特训04 九月学习成果汇总（第1-2章解答题）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

特训04 九月学习成果汇总（第1-2章解答题） 二、解答题 1．已知全集为，集合，或求： (1) (2) (3) (4) 2．已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 3．已知集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值集合． 4．设全集为R，集合 (1)分别求； (2)已知，若，求实数a的取值范围 5．已知集合，． (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 6．已知集合． (1)若， 求; (2)若中只有一个元素， 求的取值集合． 7．已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 8．设，已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 9．设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 10．已知命题“，方程有实根”是真命题. (1)求实数的取值集合A； (2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 11．设集合，. (1)当时，求，； (2)记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合. 12．解下列不等式 (1) (2) 13．解下列不等式 (1)； (2) 14．已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 15．求下列不等式的解集： (1)关于x的不等式的解集是，求不等式的解集． (2)． (3)． 16．设函数. (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)当时，，，，求的最小值. 17．若，且 (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 18．（1）已知且，试比较与的大小； （2）已知且，且，求证：. 19．求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值. 20．完成下列不等式的证明： (1)对任意的正实数，，，证明：； (2)设，，为正实数，且，证明：. 21．已知命题；命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 22．（1）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． （2）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 23．已知函数. (1)若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围； (2)已知集合，，若，求的取值范围. 24．若关于的不等式的解集为. (1)当时，求的值； (2)若，，求的值，并求的最小值. 25．已知集合. (1)当时，求； (2)在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的m存在，求出m的取值范围；若问题中的m不存在，请说明理由. 问题：是否存在正实数m，使得“”是“”的__________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 26．已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 27．2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 28．夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 29．完成下列各题：    (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值． (2)如图（2），某学校要在长为8m，宽为6m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪．若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 30．某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 31．在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 32．已知：实数满足：实数满足. (1)若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 33．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式； (3)当时，不等式有解，求实数的取值范围. 34．设实数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则． (1)求证：若，则； (2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 35．若任意满足（），都有不等式恒成立，则称该不等式为“不等式” (1)已知不等式为“不等式”，求m的取值范围； (2)判断不等式是否为“不等式”，并说明理由； (3)若，，，证明：不等式是“不等式”. 36．设是非空实数集，满足若，则，且. (1)若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素； (2)集合是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 九月学习成果汇总（第1-2章解答题） 二、解答题 1．已知全集为，集合，或求： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)或 (3) (4) 【分析】（1）由交集定义计算； （2）先求的补集，再求交集； （3）先求的补集，再求交集； （4）先求并集，再求补集． 【解析】（1）由全集为，，或， 得； （2）或， 或； （3）或，， ， （4）或，． 2．已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出方程，进而求出. （2）利用集合的包含关系求出，进而求出集合. 【解析】（1）由，得或， 而，则是方程的二根， 所以. （2）由（1）知，，由，得或或， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 3．已知集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值集合． