精品解析：广东省惠州市综合高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷（B）

广东省惠州市综合高级中学2024-2025学年第一学期 高二年级9月月考数学试卷（B） 分值：150分 考试时间：120分钟 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，互为相反向量，则 C. 空间中两平行向量相等 D. 在四边形ABCD中， 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D. 【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 2. 若向量则，的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式计算即得. 【详解】向量，则， ， 所以，的夹角的余弦值为. 故选：C 3. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 【答案】D 【解析】 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 4. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 5. 已知，，且，则的值为（    ） A. 6 B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案. 【详解】因为，所以， 解得， 故选：C. 6. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】连接BD，E为PD的中点， ． 故选：C． 7. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 8. 在空间中，已知平面的一个法向量和平面上一点，平面上任意一点的坐标满足的关系式为．则该方程称为这个平面的方程，若两平面的方程分别为和，则这两平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定两个平面的法向量，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为两个平面的方程为和， 由题意可得，两个平面的法向量分别为， 故两平面夹角的余弦值为. 故选：D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（ ） A. 点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4) B. 点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3) C. 点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5) D. 两点间的距离为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合空间直角坐标系的对称关系可判断A，B，C；结合两点间距离公式可求D. 【详解】点关于x轴的对称点的坐标为，故A错误； 点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确； 关于原点的对称的点的坐标为，故C正确； 两点间的距离为，故D正确. 故选：BCD 10. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系. 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 11. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A由线面平行的判定定理可证；选项B由线面垂直可证线线垂直；选项CD可由空间向量法可得. 【详解】选项A： 如图连接交于，连接， 由题意可知为的中点，又为的中点，故， 又平面，平面，故平面，故A正确； 选项B：由题意为等边三角形，为的中点， 故, 又棱柱为直三棱柱，故， 又，平面，平面， 故平面，又平面，故，故B正确； 选项C： 如图建立空间直角坐标系，则，，， 因，故， 所以，， 设异面直线与所成角为，则 故C错误； 选项D：由题意平面的一个法向量为， ，，， 设平面的法向量为，则 ，即，设，则，， 故， 设平面与平面的夹角为，则， 故， 故，故D正确， 故选：ABD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的距离公式，即可求解. 【详解】由点和，可得， 又由平面的一个法向量为，所以点B到平面PAD的距离为. 故答案为：. 13. 向量，，，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示求出x，y，再利用坐标求出向量的模作答. 【详解】因，，而，则有，解得，即 又，且，则有，解得，即， 于是得，， 所以. 故答案为： 14. 在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设正方体中棱长为3， 以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 设异面直线与所成角为，则. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分，13+15+15+17+17） 15. 已知向量， （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解； (2)由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ，， ，， ， 令与的夹角为， 则， 则与的夹角为. 【小问2详解】 ，， 又与垂直，， 即，解得. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. （1）试用表示向量； （2）求BM的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理用基底表示；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算. 【小问1详解】 【小问2详解】 ，所以，则BM的长为. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. （1）证明： （2）求点到平面的距离 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求出答案. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 则， ， 所以，即. 【小问2详解】 设平面的法向量为， ， 则， 令，则，故， 点到平面的距离为. 18. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为BC的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面AEF的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可； （2）建立坐标系，求出两个平面的法向量即可求得两平面所成二面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：取的中点O，连接,， ∵，，∴且， ∵，，∴，且, ∴四边形是平行四边形，∴， ∵，平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 因为，，两两垂直， 故以为原点，,,分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系， 各点坐标如下：，，，， ，，， 设平面的法向量为，由，， 有，取，，， 可得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 由，， 有，取，，， 可得平面的一个法向量为， 有，，， 可得， 故平面与平面AEF的夹角的余弦值为． 19. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在； 【解析】 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州市综合高级中学2024-2025学年第一学期 高二年级9月月考数学试卷（B） 分值：150分 考试时间：120分钟 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，互为相反向量，则 C. 空间中两平行向量相等 D. 在四边形ABCD中， 2. 若向量则，的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 4. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知，，且，则的值为（    ） A. 6 B. C. 12 D. 14 6. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 7. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 在空间中，已知平面的一个法向量和平面上一点，平面上任意一点的坐标满足的关系式为．则该方程称为这个平面的方程，若两平面的方程分别为和，则这两平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（ ） A. 点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4) B. 点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3) C. 点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5) D. 两点间的距离为3 10. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的正切值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为______________. 13. 向量，，，且，，则______. 14. 在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为__________ 四､解答题（本题共5小题，共77分，13+15+15+17+17） 15. 已知向量， （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数t的值． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. （1）试用表示向量； （2）求BM的长. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. （1）证明： （2）求点到平面的距离 18. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为BC的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面AEF的夹角的余弦值． 19. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $