交的延长线于，求出点的坐标为，由待定系数法求出直线的函数表达式为，则点的坐标为，点的坐标为，求出，解方程即可； （3）求出点的坐标为，分三种情况，①当为对角线时，证出轴，则点与点关于直线对称，得出求出，即可得出答案； ②当为对角线时，由①得，，由平行四边形的性质得出，进而得出答案； ③当为对角线时，点与点的纵坐标互为相反数，，或，，再分两种情况解答即可． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）过点作轴于，交于，过点作交的延长线于，如图1所示： 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 当时，， 解得：，， 点的坐标为， 设直线的函数表达式为：， 则， 解得：， 直线的函数表达式为：， 点的横坐标为， 点的坐标为：， 点的坐标为：， ，，， ， ， 解得：（不合题意舍去），， 的值为3； （3）由（2）得：，， 点的坐标为：， 分三种情况讨论： 当为对角线时，如图2所示： 四边形是平行四边形， ， 轴， 点与点关于直线对称， ， ， ， ， ； ②当为对角线时，如图3所示： 由①得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ； ③当为对角线时， 四边形是平行四边形， ，， ， 点与点的纵坐标互为相反数， 点， 点的纵坐标为：， 将代入中， 得：， 解得：，， 当时，如图4所示： 则，， 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，； 当时，如图5所示： 则，， 同理得点，； 综上所述，点的坐标为或或，或，． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 10．如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②当点为顶点的四边形是正方形时，或 【分析】（1）运用待定系数法把把点代入抛物线即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，令时，解一元二次方程即可； （3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当是正方形的边；当是正方形的对角线；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在，当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：①∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是抛物线的一点，且横坐标为， ∴， ∴， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴； ②设直线的解析式为， 把代入中得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在直线的图象上，且点的横坐标为， ∴， 由①得，，点， ∴， 设， ∵点的纵坐标相同， ∴轴，， 当为正方形的边时，，则点与点重合，点与点重合，或是点与点重合，点与点重合，如图所示， ∴， 解得，； 当为正方形的对角线时，连接，交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形，则， ∴， 解得，； 综上所述，当点为顶点的四边形是正方形时，或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$