专题02 不等式的综合问题（恒成立、有解、最值等问题）（期末专项训练，10大题型56题）高一数学上学期人教A版

专题02 不等式的综合问题（恒成立、有解、最值等问题） 题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型6 恒成立问题（重点） 题型2 解不含参数的一元二次不等式（常考点） 题型7 有解问题（常考点） 题型3 解含参数的一元二次不等式（重点） 题型8 整数解问题 题型4 解分式不等式 题型9 最值问题（常考点） 题型5 一元二次方程根的分布问题 题型10 实际应用（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确（共5小题） 1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知可得，然后根据不等式的性质，以及赋值法即可判断各项的正误. 【详解】因为，所以，所以，故A错误； 因为，所以，又，所以， 所以，所以，故B正确； 当时，，故C错误； 因为，且，所以，所以， 又，所以，所以，故D错误． 故选：B. 2．（24-25高一上·北京丰台·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】AC可举出反例；B选项，由不等式性质判断正确；D选项，作差法比较大小. 【详解】A选项，不妨设，满足，但，A错误； B选项，，由不等式性质得，B正确； C选项，不妨设，此时满足，但，C错误； D选项，， 因为，所以，但不确定的正负，若，则， 若，则，若，则，D错误. 故选：B 3．（24-25高一上·河南商丘·期末）（多选）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】取特殊值判断A选项和D选项，由不等式的性质判断B选项，由作差法判断C选项. 【详解】当，时，满足，但是，故A错误； 因为，所以，又，所以，故B正确； 因为，又，所以，，所以，即，故C正确； 当，，，时，满足，，但是，故D错误. 故选：BC. 4．（24-25高一上·山西·期末）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由不等式的性质结合已知可得A正确、B正确；作差可得C错误；举反例可得D错误； 【详解】对于A，因为，两边同乘以，因为，所以由不等式的性质，得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，由不等式的性质，得，所以，故B正确； 对于C，，由题意知，且，所以，所以，故C错误； 对于D，取，此时，故D错误． 故选：AB． 5．（24-25高一上·河北邯郸·期末）（多选）下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】作差比较即可判断A的正误，时即可判断B的正误，根据不等式的性质即可判断C的正误，用和表示即可判断D的正误． 【详解】，， ，，A正确； 时，，B错误； ，，C正确； ， 且，， 则，D正确． 故选：. 题型二 解不含参数的一元二次不等式（共5小题） 6．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出两个集合的解集，再根据集合的运算可求出结果. 【详解】对于不等式，解得， 所以， 对于不等式，即，解得， 所以， 所以. 故选：B. 7．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式，根据交集运算求解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 8．（24-25高一上·河北唐山·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用三个二次的关系推得方程有两根为和4，由韦达定理求出，代入所求不等式，求解即得. 【详解】由题意，方程有两根为和4， 故由韦达定理，，解得， 则不等式即，解得或. 故选：D. 9．（24-25高一上·云南大理·期末）若关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理求得，，再代入不等式，即可求解. 【详解】∵关于的一元二次不等式的解集是或， ∴，2是一元二次方程的两个实数根， ∴由韦达定理得：，，即，， 不等式化为，即，解得， ∴不等式的解集为. 故选：D. 10．（24-25高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的解集得出关系，再解分式不等式即可. 【详解】由不等式的解集为， 可得，，即， 所以不等式可化为，即， 所以可得，解得或， 所以不等式的解集为， 故选：C 题型三 解含参数的一元二次不等式（共5小题） 11．（24-25高一上·贵州黔西·期末）解下列关于x的不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由指数、对数函数的单调性得到，求解即可； （2）因式分解，讨论两根大小即可求解； 【详解】（1） 等价于， 等价于， 等价于且， 由可得：，即，即， 由可得：，即，或， 所以， 所以的解集为： （2）， 等价于， 当时，即，不等式的解集为， 当时，即，不等式的解集为， 当时，即，不等式的解集为， 综上：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 12．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由一元二次不等式的求法即可求解； （2）通过，，，，分类讨论即可； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，可得， 即， 解得或， 即解集为； （2）由不等式 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的值为. 13．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式恒成立，讨论a是否为0，即可求得答案. （2）分三种情况讨论，结合一元二次方程两根的大小比较，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知不等式的解集为R，即对于任意实数恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，要使得对于任意实数恒成立， 需满足，解得， 综合可知实数a的取值范围； （2）不等式，即，即， 即； 当时，不等式即，解得； 当时，，解，得， 当时，，不等式即，解得或 当时，，不等式即，则； 当时，，不等式即，解得或， 综合上述，可得： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 14．（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，设，，若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）根据题意，利用含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （2）根据题意，转化为不等式在上恒成立，结合二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式， 若，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 若，不等式可化为，即， 此时方程的两根分别为， 当时，不等式即为，解得，解集为； 当时，不等式即为， 若，可得，解得或，不等式的解集为或； 若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为； 若，可得，解得或，不等式的解集为或， 综上可得： 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （2）解：由不等式，可得，即， 因为时，集合，且， 所以不等式在上恒成立， 设， 则满足，解得， 即实数的取值范围为. 15．（24-25高一上·湖北·期末）已知关于实数的函数． (1)若的解集为，求的值； (2)解关于实数的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由不等式的解集求得参数值； （2）根据一元二次函数的性质分类讨论解不等式． 【详解】（1）若的解集为，则，， ，， ∴； （2）整理可得，配方得 分以下情况讨论： 1．时，，解得或 2．时，，解得 3．时，，解得或 综上所述：当时解集为；当时解集为；当时解集为 题型四 解分式不等式（共5小题） 16．（24-25高一上·北京延庆·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】移项通分后转化一元二次不等式即可求解. 【详解】原不等式即为即，故， 故， 故选：D. 17．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知，若，，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式求出命题、，再根据充分不必要条件定义判断可得答案. 【详解】由得，解得，则， 由得，则， 所以若成立，则成立， 但成立，但不一定成立， 则是的充分不必要条件. 故选：B. 18．（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】不等式等价于，解得或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 19．（24-25高一上·广东深圳·期末）设不等式的解集为，则 ． 【答案】1 【分析】把分式不等式转化为整式不等式，然后求解． 【详解】原不等式可化为, 即，所以，解得， 所以，. 故答案为：1 20．（24-25高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用分式不等式解法即可求得结果. 【详解】等价于，即， 得到,解得：， 故不等式的解集为. 故答案为： 题型五 一元二次方程根的分布问题（共5小题） 21．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可； 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 22．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案. 【详解】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 结合选项知，只有， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 故选：C 23．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】B 【分析】由判断A；利用方程对应函数的性质列不等式组求参数范围，结合充分、必要性定义判断B、C、D. 【详解】A：由题设，显然无解，错； B：若方程无实根，则，即， 所以是方程无实数根的充分不必要条件，对； C：令，要使方程有两个正根， 所以，可得，故不是充要条件，错； D：同C分析， ，可得，故不是充要条件，错. 故选：B 24．（25-26高一上·陕西·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 25．（25-26高一上·广西河池·月考）已知是关于的方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求的最小值； (3)若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 【答案】(1)－1． (2)3． (3)． 【分析】（1）利用韦达定理进行求解； （2）先求出，再由基本不等式求解； （3）由进行求解． 【详解】（1）由，可得， 因为， 所以， 解得或－7（舍去），故的值为－1． （2）当时，， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． （3）因为是两个不相等的正数，所以 解得，所以或， 所以实数的取值范围是． 题型六 恒成立问题（共8小题） 26．（24-25高一上·浙江宁波·期末）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【详解】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 27．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为：. 28．（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 29．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合函数函数性质，得到函数的函数性质，由此建立等式得到的关系，然后借助基本不等式求出的最小值. 【详解】∵，∴在区间上单调递增， ∴当时，当时， 令， 要想关于x的不等式在区间上恒成立， 则当时，当时， ∴，则，即， ∴，当且仅当，即时取等号. 故选：B. 30．（24-25高一上·吉林·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依题意可得不等式的解集为，分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围； （2）依题意可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 即关于的不等式的解集为， 当时，恒成立； 当时，则，解得； 综上可得实数的取值范围为； （2）不等式，即， 当时，则； 当时，不等式可化为，解得或，即不等式的解集为； 当时，不等式即，则； 当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为； 综上可得：当或时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 31．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）当时验证解集；当时，由不等式解集分析相应二次函数图象和二次方程根的情况求解； （2）将不等式因式分解，分情况讨论取值求解； （3）通过分离参数，将问题转化为最值问题求解. 【详解】（1）（1）当，即时，不等式即，解集不是，不符合题意； 当，即时，若不等式的解集为， 则二次函数开口向上，且与轴至多一个交点， 也即方程至多一个实根， 所以，即，解得， 即的取值范围为. （2），即，亦即， 当时，， 若，即，则，所以，所以， 此时不等式的解集为； 若，即，则不等式即，解集为； 若，即，则，不等式解集为或. 综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. （3）不等式，即， 故， 即，可化为. 设，对称轴为，且对称轴在区间内，离对称轴较远的端点为左端点， 所以当时，；当时，，所以， 所以， 因为对任意，不等式恒成立， 所以，所以， 即的取值范围为. 32．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数解集为． (1)求的解析式； (2)用定义法证明函数在上为单调增函数； (3)若在区间上恒成立，求实数的范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集、根与系数关系求得. （2）利用函数单调性的定义，求得，从而证得的单调性. （3）利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得的取值范围. 【详解】（1）由函数解集为， 可知方程的两根为，， 由，解得， 所以. （2）设， 由， ∵， ∴， ∴即， ∴函数在上为增函数. （3）由题意得：， 即对于任意的，有恒成立， 则， 当时，由二次函数性质得取得最小值，则. 33．（24-25高一上·北京西城·月考）已知关于的方程. (1)若该方程的解集中只有一个元素，求的值； (2)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)或 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意，分当和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解； （2）当时，转化为时，恒成立，结合基本不等式，即可求解； （3）根据题意，不等式转化为，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由关于的方程， 当时，方程即为，解得，满足题意； 当时，若该方程的解集中只有一个元素，则满足， 即，解得， 综上可得，实数的值为或. （2）解：当时，不等式为，即， 由时，恒成立，即为时，恒成立， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 即实数的取值范围为. （3）解：由不等式，可化为， 因为，可得，即为， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，不等式为，此时不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为， 综上可得： 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型七 有解问题（共8小题） 34．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 35．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，列不等式解得结果. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 故选：B. 36．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 37．（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数在上有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离可得在上有解，利用基本不等式求出，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由在上有解， 即在上有解， 又，当且仅当，即时取等号， 所以； 因为真包含于， 结合选项可知函数在上有解的一个充分不必要条件是. 