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的交集与并集的计算规律计算即可； （2）先判断，然后因为，建立不等式求解即可. 【解析】（1）因为， 所以， （2）因为，所以 当，可知 所以实数a的取值集合为 4．设全集为R，集合 (1)分别求； (2)已知，若，求实数a的取值范围 【答案】(1)，或或 (2) 【分析】（1）利用交集，并集和补集的概念求出答案； （2）根据并集结果得到，从而得到不等式，求出答案. 【解析】（1）， 或， 或或或； （2），， ，显然， 则，解得， 故实数a的取值范围是 5．已知集合，． (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）由题意得是的真子集，再根据集合的包含关系求解，注意为空集的情况． 【解析】（1）时，，则， 或，所以； （2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 若，即，则满足题意， 若，则，此时且两等号不能同时取得，解得， 所以， 综上的取值范围是或． 6．已知集合． (1)若， 求; (2)若中只有一个元素， 求的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，根据并集概念求出答案； （2）分和两种情况，得到答案. 【解析】（1）时，， 因为，所以方程无实数根， 所以． 故． （2）当时，，得，此时； 当时，，得，此时． 故的取值集合为． 7．已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可. 【解析】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 8．设，已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先解一元二次不等式、分式不等式将集合化简，结合并集的概念即可得解. （2）由题意首先得到，进一步将问题转换为，二次不等式恒成立，故，由此即可得解. 【解析】（1）由题意当时，，， 所以此时. （2）由题意若“”是“”的必要条件，则当且仅当， 而由（1）可知， 因此原问题等价于，二次不等式恒成立， 即在上恒成立，在上恒成立， 故只需即可， 而在上单调递减，所以， 综上所述，的取值范围为. 9．设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据判别式即可求解， （2）分类即可求解. 【解析】（1）若命题为真命题， 则， 解得， 所以实数的取值范围为. （2）若命题为真命题，解得， 当真假时，，得； 当假真时，，得； 综上所述，实数的取值范围为或. 10．已知命题“，方程有实根”是真命题. (1)求实数的取值集合A； (2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，运算求解即可； （2）由题意可知：集合是集合A的真子集，分和两种情况，结合包含关系列式求解. 【解析】（1）由题可知：，解得， 所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合A的真子集， ①当时，，即，满足题意； ②当时，，即，满足题意； 综上所述：的取值范围为. 11．设集合，. (1)当时，求，； (2)记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意求出集合中方程的解，由中的元素根据交集、并集运算即可求解； （2）由题意得中的元素只有3个，由中的元素即可得到的取值. 【解析】（1）当时，， ，即，解得或，， ，. （2）若集合的真子集有7个，则，可得， 即中的元素只有3个， 而，解得或，则， 由（1）知， 则当时，， 故所有实数的取值所构成的集合为. 12．解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式运算求解； （2）分、和三种情况，结合一元二次不等式运算求解. 【解析】（1）因为，即， 注意到，所以不等式的解集为. （2）因为，即， 令，解得或， 若，即，所以不等式的解集为； 若，即，所以不等式的解集为； 若，即，所以不等式的解集为； 综上所述：若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为. 13．解下列不等式 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理可得，结合一元二次不等式解法分析求解； （2）整理可得，结合一元二次不等式解法分析求解. 【解析】（1）因为，整理可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）因为，整理可得， 解得或，所以不等式的解集为. 14．已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可； （2）代入参数，解一元二次不等式即可. 【解析】（1）关于的不等式的解集为或， ∴，且和4是方程的两实数根， 由根与系数的关系知，，解得； （2）由（1）知，时， 不等式为， ∴不等式的解集是. 15．求下列不等式的解集： (1)关于x的不等式的解集是，求不等式的解集． (2)． (3)． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）结合一元二次方程与一元二次不等式的关系可得的关系及范围，然后结合一元二次不等式的求法即可求解. （2）由已知可得，可得，求解即可； （3）因式分解可得，结合数的乘法运算的符号法则可得结论. 【解析】（1）因为不等式的解集是， 所以和2是方程的两个根，且， 由韦达定理可得，，解得， 所以不等式，可化为， 又，不等式化为，解得， 即不等式的解集为. （2）因为，所以，即， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为解得或， （3）因式分解得， 结合符号运算可得不等式的解集为. 16．设函数. (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)当时，，，，求的最小值. 【答案】(1)， (2)9 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值. （2）由题意，求得，利用基本不等式，即可求出的最小值. 【解析】（1）由题意知，和3是方程的两根， 所以，， 解得，. （2）由，知， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 17．若，且 (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 【答案】(1)； (2)时，取最小值为 【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可得出的最小值； （2）利用条件等式，得到，进而有，利用基本不等式可得答案. 【解析】（1），，，得，解得，明显可得， 的取值范围为 （2）由得，，结合得 ， 当且仅当时，等式成立，解得，， 即当时，取最小值为 18．（1）已知且，试比较与的大小； （2）已知且，且，求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法，结合配方，分解因式即可比较； （2）展开利用基本不等式的性质即可得出． 【解析】（1）因为，，所以，，， 由题意， 所以（当且仅当时取等号）． （2）证明：，是正数，且， ， 当且仅当时取等号， 成立． 19．求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值. 【答案】(1)5 (2)18 (3)4 【分析】（1）变形后利用基本不等式求出最小值； （2）化简得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值； （3）利用两次基本不等式求出最值. 【解析】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5； （2），，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为18； （3）， ，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 的最小值为4. 20．完成下列不等式的证明： (1)对任意的正实数，，，证明：； (2)设，，为正实数，且，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由基本不等式得到，相加后得到答案； （2）由基本不等式得到，相加后得到答案. 【解析】（1）由基本不等式可得， 所以， 即 当且仅当时取等； （2）因为 所以，即， 因为 所以， 所以，当且仅当时取等 21．已知命题；命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由判别式即可求解； （2）分别求出为真命题时的范围，再分两种情况讨论即可； 【解析】（1）由题意可得， 解得或， （2）命题为真时， 若，代入可得成立； 当时，， 所以命题为真时，， 结合题意当真假时，； 当假真时，，解得或； 当两个命题同时为真时，， 所以，命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为或. 22．（1）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． （2）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）记命题，命题或，因为是的必要不充分条件，所以，据此列出不等式求解即可； （2）由题可知和是方程的两根，据此求出，然后代入，根据一元二次不等式的解法求解即可. 【解析】（1）命题， 命题或， 是的必要不充分条件， ∴，或， 又， 故实数的取值范围是． （2）依题意有和是方程的两根，且， 则有，解得， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 23．已知函数. (1)若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围； (2)已知集合，，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）时函数为一次函数，可判断不符合题意，时，进而可得； （2）将问题转化为使得有解，法1：转化为求在上的值域，进而可得；法2：求出方程的根，利用根的范围求解参数范围. 【解析】（1）①，，不符合题意（舍） ， ②，（i）时，不恒在x轴上方(舍)， （ii），若函数的图象恒在轴上方， 则，即， 综上所述：实数的取值范围为； （2）法1：使得有解， ，， 令，令，则，， 其对称轴为，故函数在上单调递增，故， 故实数的取值范围为. 法2：①时，（舍）； ②时，，，， 正根，解得. ③时，过，对称轴， 所以在内与轴无交点（舍）. 综上可知实数的取值范围为. 24．若关于的不等式的解集为. (1)当时，求的值； (2)若，，求的值，并求的最小值. 【答案】(1) (2)，的最小值为. 【分析】（1）由方程有两个实数根即可得，再代入通分后的式子即可得解. （2）由不等式的解集为和、可得，进而可求得和求解，从而结合基本不等式即可求解的最小值. 【解析】（1）由题意，关于的方程有两个根，， 所以，故. （2）由题意，关于方程有两个正根， 且由韦达定理知，解得， 所以， 所以， 又，，故、， 所以，当且仅当即时等号成立， 结合得即，时取等号. 此时实数符合条件， 故，且当时，取得最小值. 25．已知集合. (1)当时，求； (2)在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的m存在，求出m的取值范围；若问题中的m不存在，请说明理由. 问题：是否存在正实数m，使得“”是“”的__________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求解集合再根据交集定义即可求解. （2）先由（1）得求解后的集合，若选①则有，接着列出不等式组求解即可；若选②则有，接着按和求解即可. 【解析】（1）由题， 当时，，当时，， 所以当时，， 故. （2）由（1）；当时，，当时，， 若选择①充分条件，则有，则，解得. 所以存在正实数m，使得“”是“”的充分条件，m的取值范围为. 若选择②必要条件，则有， 则或，解得， 所以不存在正实数m，使得“”是“”的必要条件. 26．已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解； （2）当时，，即，因式分解，对进行讨论，可得解集； （3）转化为恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围． 【解析】（1）当时，由，得到，所以，不合题意， 当时，由，得到，解得， 所以实数的取值范围为. （2）当时，，即， 可得，因为， ①当时，即，不等式的解集为 ②当时，，因为， 所以不等式的解集为 ③当时，．又， 所以不等式的解集为, 综上：，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． （3）由题对任意，不等式恒成立． 即，因为时，恒成立． 可得，设，则，所以， 可得 因为，当且仅当是取等号． 所以，当且仅当是取等号． 故得m的取值范围． 27．2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【解析】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 28．夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 【答案】(1)2450元 (2)元/件 【分析】（1）表达出，配方后得到最大值； （2）表达出A与的总利润为，从而得到不等式，求出A售价的最小值. 【解析】（1）由题意得，每件短袖补衫A的利润为（元）， 所以 ， 当时，取到最大值，最大值为2450元． （2）设A与的总利润为（单位：元）， 则， 得，得． 故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件． 