故选：B 38．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据存在性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数的对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增，所以， 因为存在，使得不等式成立， 所以有，或， 因此实数的取值范围为， 故答案为： 39．（24-25高一上·云南曲靖·月考）已知函数. (1)若关于的不等式有解，求的取值范围； (2)求的取值范围，使得总有实数解. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）根据二次函数与一元二次不等式的关系，结合分类讨论即可求解， （2）根据一元二次方程的根，利用判别式即可求解. 【详解】（1）若，则，不满足题意； 若，则必有解； 若，解得， 故的取值范围为或； （2）①若，则，不满足题意； ②由，由知总有实数解， 即，则或， 由于，则或， 综上，或. 40．（24-25高一上·四川德阳·月考）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【详解】（1）不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. （2）由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3）由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 41．（24-25高一上·河北张家口·月考）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可； （2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得； （3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可. 【详解】（1）当时，即， 所以，所以，所以或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增， 所以. 因为， 所以当，即时，在单调递增， 所以， 则成立，故； 当，即时，， 由得，所以； 当，即时，， 由得，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 题型八 整数解问题（共5小题） 42．（23-24高一上·云南昆明·期末）（多选）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】AD 【分析】分类讨论k的取值范围，结合不等式只有一个整数解，确定k的取值，即得答案. 【详解】关于的不等式即， 即， 当时，即，解集为空集，不合题意； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故， 综合得的可能取值， 故选：AD 43．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，，由可得，分析可知，，不等式两边平方整理可得，然后分、两种情况讨论，解不等式，确定整数解，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，由可得， 不等式两边平方可得， 当时，，不合乎题意； 当时，则，则原不等式可化为， 解得或， 此时，关于的不等式有无数个整数解，不合乎题意； 当时，则，则原不等式可化为，解得， 由题意可知，关于的不等式有且仅有一个整数解，且这个整数解为， 所以，，解得，又因为，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据绝对值的性质转化为二次不等式，然后注意对参数分类讨论，并解出二次不等式，并确定整数解，然后列出关于参数的不等式求解. 44．（24-25高一上·湖北·月考）关于的不等式的解集中恰有个正整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原不等式即为，分、、三种情况讨论，解原不等式，确定满足不等式的三个正整数解，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】由得， 若时，原不等式即为，不合乎题意； 若时，则原不等式的解为或， 满足条件的正整数解有无数个，不合乎题意； 若时，则原不等式的解为， 由题意可知，满足条件的三个正整数解为、、，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 45．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合二次不等式的求法分别求出各不等式的解集，即可求解. 【详解】由，即， 解得或，由， 即，因为， 不等式的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以. 故选：B. 46．（25-26高一上·陕西商洛·月考）已知关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有3个整数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式的解集得到相应方程的实数根，根据根与系数的关系可得； （2）根据（1）得到的关系，代入不等式求解，讨论其解集的情况，并根据该不等式恰有3个整数解，确定实数的取值范围. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以方程有两根为-1和2，且， 由韦达定理得解得， 所以. （2）由（1）得，所以由，得. 即， 因为，故. 当时，，所以不等式的解集为， 要使得关于的不等式恰有3个整数解，则这3个整数解是3，4，5. 所以，解得. 当时，不等式化为，所以不等式解集为，不符合题意； 当时，，所以不等式的解集为， 此时关于的不等式最多有1个整数解，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 题型九 最值问题（共5小题） 47．（24-25高一上·上海长宁·期末）偶函数在区间上的最大值为，则实数 ． 【答案】 【分析】根据条件得到，再利用二次函数的性质，结合条件，即可求解. 【详解】因为是偶函数，则，则， 又在区间上的最大值为，且当时，， 所以，解得， 故答案为：. 48．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，且关于的不等式的解集为. (1)求函数的解析式； (2)若，讨论在区间上的最值. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由不等式的解可确定的解，然后由韦达定理可得答案； （2）由（1），讨论在区间上的单调性，据此可得答案. 【详解】（1）因的解集为，则的根为与. 由韦达定理，可得，则； （2）由（1），， 若，则在区间上单调递减， 则； 若，则在区间上单调递减，在上单调递增， 则， . 综上，. 49．（24-25高一上·北京丰台·期末）设函数，其中． (1)当时，求在区间上的最大值和最小值： (2)若在区间上不单调，求的取值范围； (3)若在区间内存在零点，求的取值范围． 【答案】(1)最小值为3，最大值为7． (2) (3)． 【分析】（1）根据二次函数的性质得出最值； （2）根据函数不单调列不等式计算求参； （3）解法1：分及两种情况分类讨论求零点或结合零点存在定理计算范围；解法2：先计算对称轴为，再分，及，结合零点存在定理计算求解. 【详解】（1）当时，， 所以的对称轴为， 所以在区间上的最小值为，最大值为． （2）由已知，得的对称轴为． 因为在区间上不单调， 所以． 由，解得， 故的取值范围是 （3）解法1：由已知，得． 1）当即，或时， 由，得，此时的零点为3，不符合题意： 由，得，此时的零点为，符合题意． 2）当即，或时， ①若，此时的对称轴 且 所以在区间内存在零点，符合题意 ②若，此时的对称轴， 所以在区间内单调递减． 又因为， 所以在区间内存在零点只需满足， 解得． 综上，的取值范围是． 解法2：由已知，得的对称轴为， 1）当即时，， 此时在区间内有零点为，符合题意． 2）当即时，， 此时在区间内无零点，不符合题意， 3）当即，且时， 由在区间内存在零点，则有以下两种情况： ①，解得，或 ②解得． 综上，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用零点存在定理列不等式关系计算求参. 50．（24-25高一上·四川南充·期末）已知函数，不等式的解集为． (1)若时，的最大值为6，求的解析式； (2)若函数，解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由不等式的解集可得，，，再由二次函数的最大值求得，进而可得函数解析式； （2）由题设有，应用分类讨论求解一元二次不等式的解集即可. 【详解】（1）∵不等式的解集为， ∴，且1和3是方程的两根， ∴，，即，， ∴， ∵函数在上单调递减，在上单调递增， ∴时，， ∴，，， 故函数解析式为. （2）由，得，即， 由得：或， ①当时，即，则或， ②当时，即，则或， ③当时，即，则或， 综上，当时，解集为或； 当时，解集为或； 当时，解集为或. 51．（25-26高一上·陕西西安·期中）设函数（），. (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：； (3)求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）转化问题为恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可； （2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. （3）求出二次函数的对称轴，结合图像讨论的范围即可求解. 【详解】（1）对一切实数恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得， 所以的取值范围是. （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）函数是二次函数，函数图象是抛物线， 开口向上，对称轴为直线； 当，即时，在上的最小值为； 当，即时，在上单调递增，最小值为； 当，即时，在上单调递减，最小值为； 综上，在上的最小值为， 题型十 实际应用（共5小题） 52．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为 元. 【答案】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 53．（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出 升溶液． 【答案】2 【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液； 故答案为: 54．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【分析】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 55．（25-26高一上·安徽蚌埠·月考）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么要使矩形花坛的面积大于27，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据三角形相似，求出线段之间的关系，列出不等式求出参数范围. 【详解】设，根据矩形的性质，易知，可得, 代入可得，解得， 则矩形花坛的面积为， 令，则，解得或， 综上，或. 故答案为：. 56．（25-26高一上·广东广州·期中）某工厂每年消耗电费32万元.为了节能环保，考虑修建一个可使用12年的沼气发电池，并入该工厂的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：）成正比，比例系数为0.15.由于场地的限制，如果修建沼气发电池，它的容积不能超过.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该工厂每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：）之间的函数关系为（实数为常数）.