29．完成下列各题：    (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值． (2)如图（2），某学校要在长为8m，宽为6m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪．若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】(1)长与宽分别是6m和4m时，彩带总长最小，彩带总长的最小值为48m (2) 【分析】（1）设每个区域的长与宽分别是和，由题意可得，结合基本不等式即可进一步求解； （2）设花卉带的宽度为，由题意列出一元二次不等式即可求解. 【解析】（1）设每个区域的长与宽分别是和， 由题意可得，则彩带的总长， 当且仅当，即且时，彩带的总长最小． 所以每个区域的长与宽分别是6m和4m时，彩带总长最小，彩带总长的最小值为48m； （2）设花卉带的宽度为，由题意可得， 即，即有，解得或， 由实际意义可得，所以中间草坪的面积大于总面积的一半， 则花卉带的宽度x的取值范围是． 30．某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出售价降低x成商品售价和售出商品数量即可求该商品一天的营业额，再结合售价不能低于成本价求出变量的取值范围即可得y与x之间的函数关系式. （2）由（1）可得该商品一天的营业额和变量的取值范围，再结合已知条件列出不等式求解即可得解. 【解析】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件， 售出商品数量为件， 所以该商品一天的营业额为， 又售价不能低于成本价，所以，解得， 所以. （2）由（1）商品一天的营业额为， 令，化简得， 解得，又， 所以x的取值范围为． 31．在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围. （2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值. 【解析】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 32．已知：实数满足：实数满足. (1)若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意解一元二次不等式得命题，结合命题真假确定取值范围； （2）利用充分条件、必要条件的定义解不等式即可. 【解析】（1）：实数满足，解得. 当时，，解得， 和至少有一个为真命题，， 实数的取值范围为. （2）由，解得， 即 是的充分不必要条件， （等号不同时取）， ， 又， 故实数的取值范围为 33．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式； (3)当时，不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）分为，以及讨论，根据解集列出不等式组，求解即可得出答案； （2）原不等式可化为．先求解的解集，进而解出时，得出的解集．然后分为与，结合的范围得出两根的大小关系，进而得出答案； （3）不等式转化为，分离参数得出，换元，整理得出，进而根据基本不等式，得出，即可得出范围． 【解析】（1）①当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； ②当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 则应有， 即，解得． 综上，的取值范围是． （2）由已知可得， 即，即． 当时，即时，不等式化为，解得； 当时，有， 解方程，可得或． ①当，又可得时，即时，有， 则解不等式可得，或； ②当，即时有， 解不等式可得，． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）不等式，即， 即． 由恒成立，则在时有解， 设，时有， ， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，实数的取值范围为. 34．设实数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则． (1)求证：若，则； (2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 【答案】(1)证明见解析； (2)集合中必含有两个元素； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据集合中元素的性质，循环迭代即可得出证明； （2）由可得，由可得，由可得，由此可知会循环出现三个数，所以集合S中必含有两个元素； （3）设,且,则，，令及即可证明. 【解析】（1）若，则,与矛盾，故. 因为，所以，由，则， 可得，即， 故若，则. （2）由，得； 由，得； 而当时，，…， 因此当时，集合中必含有两个元素. （3）设,由（1）且, 则，. 令，化简可得, 因为, 所以方程无解，即. 令，化简可得， 同理无解，即， 所以集合中至少有三个不同的元素． 35．若任意满足（），都有不等式恒成立，则称该不等式为“不等式” (1)已知不等式为“不等式”，求m的取值范围； (2)判断不等式是否为“不等式”，并说明理由； (3)若，，，证明：不等式是“不等式”. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意判断在上恒成立即可； （2）当时即可判断； （3）判断最小值，最大值都大于0即可. 【解析】（1）由及，得. 因为，所以. （2）不是“不等式”. 理由如下： （方法一）二次函数图象的对称轴为直线， 当时，二次函数取得最小值，且最小值为， 所以不是“不等式”. （方法二）由，得， 解得. 因为，所以对不恒成立， 所以不是“不等式”. （3）证明：由题意得， ①当时，，则，符合题意. ②当时，，研究二次函数的图象， 该二次函数图象的对称轴为直线， 则当时，二次函数取得最小值，且最小值为，符合题意. ③当时，，由二次函数的图象可知， 当或时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，. 故是“不等式”. 36．设是非空实数集，满足若，则，且. (1)若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素； (2)集合是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由. 【答案】(1)两个， (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）若中只有一个元素，则，该方程无解，即可得到答案. 【解析】（1）由于，则， 因此，. 于是，所以中至少还有两个元素：. （2）若，则，且中只有一个元素，所以，即，，该方程在实数范围内无解，所以中不能只含有一个元素. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$