记该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为S（单位：万元）. (1)试解释的实际意义，并写出S关于的函数关系； (2)该工厂应修建多大容积的沼气发电池，可使S最小，并求出S的最小值. (3)要使S不超过114万元，求沼气发电池的容积（单位：）的取值范围. 【答案】(1)为未修建沼气发电池时，该工厂每年消耗的电费；， (2)该工厂应修建容积为280立方米的沼气发电池时，可使S最小，且最小值为万元 (3) 【分析】（1）根据题中函数关系式，可直接得到的实际意义；求出，进而可得S关于的函数关系； （2）根据（1）中S的函数关系，利用基本不等式，即可求出最小值； （3）将，转化为关于的一元二次不等式，求解即可. 【详解】（1）的实际意义是修建这种沼气发电池的容积为时的用电费用， 即未修建沼气发电池时，该工厂每年消耗的电费. 由题意可得：，则， 所以该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为，. （2）由（1）可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该工厂应修建容积为280立方米的沼气发电池时，可使S最小，且最小值为万元. （3）为使S不超过114万元，即， 整理得，即，解得， 且，可得， 所以的取值范围是. $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02不等式的综合问题（恒成立、有解、最值等问题） 题型归纳·内容导航 题型1由已知条件判断所给不等式是否正确 题型6恒成立问题（重点) 题型2解不含参数的一元二次不等式（常考点） 题型7有解问题（常考点） 题型3解含参数的一元二次不等式（重点) 题型8整数解问题 题型4解分式不等式 题型9最值问题（常考点） 题型5一元二次方程根的分布问题 题型10实际应用（常考点） 题型通关·靶向提分 题型一由已知条件判断所给不等式是否正确（共5小题） 1.(24-25高一上湖南衡阳·期末)己知实数a>b>c,且a+b+c=0.下列结论正确的是() A.1>1 -> B.a2>b2 C.ab2>cb2 D.a-c≤2b a-c b-c 2.(24-25高一上北京丰台期末)下列命题为真命题的是() A.若a>b,c>d,则a-c>b-d B.若a>b,c>0,则ac>bc C.若a>b,则上< D.若a>b>c,则ab>bc a b 3.(24-25高一上河南商丘期末)（多选）若a>b>0,d<c<0,则下列不等式成立的是() A.1 B.a-d>b-c C.d2>c2 D.ac>bd a b 4.(24-25高一上山西·期末)（多选）已知实数a,b,c,d满足a<b<0<c<d,则() A.abxbi B.be>ad c.b>d D.ac<bd a c 5.(24-25高一上河北邯郸期末)（多选）下列说法正确的是() A.若a>b>0,则上< "a b B.若a>b>c,则ac>bc C.若a>b>-c>0,则ab>c2 D.若0<a+b<2,2<a-b<4,则2<3a+b<8 1/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型二解不含参数的一元二次不等式（共5小题） 6.(24-25高一上江苏南通期末)已知集合A={xWF≤2，集合B={x2+3x-4≤0，则AnB=() A.[-4,4 B.[0, c.[-4, D.(-0,4 7.(24-25高一上湖北武汉期末)己知集合M={-2,-1,0,12,N={xx20x-2≥0，则M∩N=() A.{-2,-1,2 B.{-2,1,2 c.{-2 D.{-1,0,1,-2 8.(24-25高一上河北唐山期末)若不等式ax2+bx+4>0的解集为{x|-1<x<4},则不等式 (x-a)x+b)>0的解集为() A.{x|-3<x<1} B.{x|x>3或x<1} C.{x|-3<x<-1} D.{xx<-3或x>-1} 9.(24-25高一上云南大理期末)若关于实数x的不等式x2+bx+c>0的解集是{xx<-5或x>2},则关 于x的不等式cx2+bx+1>0的解集是() A（m,G+ ®（a,公 c〔 10.(24-25高一上湖北恩施期末)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x1<8<2},则关于x的不 等式ar+b>0的解集为() x-2 A.(2,3) B.(-3,2) C.(-0,2)U(3,+0)D.(-0,-3)U(2,+0) 题型三解含参数的一元二次不等式（共5小题） 11.(24-25高一上贵州黔西期末)解下列关于x的不等式 10<1 (2)x2-(2a+1)x+2a≤0(a>0). 12.(25-26高一上山西大同期中)已知函数f(x=ax2+x-a-1. (1)当a=2时，解不等式f(x≥0； (2)解不等式f(x)20: (3)若fx≤0恒成立，求a的值， 13.（24-25高一上安徽宣城期末)已知函数h(x)=ax2+ax-2. 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若不等式h(x)<2的解集为R,求实数a的取值范围； (2)当aeR时，解关于x的不等式h(x)<(I-a)x 14.(25-26高一上湖南长沙.月考)已知函数y=ax2-(a+1)x+1,aeR. (1)求关于x的不等式ax2-(a+1)x+1≥0的解集； (2)当a<0时，设A={x-2≤x≤-1，B={xy>-a,若AcB,求a的取值范围. 15.(24-25高一上湖北期末)已知关于实数x的函数fx)=ax2-4x+3a>0). (1)若fx<0的解集为{x∈R1<0<b},求a-b的值； (2)解关于实数x的不等式f(x)>2ax-2x-1. 题型四解分式不等式（共5小题） 16.(24-25高一上北京延庆期末)不等式2x+ ≤1的解集为() x-2 A.-0,-3 B.[-3,2] C.[1,2 D.「-3,2 17.(24-25高一上河北唐山期末)已知xeR,若p:x+1≥2，q1-x5x,则P是9的（） 2x-1 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 18.(24-25高一上上海宝山期末)不等式2x->0的解集为 x+1 19。(24-25高一上广东深圳期未)设不等式x+2 >2的解集为a,b),则b-a= x+1 20.(24-25高一上安徽合肥期末)不等式-3≥2的解集是 5-x 题型五一元二次方程根的分布问题（共5小题） 21.（24-25高一上·上海嘉定.期末)己知关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个实根，则实数a的取值范 围是 22.(23-24高一上河南南阳期末)一元二次方程(x-a(x-a-2)=0有一个正实根和一个负实根的充分 不必要条件是() A.a∈-2,1 B.ae-2,0 C.ae-1,0 D.ae-1,1 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 23.(23-24高一上河北沧州期中)己知关于x的方程x2-(a-2)x+a=0,则下列结论中正确的是（) A.当a=1时，方程的两个实数根之和为-1 B.方程无实数根的充分不必要条件是2<a<4+2√5 C.方程有两个正根的充要条件是a>2 D.方程有一个正根一个负根的充要条件是a<4-2√5 24.(25-26高一上陕西·月考)关于x的方程ax2-（a+1)x-2a+3=0有两个不相等的实数根x,x2,若 -2<x,<x2<3,则实数a的取值范围是() A.a al {aa1或a< C.aa2或a<)} 5 D.aa或a<号 25.（25-26高一上广西河池月考)已知x,x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+m2-1=0的两个实数根 (1)若x2+x3=4,求m的值； 2若m=la+b=5+,a>0,b>0,求上+兰的最小值： 2 a b 3)若x,x2是两个不相等的正数，求实数m的取值范围. 题型六恒成立问题（共8小题） 26.(24-25高一上浙江宁波期末)若不等式(ar-2)(x-b)≥0对任意的x∈R恒成立，则a+2b的最小值 为() A.3 B.22 C.4 D.3√2 27.(24-25高一上.内蒙古乌兰察布期末)若不等式ax2-ax+1-a>0对xeR恒成立，则实数a的取值范 围是 28.(24-25高一上重庆期末)若不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0对一切xeR恒成立，则实数a的取值 范围为() A.（-0,-2)U(2,+∞) B.（-0,-2jU2,+0 C.（-2,2) D.（-2,2] 29.(24-25高一上广东深圳期末)已知a>0,beR,若关于x的不等式(ax-2)(x2+bx-6≥0在区间 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (0,+∞)上恒成立，则4a-b的最小值是() A.2 B.22 C.3 D.3W2 30.(24-25高一上吉林.期末)已知函数f(x)=ax2-a2+ax+a2. (1)若关于x的不等式fx+ax+1-a≥0的解集为R,求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式fx)<0. 31.(25-26高一上·甘肃兰州期中)己知函数f(x)=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R). (1)若不等式f(x)<0的解集为0，求m的取值范围： (2)当m>-2时，解不等式f(x)2m; (3)对任意的x∈[-1,1]，不等式f(x)≥2x2-x+1恒成立，求m的取值范围 32.(24-25高一上江苏淮安期中)己知函数f(x)=ax2+bx-2,f(x)<0解集为{x-2<x<1}. (1)求f(x)的解析式； (2)用定义法证明函数f(x)在[L,+o)上为单调增函数： (3)若f(x)>2x+m在区间[-L,3]上恒成立，求实数m的范围. 33.（24-25高一上北京西城月考)已知关于x的方程ax2+(a-1x-1=0. (1)若该方程的解集中只有一个元素，求a的值； (2)若a=2,且当x>0时，ax2+(a-1)x-1>bx-9恒成立，求实数b的取值范围； (3)若a<0,解关于x的不等式ax2+(a-1x-1>0. 题型土有解问题（共8小题） 34.(24-25高一上山东济南期末)若3xeR,mx2+2(m-3)x+4≤0，则实数m的取值范围为（) A.(1,9) B.-0,0j c.（-0,lU(9,+o）D.（-0,1U[9,+o 35.（24-25高一上江苏苏州期末)若命题“x∈R,x2-x+m≥0”是假命题，则实数m的取值范围是（) C. 0.[任+o 36.(25-26高一上山西太原期中)若存在x∈R,使得不等式kx2-x-1>0成立，则实数k的取值范围是 () 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.-00,-4 B.0,+0） C.（-4,0 D.-0,-4)U(0,+0) 37.（24-25高一上河北廊坊期末)函数f(x=-x2+ax≥1在(0,1上有解的一个充分不必要条件是() A.a22 B.a≥3 C.a2-1 D.a≤-2 38.（23-24高一上重庆期末)已知函数fx)=x2-2x,若存在x∈[2,4]，使得不等式fx)≤a2+3a成立， 则实数a的取值范围为_ 39.(24-25高一上云南曲靖月考)已知函数y=bx2-2bx+3,beR. (1)若关于x的不等式y<0有解，求b的取值范围； (2)求b的取值范围，使得y=1总有实数解. 40.(24-25高一上四川德阳月考)己知函数y=ax2-(2a+1)x+2. (1)若不等式y>-】的解集为R,求实数a的取值范围； 4 (2)解关于x的不等式y>0; (3)0≤x≤2，使得不等式y≤3-a(x+1)有解，求实数a的取值范围。 41.(24-25高一上河北张家口月考)已知函数f(x=2x2-2ax+2-a2,gx=x2+3x-a2-4(a∈R). (1)当a=1时，解不等式∫(x>gx): (2)若对任意x>0,都有f(x)>gx成立，求实数a的取值范围； 3)若对x∈[0,1，3x,∈[0,1，使得不等式fx)>gx2)成立，求实数a的取值范围. 题型八整数解问题（共5小题） 42.(23-24高一上·云南昆明期末)（多选）已知keZ,若关于x的不等式x2-x<k(x-1)只有一个整数解， 则k的可能取值有() A.-1 B.1 C.2 D.3 43.(24-25高一上浙江温州·期末)已知函数f(x=x-2,若关于x的不等式f(ax)<f(x)(a>0)有且仅 有一个整数解，则a的取值范围是 44.(24-25高一上·湖北月考)关于x的不等式ax2+1-2a2)x-2a<0的解集中恰有3个正整数解，则a的 取值范围为() 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B. c. 45.(24-25高一上安徽合肥，期末)已知关于x的不等式组 x2-x-6>0 2x2+1-2)x-k<0k>0)仅有一个整数解， 则k的取值范围为() A.[4,5 B.(4,5] c.[3,4 D.(3,4 46.(25-26高一上陕西商洛·月考)己知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x-1<x<2. 1)求的值： (2)若关于x的不等式ax2+(c-1)x+2<0恰有3个整数解，求实数a的取值范围. 题型九最值问题（共5小题） 47.(24-25高一上.上海长宁.期末)偶函数y=(x-m)在区间a,上的最大值为4，则实数a= 48.(24-25高一上陕西西安期末)己知函数f(x)=x2+bx+c,且关于x的不等式f(x)<0的解集为 (-2,4) (1)求函数f(x)的解析式； (2)若m>0,讨论f(x)在区间[0，m]上的最值. 49.(24-25高一上.北京丰台期末)设函数f(x=ax2+(2a-4)x-a+5,其中a>0. (1)当a=1时，求f(x)在区间[0,3引上的最大值和最小值： (2)若f(x在区间[1,4上不单调，求a的取值范围： (3)若f(x)在区间(-1,2)内存在零点，求a的取值范围. 50.(24-25高一上四川南充期末)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，不等式f(x)<0的解集为 {x1<x<3}. (1)若x∈[l,4时，f(x)的最大值为6，求f(x)的解析式： (2)若函数g(x)=-(3a-1x+3a-1,解关于x的不等式f(x)>gx). 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 51.(25-26高一上陕西西安，期中)设函数fx=a2+(1-a)x+a-2（aeR),gx=x2-2(m-1x+4. (1)若不等式f(x≥-2对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式：f(x<a-1: 3)求函数g(x在[1,2]上的最小值. 题型十实际应用（共5小题） 52.(25-26高一上·天津河西·期中)某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每 天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高10x元 (1≤x≤20，x∈N)，则被租出去的汽车会减少10x辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过6.24万元， 则该公司每辆汽车每天的租金定价为_ 元 53.(25-26高一上·福建泉州·期中)为配制一种药液，进行了二次稀释.先在体积为10升的桶中盛满纯药 液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满.若 第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出升溶液， 54.(25-26高一上江苏镇江期中)汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称 这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.在一个限速为8Okmh的桥梁上， 甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离 小于42m,乙车的刹车距离略超过36m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位： km/h）之间分别有如下关系：s甲=0.1x+0.01x2,sz=0.05x+0.005x2.则() A.甲、乙两车均超过规定限速 B.甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C.甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D.甲、乙两车均未超过规定限速 55.(25-26高一上.安徽蚌埠·月考)如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPV,要求 点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C,已知AB=3,AD=2,那么要使矩形花坛AMPN的面 积大于27，则DN的取值范围为一， 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N✉ ◇ D C B M 56.（25-26高一上广东广州期中)某工厂每年消耗电费32万元.为了节能环保，考虑修建一个可使用12 年的沼气发电池，并入该工厂的电网修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积x(单位： m3)成正比，比例系数为0.15.由于场地的限制，如果修建沼气发电池，它的容积不能超过500m3.为了保证 正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该工厂每年消耗的电费E (单位：万元)与修建的沿气发电池的容积x(单位：m)之间的函数关系为E(x)=k 。(实数k为常 x+40 数).记该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为S(单位：万元)· (1)试解释E(0)的实际意义，并写出S关于x的函数关系； (2)该工厂应修建多大容积的沼气发电池，可使S最小，并求出S的最小值， (3)要使不超过114万元，求沼气发电池的容积x(单位：m3)的取值范围. 9/9